返樸

撰文 | 孟子楊

來源 | 選自《物理》2020年第11期

引 子

有的童話穿越歷史,，變成了一個(gè)民族心中的文化圖騰，如西游記之于中國人,，安徒生和格林童話之于歐洲人,。有的童話停留的時(shí)間稍短，但也是一代人甚至幾代人心中共同的啟蒙故事,，如《星際旅行》,、《鐵臂阿童木》、《機(jī)器貓》甚至《哈利波特》,。對中國的孩子來說,，尤其是在1980年代至1990年代成長起來的孩子，這樣的童話應(yīng)屬皮皮魯和魯西西的故事了,。這些故事填補(bǔ)了彼時(shí)孩子們十分枯燥和閉塞的學(xué)校教育的空白 (現(xiàn)在也許不閉塞了,，但是否枯燥不得而知)，讓他們感受到了想象力的震撼和獨(dú)立思考帶來的樂趣?，F(xiàn)在回頭看,，皮皮魯和魯西西的那些奇遇從技術(shù)上講十分落伍，在科學(xué)上有的更是完全不合理,，當(dāng)然也無法和現(xiàn)在的硬核工業(yè)黨穿越科幻相比,，但是皮皮魯和魯西西好就好在不按照彼時(shí)學(xué)校里和社會(huì)上灌輸給孩子們的教條行事，總愛搞些小玩鬧,、小探索,，卻總能在無意中發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的世界，讓彼時(shí)的孩子們知道,，好奇心和對不公正的一點(diǎn)點(diǎn)小反抗不但不是罪惡,，反而是特別正確和特別好玩的事，在特立獨(dú)行和無拘無束中才能學(xué)會(huì)真正的同情心和責(zé)任感,。

一晃幾十年過去,，彼時(shí)的孩子都長成了大人，他們中有人也開始教育自己的孩子按照當(dāng)下學(xué)校里和社會(huì)上的教條行事,，而他們自己也努力地學(xué)著當(dāng)下社會(huì)上的通行規(guī)范,，扮演著一個(gè)好員工、好同事、好下屬,、好老師或者好領(lǐng)導(dǎo)的角色,，童話嘛，畢竟是要遠(yuǎn)去的,。但是大家偶爾想起皮皮魯和魯西西,，又似乎心有不甘，想著畢竟什么時(shí)候還是要做出一些像他們那樣出格的,、有趣的事情,，嘗試一些與眾不同的、能夠發(fā)現(xiàn)新的世界的探索,，人生才不算白過,。若是有人完全忘記了皮皮魯和魯西西，那么這樣的人要么是對自身徹頭徹尾的失望者,，要么就是在當(dāng)下社會(huì)中徹頭徹尾的成功者,。在筆者熟悉的量子多體計(jì)算領(lǐng)域，就有一群這樣不能忘情的人,，還總想著皮皮魯和魯西西,，總喜歡玩些在行業(yè)內(nèi)的正人君子們、行業(yè)內(nèi)的成功者們看來離經(jīng)叛道,，吃力不討好的游戲,。好在他們自己覺得有趣，在這樣的玩鬧中自己的好奇心和求知欲得到了極大的滿足,，并且漸漸開始影響和鼓勵(lì)著身邊的朋友們,。最近就有這樣一個(gè)故事，這幾個(gè)童心未泯的小伙伴,，用蒙特卡洛和張量重正化群的計(jì)算方法,，完成了好幾個(gè)好玩的計(jì)算，還鼓動(dòng)著實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家們驗(yàn)證了他們的結(jié)果,，實(shí)驗(yàn)的伙伴們更發(fā)現(xiàn)了有趣的新問題,。大家就這樣一路樂此不疲地玩下去。

下面就是他們的故事,，為了講好這個(gè)故事,，為了向皮皮魯和魯西西致敬，姑且稱這樣一群人都是蒙蒙卡和張量量吧,。

蒙蒙卡與張量量探索量子材料

量子材料研究是很好玩的事情,，因?yàn)榱孔硬牧鲜且粋€(gè)很大的筐，什么東西都放得進(jìn)去：從超越摩爾定律的新一代集成電路人工智能芯片材料,，到具有解決能源危機(jī)潛力的高溫超導(dǎo)體,，還有現(xiàn)在十分流行的轉(zhuǎn)角石墨烯二維范德瓦爾斯層狀材料,，再到希望成為量子計(jì)算機(jī)信息存儲(chǔ)載體的拓?fù)湮飸B(tài)，都算量子材料的內(nèi)容,。但是對于這些材料性能的研究需要嚴(yán)格處理其中阿伏伽德羅常數(shù)量級的滿足量子物理學(xué)規(guī)律的電子行為(因此這類問題也被稱為量子多體問題),，計(jì)算量子多體系統(tǒng)在溫度,、壓力和磁場等外界環(huán)境變化時(shí)的響應(yīng),，從而確定其在科研和工業(yè)應(yīng)用中合適的參數(shù)范圍。這樣復(fù)雜的問題已經(jīng)不是鉛筆和白紙般古典時(shí)代的推算可以解決得了,，很多時(shí)候以微擾論為基礎(chǔ)平均場計(jì)算甚至不能提供定性正確的結(jié)果,，遑論定量。取而代之的,，大規(guī)模量子多體計(jì)算方法,，伴隨著全球范圍內(nèi)計(jì)算平臺(tái)的迅猛發(fā)展和普及，輔之以場論,、對稱性和拓?fù)湫再|(zhì)分析等高級數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用,，逐漸成為現(xiàn)代物理、化學(xué),、材料科學(xué)的主流研究方式,，使得科學(xué)家和工程師們可以不斷地發(fā)現(xiàn)具有更加優(yōu)異性能的材料，拓展量子物質(zhì)科學(xué)的內(nèi)涵和外延,，造福人類生活,。

在量子多體計(jì)算研究這個(gè)廣大的領(lǐng)域之中，量子蒙特卡洛方法 (是為蒙蒙卡) 和張量重正化群方法 (是為張量量),，無疑是兩種最具有代表性的手段,。前者及其最近的發(fā)展筆者在這個(gè)系列的前幾篇文章中已反復(fù)介紹過，主要是通過設(shè)計(jì)抓住問題物理實(shí)質(zhì)的晶格模型,，然后在如是模型的合適相空間中進(jìn)行蒙特卡洛抽樣,，計(jì)算量子多體問題的配分函數(shù)和各種物理觀測量的系綜平均值和誤差。而后者則一路從密度矩陣重正化群演化而來 (見參考文獻(xiàn),，哦不對,，見蒙蒙卡和張量量迷宮地圖之[1])，主要關(guān)注于量子多體基態(tài)波函數(shù)的張量網(wǎng)絡(luò)表示與其重正化群操作,。

當(dāng)然,，傳統(tǒng)的蒙蒙卡和張量量研究，主要還是專注于量子多體模型性質(zhì)的計(jì)算,，比如Hubbard模 型,，t—J模型，Heisenberg模型,，還有之前在這個(gè)系列中提到的費(fèi)米子—玻色子耦合模型,。如果嚴(yán)格計(jì)算真實(shí)量子材料的性質(zhì)，考慮到材料本身的復(fù)雜性(多種相互作用和晶格的物理、化學(xué)環(huán)境所帶來的指數(shù)墻問題),，即使對于蒙蒙卡和張量量這樣充滿活力的小伙伴,，大多數(shù)時(shí)候也無能為力。但是問題有意思的地方就在于是否敢于嘗試,，敢于特立獨(dú)行不按教條行事,，找到走出迷宮的神秘地圖，這里的故事就是一個(gè)成功的事例 (見蒙蒙卡和張量量迷宮地圖之[2,，3]),。

格結(jié)構(gòu)為三角晶格，通過物理和化學(xué)結(jié)構(gòu)的分析,，人們認(rèn)為三角晶格量子伊辛模型似乎是一個(gè)合適的出發(fā)點(diǎn),，但是問題是精確模型參數(shù)該如何得到？這里張量量發(fā)揮了很大的作用,。一直以來,，在張量重正化群領(lǐng)域中，人們普遍地喜歡開發(fā)新的方法,，從DMRG,，TMRG到后面的LTRG，CTMRG,，PEPS,，iDMRG，TEBD,，METTS,，SETTN等等，不一而足,，讓外行人看得眼花繚亂、一頭霧水,，只見業(yè)內(nèi)專家們口吐蓮花般拋出許多新名詞與它們的骨感縮寫,。其實(shí)領(lǐng)域內(nèi)部大家主要還是關(guān)注量子多體模型基態(tài)波函數(shù)的張量表示，以及為了達(dá)到某種精度在張量的數(shù)值操作上如何降低計(jì)算復(fù)雜度等等,。但在外人看來,，這個(gè)領(lǐng)域就顯得對于實(shí)際量子材料系統(tǒng)的熱力學(xué)和動(dòng)力學(xué)性質(zhì)關(guān)注比較少，也就很難和行業(yè)之外的物理學(xué)家(如實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家)進(jìn)行實(shí)質(zhì)性的溝通,。

圖1 磁性晶體TMGO中的電子自旋排布與磁振子—渦旋對激發(fā)(見蒙蒙卡和張量量迷宮地圖之[2,，3])

但還是有特立獨(dú)行的人，此次張量量小伙伴們是來自北京航空航天大學(xué)物理學(xué)院的李偉老師和他的研究生李涵和陳斌斌等,，他們與合作者獨(dú)辟蹊徑,，開發(fā)出了指數(shù)熱態(tài)張量網(wǎng)絡(luò)方法 (Exponential ThermalTensor Network，XTRG,，雖說又多了一個(gè)名字……)，但這個(gè)方法可以在盡量保持計(jì)算結(jié)果精度的情況下,，得到量子多體系統(tǒng)的熱力學(xué)信息 (細(xì)節(jié)見迷宮地圖之[7]),。然后他們運(yùn)用XTRG計(jì)算了TMGO模型系統(tǒng)的比熱、磁化率和磁矩等物理可觀測量隨著溫度和磁場變化的行為,，再通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比和調(diào)整模型參數(shù),，最終得到了TMGO的正確晶格模型——三角晶格量子伊辛模型及其精確模型參數(shù),。如圖2所示，XTRG算出的熵,、比熱,、磁化率和磁矩可以在很寬的溫度范圍內(nèi)完美地?cái)M合實(shí)驗(yàn)觀測的磁比熱、熵曲線,、磁化曲線等諸多磁熱力學(xué)性質(zhì),。

圖2 熱態(tài)張量網(wǎng)絡(luò)多體計(jì)算精確擬合TMGO磁熱力學(xué)測量數(shù)據(jù)

得到了材料的微觀模型之后，小伙伴中的真?理論物理學(xué)家復(fù)旦大學(xué)戚揚(yáng)老師略作沉思,，口占一偈道，“籍此三角晶格量子伊辛模型,，磁性晶體TMGO將在特定的溫度范圍內(nèi)展現(xiàn)出奇異的拓?fù)銴osterlitz—Thouless(KT)相”。鑒于戚老師講話常常暗含玄機(jī),，此處筆者不得不寫下一個(gè)按語,，原來Kosterlitz與Thouless是2016年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主,，是次諾獎(jiǎng)?lì)C發(fā)給拓?fù)湮飸B(tài)的三位開拓者,，其中Kosterlitz與Thouless在1970年代便預(yù)言了量子磁性材料中可能存在的拓?fù)湎啵船F(xiàn)在用他們名字命名的KT相,。此前人們在二維超流體和超導(dǎo)體中已經(jīng)觀察到KT相,，但是經(jīng)過半個(gè)世紀(jì)的尋找，KT相在量子磁性材料中卻一直沒有找到,。戚揚(yáng)老師掐指一算，口中念念有詞,，“KT相將會(huì)在模型如此如此這般這般的參數(shù)范圍內(nèi)出現(xiàn)，下面可以請蒙蒙卡君來為之一決”,。

蒙蒙卡果然是好樣的,，如筆者在之前的系列文章中所講,，蒙蒙卡在最近的幾年里開始逐漸揚(yáng)棄如死磕square lattice Hubbard模型等等主流套路，劍走偏鋒,，搗鼓出很多新的技能，其中一項(xiàng)就是從量子多體系統(tǒng)路徑積分的虛時(shí)關(guān)聯(lián)函數(shù)中,，運(yùn)用隨機(jī)解析延拓的方法得到系統(tǒng)在頻率空間的譜函數(shù)[8],。有了張量量給出的精確微觀模型,，蒙蒙卡計(jì)算了如是模型的自旋動(dòng)力學(xué)譜函數(shù)，如圖3所示,，如此的譜函數(shù)可以直接和TMGO材料在非彈性中子散射實(shí)驗(yàn)中得到的自旋譜函數(shù)進(jìn)行比較。在圖3(a)中,，可以看到模型計(jì)算所得的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全吻合,。不僅如此,，蒙蒙卡還確實(shí)看到了系統(tǒng)出現(xiàn)KT相的溫度范圍，并對于在這樣溫度范圍內(nèi)應(yīng)該看到的中子散射自旋能譜的色散關(guān)系和譜權(quán)重分布做了預(yù)測,，結(jié)果如圖3(c),。

圖3 二維自旋阻挫量子磁體TMGO的量子多體蒙蒙卡動(dòng)力譜學(xué)模擬結(jié)果,。(a)中的數(shù)據(jù)點(diǎn)為中子散射實(shí)驗(yàn)結(jié)果,，其后的背景為蒙蒙卡計(jì)算所得的量子伊辛模型自旋譜函數(shù),。(b),，(c)，(d)都是蒙蒙卡在不同模型參數(shù)下計(jì)算得到的材料自旋能譜

成功地得到了材料的微觀模型參數(shù)并解釋了已有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,，大家都覺得“量子磁體真是非常有趣的量子材料,，豐富的多體效應(yīng)中涌現(xiàn)出新奇的量子物態(tài)與相變,，吸引著我們在其中探尋凝聚態(tài)物理的新范式”,，雖說開展精確理論計(jì)算并與實(shí)驗(yàn)對比仍然是量子多體問題亟待解決的前沿問題,。但在這項(xiàng)研究中,，通過蒙蒙卡和張量量的配合，小伙伴們成功地完成了關(guān)聯(lián)量子晶體材料的熱力學(xué)—?jiǎng)恿W(xué)的多體計(jì)算,。“那么下面一步該去哪里玩耍呢,？”有人問到,。這時(shí)又是戚揚(yáng)老師給大家指點(diǎn)迷津,，“下面咱們?nèi)フ覍?shí)驗(yàn)的朋友們，驗(yàn)證已經(jīng)從理論上得到的結(jié)果,，如KT相的探測和這種具有準(zhǔn)長程序和強(qiáng)烈磁性漲落的奇異物態(tài)的其他標(biāo)度行為,，豈不快哉,？”，眾人皆歡喜不待,。

蒙蒙卡和張量量找到了實(shí)驗(yàn)的伙伴

為了能夠從實(shí)驗(yàn)上看到KT相所特有的磁性漲落,，需要十分精密的測量手段，小伙伴們找到了南京大學(xué)的溫錦生老師和中國人民大學(xué)的于偉強(qiáng)老師,。溫老師那里可以長出單晶樣品并完成磁化率在不同溫度和磁場下的測量,，而于老師組里發(fā)展的核磁共振測量正是探測系統(tǒng)磁性漲落的敏感利器。實(shí)驗(yàn)小伙伴們聽明白了蒙蒙卡和張量量的話,，不但欣然應(yīng)允入伙,，而且還發(fā)現(xiàn)因?yàn)椴牧现械拿鎯?nèi)磁矩具有多級矩的性質(zhì),，通過施加面內(nèi)磁場剛好就可以收集

圖4 背景為磁性晶體TMGO中KT相的核磁共振信號。下面的平面中示意性地畫出在對應(yīng)的溫度范圍內(nèi),，系統(tǒng)處在高溫順磁,、中間溫度KT相，與低溫下的磁有序相的自旋構(gòu)型,。右邊的背景為實(shí)驗(yàn)生長出的單晶照片

實(shí)驗(yàn)的結(jié)果顯示在圖4這個(gè)示意圖的背景中 (順便說一句,，圖1和圖4這樣漂亮的示意圖，既有物理內(nèi)容,，又充滿藝術(shù)氣息，都出自張量量之北京航空航天大學(xué)物理學(xué)院的李涵同學(xué)和李偉老師,，可見其玩心之大),。隨著溫度的降低，系統(tǒng)處于順磁狀態(tài),，自旋晶格弛豫率隨著溫度先降低,，后開始緩慢抬升，預(yù)示著系統(tǒng)內(nèi)部的磁性漲落在逐步增強(qiáng),；當(dāng)溫度到達(dá)KT相

這時(shí)戚揚(yáng)老師又口占一偈,， “ 籍此實(shí)驗(yàn)觀測，其實(shí)核磁共振的信號我們也可以從蒙卡計(jì)算所得的自旋動(dòng)力學(xué)能譜中獲得,，蒙蒙卡你應(yīng)該如此如此這般這般,，就可以從數(shù)據(jù)中得到與實(shí)驗(yàn)觀測類似的物理量，在模型的層次上也抓住系統(tǒng)低能的磁性漲落,。汝其為我一決,?！泵擅煽ó?dāng)下依計(jì)行事，果然得到了圖5(b)的計(jì)算結(jié)果,，與圖5(a)的實(shí)驗(yàn)觀測定性相似,。當(dāng)然實(shí)際的材料總比理論模型復(fù)雜，實(shí)驗(yàn)中還有很多有趣的細(xì)節(jié),，如溫錦生老師他們測得磁場下系統(tǒng)的磁化率,，還可以分析出很多與KT相有關(guān)的有趣物理，這些實(shí)驗(yàn)的小伙伴們自然會(huì)專門撰文解答,，在此就不熬述了,。細(xì)節(jié)也都在參考文獻(xiàn) (哦不，蒙蒙卡和張量量迷宮地圖之[9]) 中,。

蒙蒙卡和張量量下面會(huì)去何處探險(xiǎn)

至此,，蒙蒙卡和張量量此番量子材料探索行跡已交代清楚，這樣無拘無束的探尋讓眾人嘗到了不按教條行事的樂趣,。量子多體系統(tǒng)的巍峨群山,、森森林海和廣闊原野就是他們自由自在馳騁的世界,，轉(zhuǎn)角石墨烯,、拓?fù)湫虻哪Ｐ团c材料實(shí)現(xiàn)、非費(fèi)米液體和量子臨界金屬……等等勝地都是他們探尋路上行經(jīng)的風(fēng)景,。也許有一天,，他們會(huì)來到你的身邊,，神氣活現(xiàn)地給你講起他們最近的奇遇。這時(shí)請耐心聽,，那其中也許又是新的驚喜,，你也許也會(huì)按捺不住加入他們的行列的。

蒙蒙卡與張量量迷宮地圖

[1] 劉耘婧,，陳斌斌,，李偉. 有限溫度量子多體系統(tǒng)與熱態(tài)張量網(wǎng)絡(luò). 物理，2017,，46(7)：430

[2] Li H,，Liao Y D，Chen B B et al. Kosterlitz-Thouless melting of magnetic order in the triangular quantum Ising material TmMgGaO4. Nature Communications,，2020,，11：1111

[3] 李偉，孟子楊,，戚揚(yáng). 二維量子磁體中的“幽靈軟?！迸cKT物理. 物理，2020，49(5)：400

[4] Cevallos F A,，Stolze K,，Kong T et al. Anisotropic magnetic properties of the triangular plane lattice material TmMgGaO4. Mater. Res. Bull.，2018,，105：154

[5] Li Y et al. Partial up-up-down order with the continuously distributed order parameter in the triangular antiferromagnet TmMgGaO4. Phys. Rev. X,，2020，10：011007

[6] Shen Y et al. Intertwined dipolar and multipolar order in the triangular lattice magnet TmMgGaO4. Nat. Commun.,，2019,，10：4530

[7] Chen B B，Chen L,，Chen Z Y et al. Exponential Thermal Tensor Network Approach for Quantum Lattice Models. Physical Review X,，2018 8：031082

[8] 孟子楊. 海森伯模型的譜，到底有多靠譜. 物理,，2018,，47(9)：595

[9] Hu Z，Ma Z,，Liao Y D et al. Evidence of the Berezinskii-Kosterlitz-Thouless Phase in a Frustrated Magnet. Nature Communications,，2020，11：5631

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