物理學(xué)家長期以來一直在為無限發(fā)散級(jí)數(shù)（如果你愿意的話,，也可以是無限和）分配有限的值，例如 

和 ：

盡管這樣做相當(dāng)有爭(zhēng)議,，但不知何故,，當(dāng)物理學(xué)家用這些值取代他們理論中的無窮大時(shí)，他們得到的有限結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有驚人的數(shù)值精度,。

考慮到物理是一門以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的學(xué)科,，數(shù)學(xué)界對(duì)此也是欣然接受，也為這套理論提供了一個(gè)基礎(chǔ)。

從哲學(xué)的角度來看,，這些級(jí)數(shù)發(fā)散得如此之快,，以至于它們“超越”了無窮大，然后在數(shù)軸上繞了回來,。這就好像數(shù)軸本身在拓?fù)湟饬x上是類似于一個(gè)圓,，或者更一般地說，如果我們將復(fù)平面看作是一個(gè)球面,，那么這種現(xiàn)象就更容易理解,。

在現(xiàn)實(shí)世界中，物理學(xué)家正在推測(cè),，我們的三維空間是否實(shí)際上是從某個(gè)遙遠(yuǎn)的二維表面投影而來的,。這被稱為全息原理（holographic principle）。是的,，我知道這聽起來可能有些不可思議,，但他們之所以考慮這種可能性，是有其充分理由的,，而這背后有一個(gè)很長但又非常有趣的故事……

同樣地,，我們可以使用這種（立體投影，stereographic projection）來構(gòu)造一個(gè)與復(fù)平面（或通常的笛卡爾坐標(biāo)系）平行的世界,。我們可以把平面上的一個(gè)點(diǎn)  ——或者等價(jià)地，對(duì)于熟悉復(fù)數(shù)的人來說,，可以用   來表示——看作在三維空間中一個(gè)以原點(diǎn)為中心,、半徑為1的球面上有一個(gè)“孿生”對(duì)應(yīng)點(diǎn)。這樣,，平面上的每一個(gè)點(diǎn)都與球面上的一個(gè)點(diǎn)形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,，除了球面上的某個(gè)特殊點(diǎn)，我們稍后會(huì)再討論這個(gè)點(diǎn),。

通過球面化來解決無窮相關(guān)的問題

在我們討論所謂的黎曼球面（Riemann sphere）之前,，先讓我們從一個(gè)看似簡單的問題開始。這是世界各地的孩子們每天都會(huì)問老師的問題：

“為什么我們不能除以零,？”

可憐的老師們通常會(huì)想出一些奇怪的答案,，比如“因?yàn)槟悴荒馨雅_分成0均等的份”——甚至可能會(huì)有更離譜的解釋。然而,，真正的答案是：我們無法以一致的方式定義除以零的操作,，原因其實(shí)有好幾個(gè)。

假設(shè)我們定義一個(gè)實(shí)數(shù)  ,。然后通過在兩邊乘以  ,，我們將得到   ，這當(dāng)然是錯(cuò)誤的。好吧,，而這顯然是錯(cuò)誤的,。因此，如果我們?cè)试S除以零,，那么結(jié)果就不可能是一個(gè)實(shí)數(shù),。

好吧，那我們不妨把這個(gè)結(jié)果定義為無窮大(  ),并且在實(shí)數(shù)軸上附加正無窮大和負(fù)無窮大作為額外的數(shù)值（這稱為擴(kuò)展實(shí)數(shù)軸,，extended real line,，這實(shí)際上是一個(gè)數(shù)學(xué)上正式存在的概念）。

然而,，抱歉要讓你失望了,，這種方法依然存在問題。特別是,，除法運(yùn)算將不再是連續(xù)的,，因?yàn)?0 作為負(fù)數(shù)和正數(shù)的分界點(diǎn)，導(dǎo)致以下問題：

• 如果從左側(cè)趨近0（即分母趨近0,，但為負(fù)數(shù)）,，則商趨近負(fù)無窮大。

• 如果從右側(cè)趨近0（即分母趨近0,，但為正數(shù)）,，則商趨近正無窮大。

這意味著,，在通常的實(shí)數(shù)軸（或擴(kuò)展實(shí)數(shù)軸）上,，我們無法在連續(xù)性的意義下定義除以零的操作。唯一可能的解決方案是讓正無窮大和負(fù)無窮大相等,，即它們是同一個(gè)點(diǎn),。這樣，我們就不再是把數(shù)軸視為一條線,，而是將其拓?fù)涞亍胺忾]”成一個(gè)圓,。這解決了連續(xù)性的問題，同時(shí)使得除以零的操作可以合理地解釋——我們可以定義對(duì)于所有非零實(shí)數(shù)  ,，  而  仍然是未定義的情況,。

類似的方法可以在平面上進(jìn)行推廣，但在這里,，我們不能簡單地把數(shù)軸的兩端連接起來,，而是需要把整個(gè)無限“地平線”封閉成一個(gè)點(diǎn)。這有點(diǎn)像收緊袋口的邊緣,，最終將整個(gè)平面“包裹”成一個(gè)球面,，并在某個(gè)特殊點(diǎn)處完成“封閉”——這個(gè)點(diǎn)被稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)（the point at infinity）,。這樣，我們就得到了一個(gè)球面,，其中包含了一個(gè)特殊的無窮遠(yuǎn)點(diǎn),。

構(gòu)造這一過程的具體方法是通過一個(gè)從平面到單位球面的映射函數(shù)  ，想象一個(gè)數(shù)字平面,，比如復(fù)數(shù)平面  或者通常的笛卡爾平面(即二維實(shí)向量空間  ,同時(shí)想象在這個(gè)平面原點(diǎn)處放置一個(gè)半徑為1的球面,。

對(duì)于平面上的每一個(gè)點(diǎn)  ,我們可以做如下操作：

• 以球體的北極點(diǎn)  為起點(diǎn)，作一條穿過  的直線,。

• 這條直線必然會(huì)與球面在另一個(gè)唯一的點(diǎn)相交,，我們稱這個(gè)交點(diǎn)為  

• 我們將  通過  映射到球面上的點(diǎn)  

通過這個(gè)映射，我們建立了平面與球面之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,，并且只缺失球面的一個(gè)點(diǎn)——即北極點(diǎn)  ,，它可以看作是整個(gè)平面延伸至無窮遠(yuǎn)的極限點(diǎn)。這樣,，我們就構(gòu)造出了黎曼球面,，它為我們提供了一種新的方式來理解無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和除法運(yùn)算的連續(xù)性問題。

不僅如此,，我們還可以把  ：  的明確公式寫出來：

在給定的平面是復(fù)平面的情況下,，相應(yīng)的球面被稱為黎曼球面（Riemann sphere），有時(shí)也被稱為擴(kuò)展復(fù)平面（extended complex plane）,，因?yàn)樗灰暈榧?nbsp; 

映射  將復(fù)平面的復(fù)結(jié)構(gòu)帶到球面上（實(shí)際上,，這是一個(gè)同胚映射，即 homeomorphism）,。由于球面包含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)  ,，因此在球面上允許出現(xiàn)極點(diǎn)(poles）。這意味著,，我們可以將亞純函數(shù)meromorphic functions）視為全純函數(shù)（holomorphic functions），只不過此時(shí)是定義在黎曼球面上,！

從球面上去掉北極點(diǎn)的部分到復(fù)平面的逆映射通常被稱為立體投影映射（stereographic projection）,。

在這個(gè)空間中，我們實(shí)際上允許除以零,，因?yàn)楸睒O點(diǎn)已經(jīng)成為球面的一部分,。因此，像  這樣的函數(shù)在  處是連續(xù)的,。為了更清楚地理解這一點(diǎn),，在接下來的部分，我們將考慮一些著名函數(shù)的圖像,，并觀察它們通過  映射到單位球面的情況,。

球面上的實(shí)函數(shù)

讓我們從最著名的函數(shù)開始：自然指數(shù)函數(shù)  ,。我們有以下圖:

看看它是如何優(yōu)雅地閉合成一個(gè)環(huán)的，因?yàn)閳D像的兩端都趨于無窮,。在這里,，紅色軸是x軸，綠色軸是f軸,。

從正上方直接觀察,，我們可以更清晰地理解其形狀，同時(shí)還能看到我們熟悉的函數(shù)圖像,！

讓我們來看一下這個(gè)麻煩制造者  ,當(dāng)將其定義為一個(gè)實(shí)函數(shù),，即:  ,它在  處是不連續(xù)的，然而,，在球面上,，這個(gè)函數(shù)同樣形成了一條優(yōu)美的封閉曲線！f(x) = \frac{1}{x}

這個(gè)函數(shù)在  并沒有良好定義,，因?yàn)樗跓o窮遠(yuǎn)處存在問題,。然而，在球面上,，它在  處是完全良好定義的,。

詩意地說，它形成了一個(gè)無限符號(hào)  ,，這就像是在數(shù)學(xué)蛋糕上點(diǎn)綴的糖霜,，增添了美妙的意境。那么,，常數(shù)函數(shù)呢,？

下面繪制的是函數(shù)  的圖像：

常數(shù)函數(shù)在球面上表現(xiàn)為圓，并在無窮遠(yuǎn)處相交,。那么對(duì)數(shù)函數(shù)呢,？毫不意外，自然對(duì)數(shù)函數(shù)在球面上的形狀與指數(shù)函數(shù)相同,。

我們還有更多特殊函數(shù)圖,，例如伽馬函數(shù)  ：

此外，還有一個(gè)更為廣泛的研究領(lǐng)域——黎曼曲面(Riemann surfaces),，它涉及比球面更一般幾何形狀,，即流形(manifolds)。有機(jī)會(huì)我們可以再說,。

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