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幾個(gè)世紀(jì)以來,，數(shù)學(xué)只處理不變和抽象的對(duì)象。柏拉圖的“形式理論”將幾何形狀想象為完美和理想化的概念,。當(dāng)我們學(xué)習(xí)幾何時(shí),，我們是在探索這個(gè)理想的世界。很長(zhǎng)一段時(shí)間以來,，這都是數(shù)學(xué)的常規(guī)做法,。當(dāng)數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)時(shí)，被認(rèn)為是較不完美的版本,。文藝復(fù)興改變了這一切,。盡管這一過程是逐漸發(fā)生的，數(shù)學(xué)家們開始逐漸擺脫古人“完美”的形式,。他們?cè)絹碓蕉嗟貙?shù)學(xué)推理應(yīng)用于日常生活,。在17世紀(jì)，布萊茲·帕斯卡（Blaise Pascal）和皮埃爾·德·費(fèi)馬（Pierre de Fermat）在概率論領(lǐng)域進(jìn)行了基礎(chǔ)性工作,。他們通擲骰子的結(jié)果來進(jìn)行研究,。具有諷刺意味的是，五種主要類型的骰子形狀與理想的柏拉圖立體（正四面體,、正六面體,、正八面體、正十二面體和正二十面體）相似,，這些完美對(duì)稱的幾何形狀常被認(rèn)為是理想的,，而骰子通常用于體現(xiàn)隨機(jī)性和不確定性的活動(dòng)中。數(shù)學(xué)從未完全放棄其對(duì)理想化對(duì)象的關(guān)注,，但現(xiàn)在它有了一個(gè)主要的實(shí)用分支。當(dāng)然,，理想化的數(shù)學(xué)也有很多應(yīng)用，只是這不是目的,。轉(zhuǎn)向概率標(biāo)志著人類思維方式的重要進(jìn)步,。數(shù)學(xué)家們不再處理存在于理想世界中的不變對(duì)象，而是努力嘗試預(yù)測(cè)未知事件的結(jié)果,。由于未來事件永遠(yuǎn)無法被完全預(yù)測(cè),，他們的工作必須嘗試做出合理的估計(jì)以選擇最可能的結(jié)果。我們無法知道結(jié)果會(huì)是什么,，但數(shù)學(xué)可以引導(dǎo)我們了解可能性的分布,。讓我們看一個(gè)例子。假設(shè)有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的六面骰子,，并且是均勻的,，也就是擲出每個(gè)面的概率都是相等的。每個(gè)結(jié)果的概率為1/6,，并得到下面的結(jié)果分布,。柱狀圖顯示了那個(gè)結(jié)果的概率。所有可能的結(jié)果都有相同的概率,，1/6 ,。你在沒有數(shù)學(xué)知識(shí)的情況下就直觀地知道這一點(diǎn)。讓我們讓它更有趣一點(diǎn),，考慮擲兩個(gè)六面骰子并將它們相加,？可能的結(jié)果范圍是從二到十二。為了理解這個(gè)問題,，帕斯卡和費(fèi)馬制作了下表,。我們可以在上表中看到所有36種可能的結(jié)果。有些數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)比其他數(shù)字多,。例如,，數(shù)字二只出現(xiàn)一次，而數(shù)字七出現(xiàn)六次,！可以看到,，下面的分布看起來非常不同。這項(xiàng)研究是概率史上的基礎(chǔ),。研究概率的數(shù)學(xué)家現(xiàn)在對(duì)分布比對(duì)精確結(jié)果更感興趣,。該領(lǐng)域從那時(shí)起發(fā)展了很多。我想談?wù)勂渥钪匾陌l(fā)現(xiàn)之一：貝葉斯定理（Bayes’ Theorem）,。為了做出正確的決策,，重要的是要根據(jù)新的信息和知識(shí)不斷調(diào)整和更新對(duì)情況的理解。固守過去的假設(shè)和信息會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤判斷，因此決策者需要保持開放和靈活的思維,，以適應(yīng)不斷變化的環(huán)境和挑戰(zhàn),。18世紀(jì)的托馬斯·貝葉斯在概率論方面取得了一項(xiàng)重要突破，他提出了一種數(shù)學(xué)方法,，可以幫助我們?cè)讷@得新信息時(shí)有效地更新對(duì)事件發(fā)生概率的推理和判斷,。讓我們看一個(gè)例子來了解這個(gè)過程,。假設(shè)要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)簡(jiǎn)單的天氣預(yù)報(bào),。我們想根據(jù)早上是否有云來預(yù)測(cè)當(dāng)天是否會(huì)下雨，為了做出這個(gè)預(yù)測(cè),，有一些信息,。所有日子中有25%的概率下雨，15%的概率早上有云,，并且在下雨的日子里,，早上有云的概率為50%。這有很多信息,，我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)表示呢,？首先，讓我們定義事件的概率,。我們用這個(gè)符號(hào)來表示概率,。在任何給定的日子下雨的概率 (R) 是25%或0.25。早上有云的概率 (C) 是15%或0.15,。那第一條信息呢,？這就是所謂的條件概率。它告訴我們?cè)谑录﨎發(fā)生的情況下事件A發(fā)生的概率,。這個(gè)方程告訴我們,，如果下雨，早上有云的概率為50%,。如果R,，那么C。但是,，這不是我們想要知道的東西,，我們想知道在C的情況下R發(fā)生的概率。貝葉斯定理正是為此目的而創(chuàng)建的,。代入結(jié)果,，計(jì)算出P(R|C) = 83.3%。這是一個(gè)強(qiáng)有力的結(jié)果,！之前,，我們預(yù)測(cè)下雨的基本概率是25%。現(xiàn)在，我們可以看看早上是否有云,。如果有,，那么今天下雨的概率是83.3%。你可以應(yīng)用貝葉斯定理的逆,，替換P(R)為1-P(R),，來得到早上沒有云時(shí)下雨的概率僅為3.7%。加入是否有云的信息讓我們對(duì)下雨的預(yù)測(cè)更加準(zhǔn)確,。這乍一看可能顯得違反直覺,。為什么P(R|C) = 83.3%遠(yuǎn)大于P(C|R) = 50%？這是因?yàn)樨惾~斯定理考慮到了事件的背景分布,。雨比早上的云更常見,，并且這兩個(gè)事件是相互關(guān)聯(lián)的。這意味著P(C|R)較低,，因?yàn)橛晗鄬?duì)常見,，而早上的云相對(duì)稀少。P(R|C)較高,，因?yàn)樵缟嫌性频那闆r很少發(fā)生,。當(dāng)它確實(shí)發(fā)生時(shí)，雨和早上云之間的聯(lián)系幾乎肯定會(huì)生效并產(chǎn)生降雨,。一般來說,，如果低概率事件發(fā)生，它將導(dǎo)致高概率事件發(fā)生,，假設(shè)兩者之間存在正向聯(lián)系,。貝葉斯定理也可以反過來應(yīng)用，其中一個(gè)事件使另一個(gè)事件不太可能發(fā)生,。如上例所示,，早上沒有云使得下雨極不可能。貝葉斯定理可以應(yīng)用于許多不同的情況,。如果你知道藥物檢測(cè)的假陽(yáng)性率,、真陰性率，以及一個(gè)人使用該藥物的背景概率,，那么貝葉斯定理對(duì)于解釋你的結(jié)果是非常有價(jià)值的,。使用該藥物的人越少，藥物檢測(cè)呈陽(yáng)性僅是一個(gè)假陽(yáng)性的可能性就越大,。雖然這很直觀,，但得到一個(gè)精確的數(shù)字非常有幫助。如果你還是不明白,，別擔(dān)心,！貝葉斯定理本來就很難理解,。我建議花時(shí)間學(xué)習(xí)可視化示例，并嘗試自己創(chuàng)建幾個(gè)示例,。我發(fā)現(xiàn),，通過分析自己遇到的實(shí)際事件數(shù)量，而不僅僅依賴抽象的概率數(shù)字,，可以更直觀地理解概率概念,。如果你想從數(shù)學(xué)的角度正式學(xué)習(xí)概率，我強(qiáng)烈推薦《Probability: For the Enthusiastic Beginner》,。
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