由于微積分的發(fā)明，數(shù)學(xué)在其精巧性上得到了一個巨大的飛躍,。這些思想成了數(shù)學(xué)的一個廣闊領(lǐng)域（分析）的基礎(chǔ),。

極限

我們是怎樣知道2的平方根的？我們現(xiàn)在知道,，2的平方根是一個無限不循環(huán)小數(shù),，趨近于一個實數(shù)x，我們無法真正地寫出x的值,。通過逼近法,，我們大概知道x=1.4142135……。

另外,，我們?nèi)绾斡弥背邷y量一條曲線的長度,？通常做法是,，先沿著曲線畫幾個點P_0，P_1,，P_2,，…，P_n,，然后,，測量P_0到P_1的距離、P_1到P_2的距離,，直到P_n,。最后把這些直線距離加起來。如果點足夠多,，分布又平均，測得的距離值就是一個很好的近似,。此外,，這種方法還能給出“準(zhǔn)確長度”的意義：如果取無限多個點，那么長度會趨近某個數(shù)y,。這時,，我們知道曲線的確切長度是y。

以上兩個例子中都涉及到一個數(shù)x,，y,，這兩個數(shù)是通過“逼近法”得到的。但是逼近一詞的意義有些含糊,，把它定義清楚很重要,。

下面兩個例子非常重要，建議熟記于心,。第一個是序列

在某種意義下可以說這個序列趨近于1,，因為每一項都比前一項離1更近。但是我們所謂的趨近于1并不是這個意義,，關(guān)鍵并不在于離1越來越近,，而在于能夠任意地接近，只有一個數(shù)值是這個序列所要趨近的,，它顯然就是“極限1”,。

第二個例子用一種不同的方式說明這一點，

這些數(shù)趨近于0,，雖然每一項并非每一項都比前一項更接近0,。然而，有一點是真的,，這個序列最終離0要多近有多近,，而且以后一直至少那么近,。

“要多近就有多近，而且以后一直至少那么近”這句話就是極限的數(shù)學(xué)概念的定義,。

數(shù)列a_1,，a_2，a_3…的極限是l,，如果這個數(shù)列最終會離l要多近就有多近,，而且以后一直至少那么近。

然而,，我們要把這句話翻譯成數(shù)學(xué)語言,。

設(shè)δ為一正數(shù)（通常設(shè)想它很小）,，如果a_n與l的距離

小于δ,，就說數(shù)列δ-逼近于l。說這個數(shù)列最終δ-逼近于l而且以后一直至少那么近,，這又是什么意思呢,？這就是說“從某一點往后，所有的a_n都δ-逼近于l”,。什么叫做“從某一點往后”呢,？就是說有一個數(shù)N具有以下性質(zhì)∶從N 往后，a_n都會δ-逼近于I,，用符號來寫,，就是

還有弄清楚，“要多近就有多近”是什么意思,，這就是說對于任何一個你想要指定的δ,，這個句子都成立，用符號來寫就是

最后,，翻譯翻譯什么是δ-逼近于l,，用符號來寫就是

極限的概念用于比數(shù)廣泛得多的范圍。如果有一族數(shù)學(xué)對象,，又能夠說得出任意兩個這種對象的距離,，就可以說，這種對象的序列有極限的問題,。兩個對象,，如果其距離小于δ，就說它們是δ-逼近的,。例如空間里的點的序列可以有極限,，函數(shù)序列也可以有極限。一個進(jìn)一5步的例子來自分形理論,，在那里出現(xiàn)的很復(fù)雜的圖形最好是定義為較簡單的圖形的極限,。

連續(xù)性

假設(shè)您想要知道 π2的近似值,，也許最簡單的是在計算器上按下按鈕 π，顯示出3.1415927,，然后再按x2按鈕,，又得出9.8696044。計算器并沒有對π做出準(zhǔn)確值的平方,，相反,，它只是做了3.1415927的平方。為什么計算器做了一個錯誤的數(shù)的平方而不會出什么問題呢,？我們怎么能知道,，如果x是π的一個好的近似，那么x2也會是 π2的一個好近似值呢,？

如果x是π的一個好的近似,，就可以寫出x=π＋δ，而δ是一個很小的數(shù),，于是

因為δ很小,，所以2δπ＋δ2也很小，于是x2也就是π2的好近似值,。

是什么使得上面的推理有效,？那就是把x變?yōu)槠淦椒降暮瘮?shù)是連續(xù)的,。粗略地講,，這意味著如果兩個數(shù)很接近，則它們的平方也很接近,。

為了把連續(xù)性說得更精確一點,，我們現(xiàn)在回到π2的近似計算，而且設(shè)想我們希望把它做得精確得多——例如使得小數(shù)點后的前100位數(shù)都是正確的,。這時計算器不會有大的用處,，但是我們可以找到π的十進(jìn)小數(shù)展開式的各位數(shù)值（可以在網(wǎng)上找到這樣的值，它可以告訴你至少5000萬位）,，用它來作為新的x,，這個x 是π的一個好得多的近似值，用電腦來做必要的很長的乘法,，就能得出新的x2,。

如果想要x2是π2的誤差在10^（-100）之內(nèi)的近似值，x需要接近π到何種程度,？為了回答這個問題,。再令x=π＋δ，于是x2-π2=2δπ＋δ2,，做簡單計算就知道,，如果δ的模小于10的-101次方,，則這個差的模就會小于10的-100次方。所以,，只要取π的前101位小數(shù)正確就行了,。

比較一般地說，不論我們希望對π2的估計多么精確,，只要使得x是π 的一個充分好的近似,，就總能夠達(dá)到這個精確度。用數(shù)學(xué)的語言來說就是∶函數(shù)f（x）=x2在π點是連續(xù)的,。

讓我們用符號來說明這一點,。“在精確度ε之內(nèi),，x2=π2”這個命題的意思是

所謂使x2=π2達(dá)到任意的精確度,，就是要求上述不等式對于任意的ε都成立。所以,，我們應(yīng)該先說Vε>0?，F(xiàn)在再來看“使得x是π的一個充分好的近似”這句話，這里面的思想就是有一個 δ > 0,，使得只要x離π之差在δ之內(nèi),，則可以保證近似的精確度在ε之內(nèi)。這就是說,，存在一個δ>0,，使得若|x-π|<δ，就可以保證|x2-π2|<ε,。把這一切都放到一起,，就得到下面的符號語句∶

用通常的語言來說就是∶"給定任意正數(shù)ε，必有一個正數(shù)δ,，使得若|x-π|小于δ,，則有|x2-π2|<ε。"

我們已證明了函數(shù)f（x）=x2在點x=π處連續(xù)?，F(xiàn)在我們把這個概念加以推廣∶令f為任意函數(shù),，而a為任意實數(shù)。我們說f在a處連續(xù),，如果

說函數(shù)f是連續(xù)的,，就是說它在每一點a處都連續(xù)。粗略地說,，就是f沒有“突然的跳躍”,。

和極限的情況一樣，連續(xù)性的思想也可用于更一般的場合下，而且理由也相同,。令 f 是由一個集合 X 到另一個集合 Y 的函數(shù),，而且設(shè)有兩個距離概念，其中一個適用于 X 的元素,，另一個適用于Y 中的元素,。用 d（x，a）表示x和a的距離,，d（f（x）,，f（a））表示f（x）和f（a）的距離，我們說f在a處連續(xù),，如果

而如果f在X的每一點a都連續(xù),，就說f在X上連續(xù)。

連續(xù)函數(shù)也和同態(tài)一樣,，可以看成是保持了某種結(jié)構(gòu)的,。可以證明，一個函數(shù)在 a 點連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng) a_n →a 時必有 f（a_n）→f（a）,。這就是說,，連續(xù)函數(shù)就是那種保持由收斂序列及其極限所提供的結(jié)構(gòu)的函數(shù)。

微分

函數(shù)f在a點的導(dǎo)數(shù),，是衡量f（x）在x通過a點處的變化率的一個數(shù)?，F(xiàn)在我們要推介一種稍有不同的看待它的方法，這個方法更為一般,，而且打開了通向很大一部分現(xiàn)代數(shù)學(xué)的門戶,。這個思想就是微分作為一種線性近似。

直觀地,，f'（a）=m就是說,，如果用一個非常強(qiáng)大的顯微鏡在包含點（a,，f（a））的一個微小的區(qū)域里去觀看 f 的圖像,，則我們看到的，幾乎恰好就只是一條梯度（即斜率）為m的直線,。換句話說,，在點a的充分小的鄰域里，函數(shù)f近似地為線性函數(shù),。我們甚至可以把這個作為f的近似的線性函數(shù)g寫出來∶

這是過點（a,，f（a））而梯度為m的直線的方程。另一個比較清楚的寫法是

說g在點a的一個小鄰域里逼近 f,，就是說當(dāng) h 很小時,，f（a ＋ h）近似地等于f(a)+mh。

在這里必須小心一點∶只要f不發(fā)生突然的跳躍，則當(dāng)h很小時,，f（a＋h）總是很接近于f（a）,，而 mh 總是很小，從而 f（a＋h）總是近似地等于f（a）＋mh,。似乎不論m是什么數(shù)都是可以的,，然而我們需要了解的是，當(dāng)m=f'（a）時,，會發(fā)生什么特別的情況,。把m=f'（a）這個特殊的值單獨提出來，并不僅僅在于f（a＋h）接近于f（a）＋mh,，而且在于它能夠使二者接近到這樣的地步,，即差ε（h）=f（a＋h）-f（a）-mh比h更小。就是說當(dāng)h→0時,，ε（h）/h→0,。

這些概念能夠推廣的理由是∶線性映射的概念并不簡單地只是一個由R到R 的形如 g（x）=mx＋c的函數(shù)，它還要廣泛得多,。在科學(xué),、工程、經(jīng)濟(jì)和許多其他領(lǐng)域里出現(xiàn)的函數(shù)都是多元函數(shù),，所以可以看作是定義在一個維數(shù)大于1的向量空間里的函數(shù),。只要采用了這種觀點，立刻就會問,，它們能否在一點的一個小鄰域中,，用線性映射去逼近。如果能,，那就非常有用了,，一個一般的函數(shù)，性態(tài)可以極為復(fù)雜,，但是如果能用線性函數(shù)去逼近它,，至少在n 維空間的一個小鄰域里，它的性態(tài)就容易理解多了,。這時,，可以用線性代數(shù)和矩陣的工具，這些工具會導(dǎo)出切實可行的計算,，至少在借助于計算機(jī)時,，這些計算是切實可行的。

舉例來說,，想象一個氣象學(xué)家,，他在觀測地球上空某個3維區(qū)域時,，關(guān)心風(fēng)在不同地點的方向和速度的變化。風(fēng)的性態(tài)是非常復(fù)雜的,，甚至是混沌的,，但是為了得到對它的某種程度的掌握，可以這樣來描述它,。對此區(qū)域的每一點（x,，y，z）,，都附加一個向量（u,，v，w）代表風(fēng)在此點的速度,，u,，v和w就是x，y和z方向的分速度,。

現(xiàn)在取三個小數(shù)h,，k和l，用它們來把點（x,，y,，z）稍稍變動一下，再來看點（x＋h,，y+k,，z＋l）。我們希望,，在這個新點上風(fēng)速向量也稍有變化,，成為（u＋p，v+q,，w＋r）,。 風(fēng)速的微小變化（p，q,，r）怎樣依賴于位置向量的微小變化（h,，k，l）呢,？只要風(fēng)不那么像湍流,，而h,，k 和l又足夠小,，我們希望這種依賴性大體上是線性的。換句話說,，我們希望有某個線性映射T,，使得當(dāng)h，k和l足夠小的時候，（p,，q,，r）大體上就是（h，k,，l）,，注意，（p,，q,，r）的每一個都依賴于所有的h，k,，l,，所以就需要9個數(shù)才能確定這個線性映射。事實上,，我們可以把這個線性映射寫成矩陣形式∶

矩陣的各個項a_ij,，就表示各個依賴性。例如,，若x和z是固定的,，也就是若h=l=0，由此可知 a_12就是分量 u 在只有 y 變動時的變率,。就是說,，a_12是（x，g,，z）點處的偏導(dǎo)數(shù)

這樣就算出了矩陣,，采用向量記號更加方便。用黑體的字母x來表示（x,，y,，z），類似地,，用黑體u（x）代表（u,，v，w）,，黑體h代表（h,，k，l）,，黑體p代表（p,，q，r）,。于是我們所說的就是對于某個比h更小的向量ε（h）,，有

換一個說法,，我們可以寫出

這是一個與前面的公式 g（x＋h）= g（x）＋mh＋ε（h）非常相似的公式。它告訴我們,，如果對x加上一個很小的向量h,，則u（x）的改變大體就是T（h）。

成立,，其中ε（h）是一個相對于h更小的向量,，則定義u在點x∈R（有上標(biāo)n）處可微。線性映射T稱為u在x點的導(dǎo)數(shù),。

• 無法打出上標(biāo),，故截圖

對一元函數(shù)而言，可微可導(dǎo)是一回事,；而對多元函數(shù)而言,，偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微。

偏微分方程

偏微分方程在物理學(xué)中具有極大的重要性,，而且啟發(fā)出了大量的數(shù)學(xué)研究,。這里要討論三個基本的例子。

第一個例子是熱方程,，它描述熱在一個物理介質(zhì)里的分布怎樣隨時間變化,，這時會得到下面的方程∶

這里，T（x,，y,，z，t）刻畫位于（x,，y,，z）處在時刻t的溫度。方程左方的

很簡單,，就是令空間坐標(biāo) x,，y 和 z 不動而時間t 變化時，溫度T（x,，y,，z，t）的變化率,。我們希望這個變化率依賴于什么,？熱在介質(zhì)里面?zhèn)鞑ナ切枰獣r間的，雖然在遠(yuǎn)處（x',，y',，z'）點的溫度終究會影響到（x，y,，z）點的溫度,，但是溫度正在變化的方式只會受到近于（x,，y,，z）點的地方的溫度的影響,，如果就在（x，y,，z）很小范圍的鄰域內(nèi),，介質(zhì)溫度平均地比在此點熱一點，我們就會預(yù)期到溫度上升,，如果冷一點,，就預(yù)期會下降。

方程右方括弧里的式子出現(xiàn)得很頻繁,，所以它有一個簡寫的符號△,，定義為

稱為拉普拉斯算子。那么,，△f關(guān)于函數(shù)f提供了什么信息呢,？答案是∶它告訴我們當(dāng)這個鄰域的大小趨于零時，f在（x,，y,，z）點的值與它在（x，y,，z）點的緊接著的鄰域里的平均值的比較,。

這一點從公式看并不明顯，但是下面的一維情況的論證卻給出為什么會有二階導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)的線索,。令f是一個把實數(shù)變成實數(shù)的函數(shù),。為了得到f在x點的二階導(dǎo)數(shù)的一個好的近似，我們來對小的h看一下以下的表達(dá)式∶（f'（x）-f'（x-h））/h,。導(dǎo)數(shù)f'（x）和f'（x-h）本身又可以分別用（f（x＋h）-f（x））/h和（f（x）-f（x-h））/h 來逼近,，把這些近似的式子都代入早前的表達(dá)式，就會得到

它就等于（f（x＋h）-2f（x）＋f（x-h））/h2,，把它的分子除以2,，就得到

這就是f在x點的值與它在兩個鄰近點x＋h和x-h的平均值的差。

換句話說,，二階導(dǎo)數(shù)傳遞的正是我們需要的思想——在x點的值和在x附近的平均值的比較,。值得注意的是，如果f是線性的,，則f（x-h）和f（x＋h）的平均值就等于f（x）,，這與我們熟知的事實，即線性函數(shù)f的二階導(dǎo)數(shù)為零是相符合的,。

正如我們在定義一階導(dǎo)數(shù)時要用h去除f（x+h）-f（x）,，使得分子f（x+h）-f（x）不僅自身變得很小 ,，而且與 h 的比值有極限。所以,，對于二階導(dǎo)數(shù),，用 h2 去除是適當(dāng)?shù)模驗橐浑A導(dǎo)數(shù)關(guān)系到線性逼近,，二階導(dǎo)數(shù)關(guān)系到二次逼近,，準(zhǔn)確地說，對于函數(shù)f,，在 x 點附近,，最好的二次近似就是

而如果從一開始f就是一個二次函數(shù)，可以驗證,，這個近似式變成了準(zhǔn)確的,。

可以追隨這類思想來證明，如果f是三個變量的函數(shù),，則△f在（x,，y，z）處的值確實告訴我們f在（x,，y,，z）處的值與它在（x，y,，z）附近的平均值的比較如何（自變量的個數(shù)3在這里沒有什么特別,，這里的思想很容易推廣到任意多個變量的函數(shù)）。在熱方程里,，余下需要討論的就是參數(shù)k了,，它量度介質(zhì)的導(dǎo)熱性。

第二個很重要的方程是拉普拉斯方程 △f =0,。直觀地看,，它說的是，一個函數(shù)f在一點（x,，y,，z）的值總是等于它鄰域的平均值。如果f是一個變量x的函數(shù),，這個方程說的就是f的二階導(dǎo)數(shù)為零,。然而，如果f是兩個或更多個變量的函數(shù),，情況就要靈活多變得多——這函數(shù)在某些方向上,，可以位于切線上方，而在另一些方向上則位于切線下方。結(jié)果是,，我們可以對f賦予多種邊值條件（就是在某個區(qū)域的邊界上指定f的值）,，而且這會有大得多也更加有趣的解的類。

第三個基本的方程是波方程,。它的一維情況的陳述是∶它描述連接兩點A與B的振動的弦的運(yùn)動,。設(shè)用h（x，t）來表示弦在距離A為x處,、時刻t時的高度,。波方程指出

暫時不去管常數(shù)1/v2,，方程左方表示弦在離開A點為x處的一小段的（鉛直方向的）加速度,。這個加速度應(yīng)該正比于作用于弦的這一小段的力。那么,，是什么來決定這個力呢,？暫時設(shè)弦包含 x 的一小段是直的，則從x 左方來的對弦的拉力與來自x右方的拉力就完全抵消了,，而作用的凈力為零,。這樣，問題又一次成了x處弦的高度與鄰近的高度平均值的比較,，如果弦位于x處的切線的上方,，就應(yīng)該有一個向上的力，如果弦在下方,，就應(yīng)有向下的力,。這就是為什么二階導(dǎo)數(shù)又一次出現(xiàn)在方程右方。由這個二階導(dǎo)數(shù)到底能得出多大的力取決于以下因素,，例如弦的密度和拉緊的程度,，這樣在右方就出現(xiàn)了一個常數(shù)。因為h和x都是距離,，v2就有（距離/時間）2的量綱,，這就意味著v是一個速度，事實上,，它就是波傳播的速度,。

類似地，考慮可以給出三維的波方程,，我們可以想象到,，它應(yīng)該是

或簡單一些寫為

還可以寫得更簡單些

這里□是

的簡寫。算子□稱為達(dá)朗貝爾算子,。

積分

設(shè)有一輛汽車沿直路行駛1分鐘,，并且給出汽車的起點在哪里，這1分鐘內(nèi)的速度是多少,，能不能算出車走了多遠(yuǎn),？如果在整個1分鐘內(nèi),，速度都是相同的，則問題很簡單,。但是,，若車速是在變化的，問題就比較有趣了,。這時,，我們不再試圖給出準(zhǔn)確的答案，而是用下面的技巧去逼近它,。

首先,，給出汽車在這60秒的每一秒開始時的速度。其次,，在每一秒內(nèi)做一個簡單的計算,，看看汽車在這1秒之內(nèi)走了多遠(yuǎn)。這個技巧就是假設(shè)汽車的速度在整個1秒鐘之內(nèi)都等于它在1秒鐘之始的速度,。最后,，把這些距離加起來。因為1秒鐘只是很短的一段時間,，在這1秒鐘之內(nèi)汽車的速度變化不會太大,，所以這個方法會給出相當(dāng)準(zhǔn)確的答案。如果不滿意于其準(zhǔn)確度,，還可以把1分鐘分成更短的時間段,。

如果你學(xué)過初等微積分課程，就會用一種完全不同的方法來解決這個問題了,。在一個典型的問題里,，會給出速度在時刻t的顯示公式（例如at+u），要想算出汽車走了多遠(yuǎn),，只需要把這個函數(shù)"積分"出來,，就得到在時刻t 已經(jīng)走過的距離是

這里的所謂積分就是微分的反運(yùn)算∶要找出函數(shù)f（t）的積分，就是要找一個函數(shù) g（t）使得g'（t）=f（t）,。這樣做確實是有理由的,，因為如果g（t）是走過的距離，而f（t）是速度,，那么,，f（t）就是g（t）的變化率。

然而,，反導(dǎo)數(shù)并不是積分的定義,。要想知道為什么不是，考慮下面的例子。如果在時刻t速度是

那么走過的距離是多少,？我們知道,，沒有一個"好"的函數(shù)（所謂好函數(shù)，就是從諸如多項式,、指數(shù),、對數(shù)、三角函數(shù)之類的標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)“構(gòu)建”起來的函數(shù)）是以

為其導(dǎo)數(shù)的,，然而這個問題確實是有意義的而且有確定的解答,。

為了在這種反導(dǎo)數(shù)遇到困難時也能定義積分，我們又得回到前面討論過的那種糊涂的逼近過程,。沿這條思路的一個形式定義是由黎曼在19世紀(jì)中葉給出的,。為了看清黎曼的基本思想，以及看清積分和微分一樣,，可以很有用地用于多于一個變量的函數(shù),，我們來看另一個物理問題,。

設(shè)有一塊質(zhì)地不純的石頭,，想要通過它的密度來算出它的質(zhì)量。又設(shè)密度并非常值的,，而是在整塊石頭內(nèi)可以很不規(guī)則地變化,，甚至石頭里面可能有洞，所以在洞的那些地方密度為零,。該怎么辦,？

黎曼的方法是這樣的。

• 第一步,，把石頭放在一個立方體里面,。對于立方體的每一點（x，y,，z）都有密度值 d（x,，y，z）（如果點（x,，y,，z）取在石頭外部，或在一個洞里,，就令密度為零）,。

• 第二步，把這個立方體分成許許多多的小立方體,。

• 第三步,，在每一個小立方體里，找出密度最低的點，也找出密度最高的點,。令C為一個小立方體,，而設(shè)其中密度的最小與最大值分別為 a 和b，C的體積則為V,，這時,，石頭的 C 這一部分的質(zhì)量必在aV和bV之間。

• 第四步,，把這樣得到的aV加起來,，也把這些bV加起來。如果總和為M_1和M_2,，則石頭的總質(zhì)量就在M_1和M_2之間,。

• 第五步，把小立方體分得越來越小,，并且重復(fù)上面的計算,。這樣，M_1和M_2就會變得越來越接近,，也就得到了石頭質(zhì)量的越來越好的近似,。

類似于此，如果讓黎曼來解汽車問題,，他也會把這1分鐘的時間分成小區(qū)間,，并且在這些小區(qū)間里找出對于每一個小區(qū)間的最小與最大速度，就會得到一對數(shù)a和b,，于是就可以說,，汽車在這一小段時間里的距離最少是a，而最多是b,。把這樣兩組數(shù)加起來,，就可以說，在整個1分鐘時間里,，汽車走過的距離至少是D_1,，而最多是D_2。

在這兩個問題里,，都有一個函數(shù)（密度/速度）,，定義在一個集合（立方體/1 分鐘）上，要求出這個函數(shù)在某種意義下的"總量",。我們的做法都是把這個集合分成小的部分,，而在這些小部分里都用簡單的計算，得出這個量的下方與上方的近似,。這個過程就以（黎曼）積分而聞名于世,。若S表示這個集合,，f表示這個函數(shù)，于是f在S上的總量,，就叫做f在S上的（黎曼）積分,，并且寫作

這里用x 表示S的一個典型的元素。如果在密度的例子里S的元素是點（x,，y,，z），則可以用 f（x）dx 這樣的向量記號,，雖然并不常用,，讀者可以從上下文分清“x”現(xiàn)在是代表向量，還是通常的實數(shù),。

我們花了不少功夫來把積分和反導(dǎo)數(shù)區(qū)分開來,，但是有一個稱為微積分基本定理的著名定理，斷言這兩個方法（積分和反導(dǎo)）事實上會給出相同的答案,，至少當(dāng)所考察的函數(shù)具有所有的“合理的”函數(shù)一定會具有的某些連續(xù)性時是這樣的,。所以，通常都認(rèn)為把積分看成微分的反運(yùn)算是合理的,。確切些說,，如果f是連續(xù)的，而F（x）可以對于某個常數(shù)a定義為

則F（x）可以微分,，而且F'（x）=f（x）,。就是說，如果先把一個連續(xù)函數(shù)積分了,，再去做微分，就會得到原來的函數(shù),。反過來說,，如果F有連續(xù)導(dǎo)數(shù)f，而a是一個適當(dāng)選取的數(shù),，則

這就是說如果先把F微分了,，然后再取積分，就又會回到F,。事實上,，需要選取一個任意的常數(shù)a，而得到的是函數(shù)F減去F（a）,。

如果不假設(shè)連續(xù)性,，那么會得到什么樣的例外，看一下所謂的赫維賽德（Heavi-side）階梯函數(shù)H（z）的例子,，就會有一點概念了,。當(dāng)x<0時這個函數(shù)為0,，而當(dāng)想x≥0時為1。它在z=0處有一個跳躍,，所以在那里是不連續(xù)的,。當(dāng)x<0時這個函數(shù)的積分 J（x）為0，而當(dāng)x≥0時為x,。對于幾乎所有的x值,，有J'（x）=H（x）。然而J（x）的梯度在0處會突然跳躍,，所以J在那里是不可微的,，因而不能說J'（0）=H(0)=1。

全純函數(shù)

數(shù)學(xué)王冠上有一顆寶石,，就是復(fù)分析,，它研究的就是變數(shù)為復(fù)數(shù)的可微函數(shù)。這一類函數(shù)稱為全純函數(shù),。

這些函數(shù)一開始看來并沒有什么特別的地方,，因為在這個情況下，導(dǎo)數(shù)的定義也與實變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義一樣∶若f是一個函數(shù),，它在復(fù)數(shù)z處的導(dǎo)數(shù)定義也是當(dāng)h趨于零時（f（z＋h）-f（z））/h的極限,。然而，如果以稍微不同的方式來看這個定義就會發(fā)現(xiàn),，想要一個復(fù)函數(shù)可微并不那么容易,。回想一下,，微分就是線性逼近,。在復(fù)函數(shù)情況下這就是說，我們想用形為 g（w）= λw＋μ的函數(shù)去逼近f（w）,，這里λ,，μ都是復(fù)數(shù)（在z點附近，f（w）的這個逼近式就是

所以λ=f'（z）,，μ=f（z））,。

讓我們從幾何上來看待這里的情況。如果λ≠0,，則對（w-z）乘以λ就相當(dāng)于把它按照某個因子

再將它旋轉(zhuǎn)一個角θ=argλ,。這意味著許多通常被認(rèn)為是平面上的線性變換，例如反射,、剪切,、各方向不同的拉伸等等，現(xiàn)在都被排除了,。為了確定λ,，只需要兩個實數(shù),，但是要確定平面上的一般的線性變換則需要四個。這種自由度數(shù)目的減少將用一組稱為柯西-黎曼方程的微分方程來表示,。我們不再寫f（z）而把它寫為

這里x,，g分別是z 的實部和虛部，u（z＋iy）,，v（x＋iy）則是f（z）的實部和虛部,。于是f在z點附近的線性逼近具有以下的矩陣∶

縮放和旋轉(zhuǎn)的矩陣形狀是

將它與上面的矩陣比較，就得到所謂的柯西—黎曼方程

它的一個推論就是

（并不清楚混合偏導(dǎo)數(shù)的對稱性是否作為必要條件而成立,，但是對于全純函數(shù),，它是成立的）。所以 u 適合拉普拉斯方程,。類似的論證表明v也是如此,。

這些事實告訴我們，復(fù)的可微性是一個比實的可微性強(qiáng)得多的條件,，所以可以預(yù)期,，全純函數(shù)會有許多有趣的性質(zhì)。

第一,，關(guān)于微積分基本定理,。設(shè)F是一個全純函數(shù)，而已知其導(dǎo)數(shù)f和F在某個復(fù)數(shù) u 處的值,，怎樣把F 重新構(gòu)造出來,？一個近似的方法如下∶

令w為另一個復(fù)數(shù)，我們想把F（w）構(gòu)造出來,。取一串點 z_0,，z_1，…,，z_m,，其中z_0=u，而z_n=w,。設(shè)所有的差

都很小。

由此可知F（w）-F（u）=F（z_n）-F（z_0）可以用

由上面的論證可以得到一個推論∶若路徑P從點z又回到同一點,，則路徑積分為零,。就是說，如果f是全純函數(shù)F的導(dǎo)數(shù),，則它在任意閉路徑上的積分為零,。與此等價有∶若兩條路徑P_1和P_2有相同的起點z和相同的終點w，則

因為它們都等于F（w）-F（z）,。這時,，我們說如果f是全純函數(shù)F的導(dǎo)數(shù),，則它的積分值與積分路徑無關(guān)。

所有這些結(jié)果都是在一個大的假設(shè)——f是全純函數(shù)F的導(dǎo)數(shù)下才得到證明的,。問題在于如果我們不是假設(shè)f是某個全純函數(shù)F的導(dǎo)數(shù),，而是假設(shè)它本身就是一個全純函數(shù)，以上結(jié)果是否仍然成立,？復(fù)分析里一個可以說是最重要的定理 ——柯西定理告訴我們,，這些結(jié)果仍然成立。具體說,，

為了使以上所說的這些結(jié)果成立,，并不需要f定義在整個復(fù)數(shù)平面C上，如果限制f定義在整個復(fù)數(shù)平面的一個單連通區(qū)域,，即沒有洞的開集合上,，則以上的一切都成立。如果區(qū)域里有洞,，則在兩條有相同起點和終點的路徑上的積分,，當(dāng)這兩個路徑合起來包圍了洞時，這兩個積分的值可以相差一個常數(shù),。因此,，路徑積分與平面的子集合的拓?fù)鋵W(xué)有密切的關(guān)系，這一點觀察在整個現(xiàn)代幾何學(xué)里面有繁茂的衍生物,。

可以從柯西定理推導(dǎo)出一件驚人的事情,，即若f是全純的，它一定可以微分兩次（對于實值函數(shù),，這是完全不真的）,。 由此可得f'也是全純函數(shù)，所以也可以微分兩次,。繼續(xù)下去,，就知道f可以微分任意次。這樣,，對于復(fù)函數(shù),，可微性蘊(yùn)含無窮可微性。

一個密切相關(guān)的事實是,，只要一個全純函數(shù)有了定義,，就一定能夠展開為冪級數(shù)。就是說,，如果f定義在以w為中心,、R為半徑的開圓盤上，而且在那里可微,，它就一定可以表示為

這個級數(shù)在這個圓盤中處處有效,，即在此圓盤中收斂,。這個冪級數(shù)稱為f的泰勒展開式。

全純函數(shù)的另一個基本的性質(zhì)是它的全部性態(tài)可以由它在一個小區(qū)域里的性態(tài)完全決定,。這個性質(zhì)說明了它們是何等地具有“剛性”,。由此，如果f和g都是全純的,，而且它們在某個小圓盤內(nèi)取相同的值,，則它們必定有相同的定義域而且處處取相同值。這個值得注意的事實允許定義一種所謂解析拓展的過程∶如果在想要定義一個全純函數(shù)的整個區(qū)域上去定義它有困難,，那么只需簡單地在某個小區(qū)域里定義它,，然后就可以說，它處處都只能取與已經(jīng)確定的值相容的唯一的值,。著名的黎曼ζ函數(shù)通常就是這樣定義的,。

最后我們還要提到劉維爾的一個定理，這個定理說,，如果f是定義在整個復(fù)平面上的全純函數(shù),，而且f是有界的（即存在一個常數(shù)C，使得對于每一個復(fù)數(shù)z都有|f（z）|≤C）,，則f必為常數(shù),。例如，函數(shù)sinx對于實的x，毫無困難地把有界性與極好的性質(zhì)連在一起∶它可以展開為一個處處收斂的冪級數(shù)（然而，如果用這個冪級數(shù)把 sinx 拓展到復(fù)平面上,，則如劉維爾定理所預(yù)期到的一樣,，所得到的函數(shù)就不再是有界的了）,。