卡拉比–丘流形（Calabi–Yau manifold）,，以卡拉比（Eugenio Calabi）和丘成桐（Yau Shingtung）命名,，是從黎曼幾何和代數(shù)幾何中產(chǎn)生的，在弦論和鏡面對(duì)稱理論中起了顯著的作用,。為了解釋卡拉比–丘流形究竟是什么,，我們先回憶一下實(shí)流形上定向的概念。實(shí)流形是一種數(shù)學(xué)概念,，它可以被描述為一個(gè)局部類似歐幾里得空間的空間,。具體來說，一個(gè)實(shí)流形是一個(gè)拓?fù)淇臻g,，其每個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)鄰域與歐幾里得空間同胚,。這意味著一個(gè)實(shí)流形可以被看作是由歐幾里得空間的無限小塊組成的空間。實(shí)流形的例子包括平面,、球面和環(huán)面等,。它們?cè)诰植可吓c歐幾里得空間同胚，并且可以用歐幾里得空間中的坐標(biāo)系來描述它們的性質(zhì),。實(shí)流形是許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ),，如微積分、拓?fù)鋵W(xué)和幾何學(xué)等,。它們具有許多重要的性質(zhì),，例如可微性、流形上的積分和流形上的微分方程等,。 如果在一個(gè)實(shí)流形上可以取局部坐標(biāo)系,，而且在兩個(gè)坐標(biāo)鄰域相交的部分上,，兩個(gè)局部坐標(biāo)雅克比行列式是一個(gè)數(shù)學(xué)概念,，用于衡量函數(shù)變量之間的變化率,。給定一個(gè)n維向量值函數(shù)f(x1,x2,...,xn)，其中xi是實(shí)數(shù)變量,，它的雅克比行列式J(f)是一個(gè)實(shí)數(shù),，表示在點(diǎn)(x1，x2,，...,，xn)處函數(shù)f在各個(gè)變量方向上的變化率。雅克比行列式大于0的含義是,，在函數(shù)變量的空間中,，函數(shù)f的變化不會(huì)改變?cè)摽臻g的方向，即不會(huì)改變?cè)摽臻g的定向,。這種性質(zhì)在微積分,、幾何學(xué)和物理學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用。 卡拉比–丘流形就是這種可定向流形的自然的復(fù)類比?，F(xiàn)在這個(gè)流形是復(fù)的,，而對(duì)每一個(gè)局部坐標(biāo)系全純函數(shù)是一類在復(fù)平面上有定義的復(fù)變函數(shù),，它在其定義域上處處可微,，并且在該域的每個(gè)點(diǎn)處都是解析函數(shù)。換句話說,，全純函數(shù)是復(fù)變函數(shù)的一種,，它的導(dǎo)數(shù)在其定義域內(nèi)處處存在。 至關(guān)重要的是f處處不為零的情況,，這時(shí)，就說這個(gè)復(fù)流形是卡拉比–丘流形,。這里也有一個(gè)相容性條件：若是另一個(gè)局部坐標(biāo)系,，則相應(yīng)的全純 n 形式注意，如果把這個(gè)定義里的復(fù)的名詞都換成相應(yīng)的實(shí)的名詞,，就得到了實(shí)的可定向流形,。所以非形式地說，卡拉比–丘流形可以設(shè)想為具有復(fù)定向的復(fù)流形,。復(fù)流形與厄爾米特結(jié)構(gòu)繼續(xù)之前,，先略講一點(diǎn)復(fù)幾何和凱勒幾何。一個(gè)復(fù)流形就是一個(gè)局部看起來像是的結(jié)構(gòu),。具體說來,，就是在其每一點(diǎn)都可以找到復(fù)坐標(biāo)這樣、復(fù)流形上的全純函數(shù)的概念是有意義的,，而且與坐標(biāo)的選擇無關(guān),。這樣，復(fù)流形的局部幾何確實(shí)就像是C^n的開集合,，而其在一點(diǎn)處的切空間就和整個(gè)C^n一樣,。厄米特矩陣（Hermitian Matrix）是指一個(gè)復(fù)數(shù)域上的方陣，滿足矩陣的轉(zhuǎn)置共軛等于其本身,，即厄米特矩陣在量子力學(xué)中非常重要,，因?yàn)樗鼈儗?duì)應(yīng)于一個(gè)自己共軛的算符，也就是一個(gè)物理量的測量,。例如,，位置、動(dòng)量和能量等物理量對(duì)應(yīng)的算符都是厄米特算符,，它們的本征態(tài)就是厄米特矩陣的特征向量,。厄米特矩陣還可以用于描述量子系統(tǒng)的哈密頓量。 為基底,。在復(fù)流形上，切空間上的厄爾米特內(nèi)積稱為一個(gè)“厄爾米特度量”,，而在一個(gè)坐標(biāo)基底下由依賴于位置的厄爾米特矩陣黎曼幾何的完整性和卡拉比–丘流形在黎曼流形上，可以把一個(gè)向量沿一路徑移動(dòng),，而且使它保持長度為常值并且“指向相同的方向”,。曲率就表示這樣一件事實(shí)：一個(gè)向量到了路徑的終點(diǎn)時(shí)會(huì)偏離自己 （原來的方向） 而繞過一定大小的角度，如果這個(gè)路徑是一個(gè)閉環(huán),，這個(gè)向量回到路徑起點(diǎn)時(shí)會(huì)成為一個(gè)新的向量,。一個(gè)好例子是考慮球面上閉的路徑：從北極出發(fā)，沿一經(jīng)線走到赤道,，再沿赤道走1/4個(gè)赤道,，最后再沿一條經(jīng)線回到北極。當(dāng)旅行完成時(shí),，一個(gè)出發(fā)時(shí)指向南方的“常值”向量,，在再次回到北極時(shí)，將會(huì)旋轉(zhuǎn)過90°,。對(duì)于每一個(gè)閉環(huán),，都會(huì)得到一個(gè)"完整矩陣"（holonomy matrix），把起始的向量變成終結(jié)的向量。這些矩陣所成的群稱為這個(gè)流形的完整群,。因?yàn)樵谶@個(gè)過程中,，向量的長度未變，所以完整群應(yīng)該在保持長度的矩陣的群——正交群0（m）內(nèi),，這里 m是這個(gè)黎曼流形的維數(shù),。如果這個(gè)流形是可定向的，完整群必在SO（m）中,，這只要通過移動(dòng)有定向的基底向量就可以看出來,。每一個(gè)復(fù)維數(shù)為n的復(fù)流形同時(shí)也是實(shí)維數(shù)為m=2n的實(shí)流形，而且可以認(rèn)為它以原來的復(fù)坐標(biāo)z^j的實(shí)部和虛部為其實(shí)坐標(biāo),。例如,，復(fù)坐標(biāo)方向可以乘以i=√-1這件事實(shí)蘊(yùn)含了在這樣得出的實(shí)流形的實(shí)的切空間上必存在一個(gè)算子其平方為-1。這個(gè)算子的本征值為±i,?？梢哉J(rèn)為它們分別代表"全純方向"和"反全純方向"。厄爾米特性質(zhì)表明,，這兩個(gè)方向是正交的,。如果在繞過閉環(huán)一周后。它們?nèi)匀徽?，就說這個(gè)流形是凱勒流形,。這意味著其完整群是酉群U（n）的子群（這個(gè)酉群本身也就是SO（2m）的子群，就是說,，復(fù)流形總是有實(shí)定向的）,。凱勒性質(zhì)有一個(gè)很優(yōu)美的局部的刻畫方法：若是厄爾米特度量在一個(gè)坐標(biāo)鄰域中的分量，則在此鄰域中存在一個(gè)函數(shù)φ使得給出一個(gè)復(fù)定向（就是上面講的卡拉比–丘流形的不用度量的定義）一個(gè)相容的凱勒結(jié)構(gòu)會(huì)導(dǎo)致其完整群在內(nèi),，這是實(shí)的可定向的自然的類比,。這是卡拉比–丘流形的第二個(gè)用度量來表示的定義。卡拉比猜想卡拉比提出了下面的猜想：任給一個(gè)復(fù)維數(shù)為n的凱勒流形,，以及任意的復(fù)定向,，必存在一個(gè)函數(shù)u和一個(gè)新的凱勒度量而且仍與原來的復(fù)定向相容。用方程來表示相容條件就是這里f就是上面討論過的全純定向函數(shù),。所以,，用度量來表示的卡拉比–丘流形的定義就是一個(gè)可怕的完全非線性偏微分方程?？ɡ茸C明了它的解的唯一性，而丘成桐證明了這個(gè)方程解的存在性,。所以,，事實(shí)上，卡拉比–丘流形的度量定義是由它的凱勒結(jié)構(gòu)及其復(fù)定向唯一決定的。丘成桐的定理確定了在一個(gè)流形上,，具有完整群SU（n）以及復(fù)定向的度量的空間,，對(duì)應(yīng)于不等價(jià)的凱勒結(jié)構(gòu)的空間．后一個(gè)空間很容易用代數(shù)幾何的技巧來探討。物理學(xué)中的卡拉比–丘流形愛因斯坦的引力理論,，即廣義相對(duì)論,，建立了黎曼時(shí)空流形的度量必須滿足的方程。這個(gè)方程中涉及了3個(gè)張量：度量張量,、里奇（Ricci）曲率張量,，以及物質(zhì)的能量動(dòng)量張量。一個(gè)里奇曲率為零的流形,，當(dāng)沒有物質(zhì)時(shí)是這個(gè)方程的一個(gè)解,，而且是一個(gè)愛因斯坦流形的特例。一個(gè)具有唯一的SU（n）完整群的卡拉比–丘流形具有零里奇曲率,，所以在廣義相對(duì)論中是有意義的,。理論物理學(xué)的一個(gè)基本問題是如何把愛因斯坦理論融入粒子的量子理論中。這個(gè)事業(yè)稱為量子引力理論,?？ɡ权C丘流形在首選的量子引力理論即弦論方面起突出的作用。在弦論中,，基本的對(duì)象是1維的"弦",。弦在時(shí)空里的運(yùn)動(dòng)用一個(gè)2維的軌跡來描述，這個(gè)軌跡稱為世界葉（worldsheets）,，所以世界葉的每一點(diǎn)都用此點(diǎn)在時(shí)空里的位置來標(biāo)記,。于是，可以這樣來構(gòu)造弦論,，即把它作為從2維的黎曼曲面到時(shí)空流形 M 的映射的量子場論,。對(duì)這個(gè)2維的曲面應(yīng)該賦以一個(gè)黎曼度量，而可供考慮的黎曼度量形成了一個(gè)無限維空間,。這意味著我們必須在2維中解決量子引力的問題——這個(gè)問題和它的4維的同伴一樣,，太難了。然而,，如果2維的世界葉理論是共形的（即在局部的尺度變換下是不變的）,，則留下的就只是一個(gè)共形不等價(jià)度量的有限維空間，而這個(gè)理論就能適當(dāng)?shù)囟x,。卡拉比–丘條件就是從這樣的考慮中產(chǎn)生的,。要求2維理論是共形的，使得弦論有意義,、實(shí)質(zhì)上就是要求時(shí)空的里奇張量為零,。這樣，2維條件引導(dǎo)出一個(gè)時(shí)空方程，而且恰好就是無物質(zhì)的愛因斯坦方程,。對(duì)這個(gè)條件還要再加上一個(gè)"唯象的"判據(jù),，即這個(gè)理論應(yīng)該具有“超對(duì)稱”，就是要求時(shí)空流形M是復(fù)流形,。這兩個(gè)條件合在一起意味著 M 是一個(gè)以 SU（n）為完整群的復(fù)流形,，就是一個(gè)卡拉比–丘流形。根據(jù)丘成桐的定理,，這種M的選擇很容易用代數(shù)幾何的方法來描述,。我們要提醒一下，弦論有一種提煉,，稱為"拓?fù)湎?/strong>",，對(duì)它也可以給予一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)框架?？ɡ权C丘流形既是辛（symplectic）的又是復(fù)的,，這就會(huì)導(dǎo)出拓?fù)湎业膬蓚€(gè)版本，分別稱為A和B,，而都可以與卡拉比–丘流形連接起來,。鏡面對(duì)稱是一個(gè)值得注意的現(xiàn)象，它把A版本的卡拉比–丘流形與另一個(gè)完全不同的"鏡面伙伴"的B版本連接起來,。這樣一種等價(jià)關(guān)系的數(shù)學(xué)后果是極為豐富的,。
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