（文/方弦）

群論可以說是由伽羅華一手開創(chuàng)的數(shù)學分支，它主要研究的是各種對稱性,?？梢哉f，群就是對稱性的本質,。而拓撲學則可以追溯到歐拉,，它研究的是空間中連續(xù)變化的不變性?？梢哉f,，群論生來就屬于代數(shù)的范疇，而拓撲學則是脫胎于分析,。兩個理論剛提出的時候,，的確也沒有什么關系的。

但數(shù)學畢竟是研究抽象結構的學科,，在一個分支里碰見另一個分支研究的結構是常事,，而往往這樣的情況就會導致交叉分支的產(chǎn)生，很多非常漂亮的數(shù)學就是這樣來的,。于是,，在這里有兩種可能性：群論中出現(xiàn)了拓撲結構,，或者拓撲研究中出現(xiàn)了群。

我們先來談第一種情況,。群就是對稱性,，一般我們說到對稱性，都會想起梅花的五重對稱之類的有限對稱性,，但無限的對稱性也是存在的,。如果將群的元素的集合看成一個空間，有時候我們可以定義相應的拓撲空間,，使得群的運算跟拓撲空間本身能和諧共處,，用數(shù)學術語來說，就是令群的運算和逆元都成為拓撲空間中的連續(xù)映射,。這樣的話,，群加上群上面定義的拓撲空間，就變成了所謂的“拓撲群”,。拓撲群無處不在,，比如說實數(shù)和加法組成的群，再加上我們一般定義的實數(shù)上的拓撲,，就是一個拓撲群,。

研究拓撲群的數(shù)學分支，就是拓撲群論,。因為群是一個非常好的結構,，擁有很多很規(guī)整的性質，所以在它上面定義的拓撲空間通常也會有很好的性質,。而通過一些拓撲性質,，比如說緊性，我們可以將有限群論中的很多結論推廣到某些無限的拓撲群上,。在有了拓撲之后,，我們下一步還可以給群加上測度,，比如說最自然的哈爾測度,，由此又可以進入更廣泛的調和分析這個領域。拓撲群論中研究的一些群也非常重要,，比如說李群,，幾乎就是現(xiàn)代物理的數(shù)學基礎之一。

另一個方向,，就是在拓撲研究中出現(xiàn)的群,。這主要就是代數(shù)拓撲這個分支會做的事情。在這個分支中,，我們用到的不僅有群,，還有別的代數(shù)結構,。在代數(shù)拓撲中，我們通常會嘗試向拓撲空間賦予某種代數(shù)結構,，然后通過分析這些代數(shù)結構,，找出一些可以對這些空間進行分類的代數(shù)不變量。

（圖片來自維基百科）

舉個例子,，給定一個二維緊致閉曲面,，我們可以通過合適的三角剖分來在上面構造一個圖。如果考慮圖的環(huán)路組成的群,，以及它跟三角形三條邊加起來生成的群的話,，兩者的商就給出了一個自由群，而這個自由群的生成元個數(shù)就對應著曲面的歐拉不變量,，也就是唯一的拓撲不變量,。當然，在這個情況下可以通過直接計算圖的歐拉示性數(shù)來得到歐拉不變量,，但我們剛剛說到的方法可以輕易推廣到更高的維度,，這其實就是所謂的同調群。由此派生出的上同調群是代數(shù)幾何中承前啟后的重要數(shù)學對象,。

所以說,，這兩個領域雖然看似沒有關系，但隨著數(shù)學的發(fā)展,，它們之間就自然發(fā)生了關系,。這樣的故事，在許多不同的數(shù)學分支之間也在上映著,。