不變

拓撲學屬于幾何學。

在歐氏幾何中,，剛性運動保持內(nèi)積不變：即平移,、旋轉(zhuǎn)、翻折保持長度,、角度不變,；仿射幾何中仿射變換則是保持單比不變；射影幾何中射影變換則是保持交比不變……幾何學的精神就是研究幾何對象在特定變換下的不變性,。這就是菲利克斯·克萊因在1872年發(fā)表的愛爾蘭根綱領中的重要思想,。

那么沿著這個思路，拓撲學研究的就是——在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì),。上面提及的變換,、映射都是連續(xù)變換，它們?yōu)槲覀冄芯扛鞣N連續(xù)變換提供了豐富的例子,。連續(xù)變換可以說是幾何學中最為一般的變換,，它可能不會保持長度，也可能不會保持比例……但是幾何對象在任意連續(xù)映射下,，總有些本質(zhì)是不變的。

連續(xù)

了解拓撲學,，前提是對連續(xù)性有一定的了解,。對連續(xù)性的感性認知,，人人生而就有：兩個原本很近的點，經(jīng)過連續(xù)映射后,，它們的像點也很近,。

我這里用了“近”這個感性的描述，事實上暗示了（拓撲）空間可能存在度量,。誠然,，度量誘導拓撲是十分自然的事情，足以應對常見的情形,，不過數(shù)學家并不止步于此,，因為“遠近”的概念還是沒有完全擺脫歐氏空間給我們帶來的束縛。鄰域,，則是從最基本的點集出發(fā),，為我們提供了“近”這一概念更一般性的刻畫，于是造就了更具包容性的理論,。

我們最常見的鄰域是度量空間中的開球,。鄰域，簡單來說就是描述一個（拓撲）空間的點是以什么樣的方式聚集在一起的,。它們被一份一份地打包起來,，而連續(xù)映射其實是這些“包裹”的快遞員。快遞打包的靈活性,，取決于鄰域的豐富性,。鄰域就像是泡泡，兩個泡泡并集是一個大的泡泡,，兩個泡泡交集會產(chǎn)生一個小泡泡,。這些泡泡都可以作為快遞的包裹。

包裹從一個空間快遞到另一個空間是不能“打散”的,，打散則就意味著連續(xù)性的破壞,。每一個完好無損被郵遞過來的包裹，一定原先也是完好無損的,，這就是連續(xù)性,。

同胚

如果兩個空間存在一個連續(xù)映射，其逆映射也連續(xù),，我們就說兩者同胚,。同胚就意味著兩者的一切拓撲性質(zhì)都相同：

同胚，那么從出發(fā)到任意其他的拓撲空間的連續(xù)映射,，都自然對應一個從到的連續(xù)映射,；反過來，如果到的有一個連續(xù)映射,，那么一定有一個從到的映射,。按范疇論的思想,，這并無本質(zhì)區(qū)別，可以視為同一個對象（設想兩個人的人際關系網(wǎng)完全一樣,，那么這兩個人的社會身份是一樣的,，即人是社會關系的總和）。

將一個正方形壓扁成一根線段是連續(xù)映射,，

但是這個映射不是同胚映射,，顯然它不可逆。從圖形角度看這個“壓扁映射”,，它之所以不是同胚,，是因為它將正方形上的點的鄰域降維了。

科幻小說《三體》中用二向箔降維打擊太陽系

雖然正方形和線段不同胚,，但是兩者同倫,。同倫是一個隨時間變量變化的連續(xù)變形，同倫允許將對象“壓扁”,。事實上,，同胚映射要求太高了，哪怕建立同倫也是十分困難的事情,。

甜甜圈同胚于咖啡杯,，因為兩者的虧格都是；如果在游泳圈（空心）表面挖去一個圓盤呢,？它同胚于何物,？上圖為我們展示了這個連續(xù)變化的過程，其同胚型是兩個平環(huán)在一個正方形區(qū)域粘貼重合,。如果求其同倫型,，則可以繼續(xù)壓縮變細，最終成為兩個圓周的一點并,。

代數(shù)

不變量其實是為了分類,。

同胚（同倫、同調(diào)）顯然是一個等價關系,，彼此不同胚的拓撲空間,，它們注定有質(zhì)的區(qū)別。閉曲面分類定理告訴我們,，這個區(qū)別就在于“洞”的個數(shù),，稱之為虧格。對于低維空間,，這都是顯而易見的,，那如何探討更高維的不變量呢？

與此同時，數(shù)學家不再滿足“不變量”,，誰說不變量非得是個數(shù)呢,？拓撲空間是否可以用其所蘊含的群作為名片,？代數(shù)和拓撲應運而生,。例如由拓撲空間上道路的接續(xù)作為乘法而構成的群——基本群，由閉鏈的形式和所構成的交換群——同調(diào)群……這些群的定義不受維數(shù)的影響,，是研究高維拓撲空間的利器,。事實上，拓撲空間各個維數(shù)同調(diào)群的秩的交錯和,，恰恰等于歐拉示性數(shù),，而后者與虧格有關?；貞淈S金多面體的歐拉公式：

這是一個交錯和的形式,。這里的就是球面的歐拉示性數(shù)，因為黃金多面體和球面同胚,。

到目前為止,，就連關于高維球面的同倫群（穩(wěn)定同倫群理論）仍然由許多未解之謎，數(shù)學家為此開發(fā)了許多代數(shù)拓撲工具：同倫論,、同調(diào)代數(shù),、譜序列……

微分

Morse理論：流形在臨界點（紅色）決定流形的拓撲結構

正如前文所述，一般的拓撲空間可能都不具備度量,。但是如果想將分析的工具應用在拓撲學中,，我們不得不對拓撲空間的光滑性有一定要求，我們稱之為微分拓撲流形,。

流形上的向量場是切叢的截面,。所謂切叢由流形每一點的切空間（切線、切平面……）構成,。Hopf-Poincare定理告訴我們,，流形上向量場的所有奇點指數(shù)，與流形的歐拉示性數(shù)有關,。而Morse理論則告訴我們,，通過流行嵌入到歐氏空間中的高度函數(shù)的非退化臨界點，可以決定流形生長的細節(jié)——在哪里分叉,，在哪里閉合,，于是其同倫型也就被決定了。僅僅是研究切叢就獲得了如此豐富的信息,，著名的Gauss-Bonnet-Chern（陳省身）定理更是暗示流形的纖維叢蘊藏著更豐富信息……

紐結理論——拓撲學分支,，研究圓周在三維空間嵌入的同痕分類。圖中為右手三葉結。紐結理論和規(guī)范場理論以及弦論有著很深刻的聯(lián)系,，例如楊振寧的Yang-Baxter方程與扭結的Reidemester變換形式相同,。