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本節(jié)主要關(guān)注基于算子方程可解性的逐次逼近法.給定, 該方法的基本思想是顯式地定義元素的一個(gè)Cauchy序列,使得. 然后由(假定它是Banach空間的一個(gè)開子集的閉包)的完備性,收斂到某個(gè),并由的連續(xù)性,有. 這種構(gòu)造法的簡(jiǎn)單情況介紹如下. 壓縮映射原理給定從集合到自身的連續(xù)映射, 可設(shè)想由定義一個(gè)序列來(lái)找出的不動(dòng)點(diǎn),設(shè)序列為.其中, 為找出關(guān)于和的條件來(lái)確保這個(gè)序列收斂. 一個(gè)簡(jiǎn)單的答案是
證明: 我們首先證明,對(duì)任一是Cauchy序列. 事實(shí)上, 對(duì)任意正整數(shù)和, 對(duì)照幾何級(jí)數(shù), 可得 因而,當(dāng)時(shí), 與無(wú)關(guān). 故的確是中的Cauchy序列. 由于是完備的,故收斂到某個(gè), 而. 因此, 由的連續(xù)性,有 即是不動(dòng)點(diǎn),并且還是唯一的. 這因?yàn)槿绻?span>是另一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),那么可以推出 這只有當(dāng)時(shí)才是可能的. 壓縮映射原理有很多有意思的推廣.當(dāng)映射與參數(shù)有關(guān)時(shí), 下面的一個(gè)推廣很有用. 推論: 假定是的連續(xù)映射,其中, 是某個(gè)距離空間. 此外,對(duì)每個(gè), 滿足 則映射(是的唯一不動(dòng)點(diǎn))是從到的連續(xù)映射. 證明: 在中設(shè), 則 并且對(duì)類似,因而 從而 由于對(duì)連續(xù), 上式右端趨于0, 故結(jié)論得證. 反函數(shù)定理和隱函數(shù)定理我們現(xiàn)在證明反函數(shù)定理和隱函數(shù)定理在Banach空間中著名的類似結(jié)果. 這兩個(gè)結(jié)果都是由構(gòu)造迭代得到的. 反函數(shù)定理主要用來(lái)處理非線性問(wèn)題的線性化; 反函數(shù)定理主要處理非線性問(wèn)題中與參數(shù)依賴性有關(guān)的類似問(wèn)題.
證明: 令. 若充分小,我們首先可以試圖確定, 使得; 若等價(jià)地, 由于在處是映射,且是可逆的, 故由上式可推出 即 其中, 余項(xiàng) 下面我們將指出,當(dāng)充分小時(shí), 有且僅有一個(gè)解.而這只需證明對(duì)某個(gè)充分小的, 算子 是從到自身的壓縮映射,其中,是中的球. 事實(shí)上,對(duì)和 因而 由于是映射,故可把和取得充分小,使最后一個(gè)積分的中間項(xiàng)任意小. 因此,當(dāng)某個(gè)常數(shù)(與無(wú)關(guān))以及充分小時(shí),對(duì)中的一切以及, 有 而且映到自身. 事實(shí)上, 并且,倘若 就有 <(1-k)\varepsilon="" \end{align*}'="" data-formula-type="block-equation">因此在以上附加條件下, 是由到自身的壓縮映射. 根據(jù)壓縮映射原理, 在中有唯一不動(dòng)點(diǎn),其中,選得足夠小,使得 將此證明步驟倒過(guò)來(lái)可得:當(dāng)和充分小時(shí), 有且僅有一個(gè)解. 由上面的推論以及算子 連續(xù)依賴于這個(gè)顯然的事實(shí)下,可直接推出連續(xù)依賴于, 從而連續(xù)依賴于 于是, 有定義,并且是從中的球到的連續(xù)映射. 最后,當(dāng)充分小時(shí),有唯一解, 其中, 是序列的極限. 于是 從而 其中,由迭代 定義.
證明: 若,且, 則 于是是可微的, 且在處 以下我們尋找條件,使得方程局部唯一可解,并有形式 其中函數(shù)與一樣光滑.
證明: 對(duì)附近固定的, 我們改寫 其中, 對(duì)附近的和,有 為了在附近求解,我們考慮映射 對(duì)附近固定的,反函數(shù)定理的證明確保了是從中心為的小球到自身的壓縮映射. 由壓縮映像原理,存在唯一不動(dòng)點(diǎn); 且連續(xù)依賴于, 而且和.此外,, 因?yàn)槿魏纹渌@樣的函數(shù)必然是的不動(dòng)點(diǎn), 是具有這些性質(zhì)的唯一連續(xù)函數(shù),于是我們只需令就得到所需的結(jié)果. 推論: 若在隱函數(shù)定理的條件中再加上存在,且對(duì)附近的連續(xù), 則函數(shù)對(duì)是連續(xù)可微的,并且 證明:我們首先建立的Lipschitz連續(xù)性. 在推論的假設(shè)下, 在附近是映射,另外,對(duì)充分小的和附近的, 因而將在處展開,我們得到 因?yàn)?span>可逆且在點(diǎn)處連續(xù),故 于是,存在與無(wú)關(guān)的常數(shù), 使 因此,是可微的, 且 注: 若在附近,則函數(shù)也屬于. 對(duì)于一般的, 基于同樣的公式用歸納法可得. Newton法現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向迭代的一個(gè)改進(jìn),即轉(zhuǎn)向所謂的Newton法,這個(gè)方法給迭代的收斂速度帶來(lái)了實(shí)質(zhì)性的改善. 它可以描述如下: 對(duì)的解給出一個(gè)初始近似后,我們?cè)O(shè)法找出更好的近似, 其中,選得使不計(jì)高階項(xiàng)時(shí)有. 假定存在, 于是由 從而 按這個(gè)方法繼續(xù)下去,在第步,令 求出近似解 于是,倘若總是存在的,我們就可求出的一個(gè)形如 的形式解. Newton法的優(yōu)點(diǎn)是迅速收斂到. 即, 它取代產(chǎn)生斂速 得到一個(gè)冪次收斂式:即對(duì)于某個(gè)絕對(duì)常數(shù)和, 有 從而有 其中 事實(shí)上, 假定序列含在中的某個(gè)球內(nèi),屬于類,且當(dāng)時(shí),有 則由Taylor公式,有 根據(jù)定義,對(duì)任意的,有 于是有 從而有 我們可以取
證明: 如同反函數(shù)定理的證明, 我們令 且尋找元素使 假定, 并將在處以形式 展開,我們得到的如下方程 其中, 因?yàn)?span>是線性同胚,故對(duì)充分小的, 也是線性同胚. 因而對(duì)充分小的, 算子 有定義. 我們將證明:(i)對(duì)充分小的0' data-formula-type='inline-equation'>, 定義一個(gè)映到自身的壓縮映射,從而方程 是唯一可解的. (ii)如此產(chǎn)生的收斂迭代與迭代一致. 為證明是壓縮映射, 我們采用記號(hào). 先將對(duì)的依賴作出某些估計(jì). 由(ii)和恒等式 有 于是, 令, 我們得到 因而,當(dāng)<\min\{(2m_1c)^{-1},\delta\}'="" data-formula-type="inline-equation">時(shí), 存在且. 此外, 對(duì) , 有 現(xiàn)在, 綜合以上結(jié)果,并利用定理的假設(shè),倘若和充分小, 我們可得 其中, 是與和無(wú)關(guān)的正常數(shù). 另外, 這可推出: 倘若, 則有 從而, 適當(dāng)選取且因此使充分小,則是映到自身的壓縮映射. 于是,有唯一不動(dòng)點(diǎn), 它定義韋以下序列的極限). 令, 則上式可變成定理中提到的經(jīng)典Newton迭代格式 令 , 可得對(duì)的估計(jì). 這因?yàn)橛刹坏仁?/p> 有 事實(shí)上, 于是, 若令 則由 我們得到 局部滿映射的一個(gè)判別法若不可逆,那么,對(duì)在附近的性態(tài)能說(shuō)些什么呢? 現(xiàn)在我們已經(jīng)能夠研究這種情況: 是滿射,但不必是單射.
證明:只需證明對(duì)附近的, 當(dāng)充分小時(shí),方程 有解. 由于在附近屬于, 所以最后這個(gè)方程可以改寫成 其中, 為證最后這個(gè)方程有解,對(duì)給定的, 我們考慮以下線性方程 因?yàn)?span>是滿射,所以閉值域定理保證這個(gè)方程有解, 使得 其中, 是與無(wú)關(guān)的常數(shù). 于是,我們可以定義一個(gè)序列讓滿足: (i); (ii) 顯然,由在的一個(gè)小球內(nèi)的極限的存在性(對(duì)附近的任何)將可證明定理. 由驗(yàn)證壓縮映像原理的不等式 我們來(lái)確定這個(gè)極限. 事實(shí)上, 當(dāng)和, 根據(jù) , 對(duì), 當(dāng)充分小時(shí),有 于是, 對(duì)一切有. 另一方面,對(duì), 于是, 根據(jù)中值定理, 對(duì)某個(gè), 有 因?yàn)?span>屬于, 故當(dāng)充分小時(shí), 因此, 由壓縮映像原理的證明, 序列是收斂的,且, 于是 從而對(duì)附近的, 是開映射. |
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來(lái)自： taotao_2016 > 《微積分》
