10 如何知道投什么的原理——投資組合均值-方差分析

這一章節(jié)對(duì)《投資組合均值-方差分析》進(jìn)行「降維到幼兒園級(jí)別」的講解，使讀者可以明白其中的數(shù)學(xué)原理以增強(qiáng)對(duì)于「以該理論為原理的方法論」的信息,，并可以根據(jù)自身所處環(huán)境的限制簡(jiǎn)化和改進(jìn)該方法。

在閱讀完本章節(jié)后,，讀者將理解「投資組合均值-方差分析」的基本概念,，同時(shí)實(shí)現(xiàn)下列目標(biāo)：

• 學(xué)習(xí)「如何分析」一個(gè)投資品或投資組合的預(yù)期收益和投資風(fēng)險(xiǎn)；
• 理解通過(guò)對(duì)多個(gè)投資的單品的分配投資金額的權(quán)重構(gòu)建投資組合,，可以博取和單品同等收益率的同時(shí)確承擔(dān)更低的風(fēng)險(xiǎn)的原理——即「雞蛋不要放在一個(gè)籃子」的金融學(xué)和數(shù)學(xué)原理,；
• 理解構(gòu)建上文提到的「投資組合列表」金融學(xué)和數(shù)學(xué)原理。

該理論可以簡(jiǎn)單理解為一個(gè)公理系統(tǒng),，即從「基本假設(shè)」出發(fā),，使用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行「邏輯推導(dǎo)」得到結(jié)論。如果假設(shè)是無(wú)需證明的公理,，而邏輯推導(dǎo)無(wú)誤,，則結(jié)論必然成立。

本教章節(jié)僅介紹「假設(shè)和結(jié)論」,。具體的以概率論為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程另做講解,。

10.1.1 《投資組合均值-方差分析》重要結(jié)論

投資的風(fēng)險(xiǎn)「是可以分散的」,。具體說(shuō)：可以將資金按照某種權(quán)重分配到不同投資單品上構(gòu)建投資組合。

• 其「性價(jià)比」可以高于每一個(gè)投資單品,。
• 可以求得每一個(gè)可能的收益率下,，波動(dòng)性最小的那個(gè)投資，以及這個(gè)「組合中每種單品的權(quán)重」,。

10.1.2 《投資組合均值-方差分析》簡(jiǎn)要的推理過(guò)程

「投資單品」：投資品按照時(shí)間漲跌是一個(gè)隨機(jī)事件（數(shù)列）

• 其平均數(shù)該投資單品未來(lái)的預(yù)期收益率,，長(zhǎng)期看是一個(gè)大于零數(shù)字。也就是說(shuō)「資產(chǎn)的價(jià)值長(zhǎng)期看都是上漲的」,。
• 其標(biāo)準(zhǔn)差——即上下波動(dòng)的幅度,，是投資該投資單品「需承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)」。
• 不同的投資單品漲跌存在相干性,，用相關(guān)系數(shù)衡量,，可以是負(fù)相關(guān)、正相關(guān),、不相關(guān),。即其「同漲同跌」的程度。并可以計(jì)算其協(xié)方差,。

「投資組合」：可以通過(guò)對(duì)兩個(gè)或多個(gè)投資單品進(jìn)行資金權(quán)重的分配構(gòu)建投資組合,，其漲跌幅也是一個(gè)隨機(jī)事件，其收益率和波動(dòng)性可根據(jù)單品的收益率,、波動(dòng)性,、協(xié)方差和權(quán)重計(jì)算得到,。

通過(guò)「數(shù)學(xué)證明」可以的結(jié)論：一般情況下「存在」一個(gè)或多個(gè)投資組合滿足其性價(jià)比高于構(gòu)成其的每一個(gè)投資單品,。并可以通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算或Excel工具找到：

每一個(gè)收益率下的波動(dòng)性最小的投資組合，并計(jì)算出該投資組合中每一個(gè)投資單品的權(quán)重,。簡(jiǎn)要的「數(shù)學(xué)表達(dá)形式」如下：

10.2 《投資組合均值-方差分析》詳解

為了方便理解和敘述方便,，我們將使用（中證300ETF、中證500ETF,、納指100ETF,、國(guó)債ETF、標(biāo)普500ETF,、恒生ETF,、黃金ETF）等A股市場(chǎng)可以直接購(gòu)買的產(chǎn)品作為投資單品進(jìn)行「舉例說(shuō)明」。

僅采用這幾個(gè)產(chǎn)品,，考慮有如下幾點(diǎn)：

• 第一,，這些產(chǎn)品必須是在「A股市場(chǎng)上買賣」的。
• 第二,，這些產(chǎn)品「不存在個(gè)體性風(fēng)險(xiǎn)」,。
• 第三,，這些產(chǎn)品有「五年以上的歷史數(shù)據(jù)」。

10.2.1 前提,、定義和假設(shè)

一,，一個(gè)資產(chǎn)的隨時(shí)間的漲跌幅，是一個(gè)「隨機(jī)數(shù)事件」,，可以用數(shù)列形式表達(dá),。

投資品的漲跌可以看做是隨機(jī)現(xiàn)象。對(duì)于投資品的漲跌的觀察和記錄可以看做是一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)[1],。投資品隨時(shí)間的漲跌可以看做是一個(gè)隨機(jī)事件隨機(jī)事件[2],，而由隨時(shí)間變化的漲跌幅形成的數(shù)列可以看做是一組隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量隨機(jī)變量[3]，并以一個(gè)一維數(shù)列的形式進(jìn)行表達(dá),。

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舉例說(shuō)明：以ETF300（510300.SH）,，納指ETF（513100.SH）和國(guó)債ETF（511010.SH）為例。其中括號(hào)里的數(shù)字是產(chǎn)品編號(hào),。

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首先解釋一下產(chǎn)品的性質(zhì)：

• 持有ETF300可以認(rèn)為是「持有了A股市場(chǎng)市值最大的300家上市公司」,，該ETF追蹤的是滬深300指數(shù)，由“滬深市場(chǎng)中規(guī)模大,、流動(dòng)性好的最具代表性的300只證券”組成,。目前權(quán)重較大的是貴州茅臺(tái)和寧德時(shí)代。
• 持有納指ETF可以近似理解為「持有了納斯達(dá)克市場(chǎng)市值最大的100家公司」,，該ETF產(chǎn)品追蹤的是納斯達(dá)克100指數(shù),。蘋果、微軟,、亞馬遜,、Google等公司目前占比較大。持有國(guó)債ETF相當(dāng)于持有5年期國(guó)債,。（「補(bǔ)充說(shuō)明」不選擇十年期國(guó)債ETF（511260）的原因是：其于2017年上市,，沒(méi)有足夠的歷史數(shù)據(jù)用于統(tǒng)計(jì)分析）。

隨機(jī)數(shù)列,，更準(zhǔn)確的叫做隨機(jī)變量,。即，「投資品的漲跌幅隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量」,。數(shù)學(xué)上記作：

而每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的漲跌幅都是一個(gè)「樣本點(diǎn)」,。數(shù)學(xué)上記作：

用數(shù)列的形式表達(dá)一個(gè)資產(chǎn)的隨時(shí)間的波動(dòng)為：

圖表表示的是從2014年至今上述三個(gè)產(chǎn)品的「月漲跌幅」。其中滬深ETF300的漲跌幅數(shù)學(xué)上可以表達(dá)為

其中t表示時(shí)間點(diǎn),。其中用X軸表示,，用Y表示。

二,，投資的預(yù)期收益——隨機(jī)數(shù)列的平均值

投資該資產(chǎn)的預(yù)期收益率是「該序列的平均數(shù)」（即數(shù)學(xué)期望）代表的投資者持有該資產(chǎn)的預(yù)期收益率,。數(shù)學(xué)上記作：

其中E(P)是數(shù)學(xué)上對(duì)于隨機(jī)變量P（隨機(jī)數(shù)列）的「數(shù)學(xué)期望的常用的表達(dá)方式」,。T是隨機(jī)時(shí)間中元素的個(gè)數(shù)。

如果我們統(tǒng)計(jì)了某一個(gè)投資品P從2021年從1月到12月的漲跌幅,，就可以記作：

滬深300ETF的「預(yù)期收益率」數(shù)學(xué)上可以記作：

三,，投資的成本——數(shù)列的「標(biāo)準(zhǔn)差，即波動(dòng)性」

投資的成本——投資該資產(chǎn)的所要承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)：以該產(chǎn)品的波動(dòng)性衡量,。波動(dòng)性越大的產(chǎn)品風(fēng)險(xiǎn)越大,。

「該序列的標(biāo)準(zhǔn)差」，即序列中的元素偏離平均數(shù)的程度,，反映了該投資者持有該資產(chǎn)需承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn),。數(shù)學(xué)上記作：

其中，即X的數(shù)學(xué)期望,。 這里我們不需要記住公式,，只需要標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)衡量一個(gè)投資單品的波動(dòng)性，可以使用Excel直接計(jì)算出來(lái),。

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比如滬深300ETF的波動(dòng)性是6.46%,，其數(shù)學(xué)表達(dá)是:

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「to be continued」