“漢前世：樂(lè)音的數(shù)理基礎(chǔ)及12音純律音階”由漢前世（作者）創(chuàng)作而成,。如果您想了解樂(lè)音的數(shù)理基礎(chǔ)及12音純律音階，請(qǐng)仔細(xì)閱讀下面的文章,。希望您喜歡這篇文章。

　　1,、前言

　　音樂(lè)直通人心，這背后是有它的自然屬性的,。樂(lè)音與噪音不同,；每個(gè)樂(lè)音都有著明確的基頻,；同時(shí)一系列相關(guān)樂(lè)音間的基頻頻率都成簡(jiǎn)單的整數(shù)比。這就是樂(lè)音的數(shù)理基礎(chǔ),。本文從這樣的數(shù)理基礎(chǔ)出發(fā)，考察樂(lè)音音列的生成邏輯,，確證7音音律的地位，然后再沿著同樣的邏輯超越7音音律,，構(gòu)造12音純律音階。

　　在這里我們不能不提到作為現(xiàn)代樂(lè)理基礎(chǔ)的12平均律,。這是與自然律或純律相對(duì)照的人工律。它之所以能盛行,，是出于技術(shù)上的妥協(xié),，一方面是為了方便鍵盤(pán)樂(lè)器和品弦樂(lè)器的運(yùn)用，另一方面也是為了轉(zhuǎn)調(diào)的自由,。12平均律之所以可行,，其實(shí)正是在于它與7音純律音階的貼近。最大的差距出現(xiàn)在6=la這個(gè)音上,，也只有16音分,。

　　盡管12平均律音階相當(dāng)貼近地包含了7音純律音階，但它畢竟是工業(yè)時(shí)代的產(chǎn)物,。如今我們已經(jīng)通過(guò)電子技術(shù)進(jìn)入了信息時(shí)代,，依然受困于12平均律而享受不到比如純律的鍵盤(pán)音樂(lè)不能不說(shuō)是一種委屈。

　　自古以來(lái),，人們憑著聽(tīng)覺(jué)和心的自然感受,，由簡(jiǎn)到繁,，建立起了各種各樣的樂(lè)音音列。最終則歸結(jié)到了1=do,、2=re,、3=mi、4=fa,、5=so,、6=la、7=ti 這樣的7音音列的最佳音律平臺(tái),，相應(yīng)的有大,、小調(diào)兩種調(diào)式。在這里,，我們僅從數(shù)理的角度去重建這一過(guò)程,，認(rèn)識(shí)其中的邏輯。我們相信前人音樂(lè)實(shí)踐的結(jié)果一定是符合邏輯的,。因而這些實(shí)踐結(jié)果也可以幫助我們認(rèn)識(shí)到其間的邏輯,。

　　（注：音分為音程的計(jì)量單位,。倍頻、也就是8度音程按等比關(guān)系被設(shè)定為1200個(gè)音分,。公式為：音分值=1200*log2（頻率比）,。音程為兩個(gè)樂(lè)音之間的頻率差異，對(duì)于頻率差異我們自然地是從比率而不是算術(shù)差的角度去感知和考察的,。使用對(duì)數(shù)函數(shù)的音分將等比關(guān)系轉(zhuǎn)換為等差關(guān)系,，利于計(jì)量比較，但卻無(wú)法體現(xiàn)出整數(shù)比的關(guān)系,。所以,，當(dāng)我們關(guān)注純律、自然律中的樂(lè)音關(guān)系的時(shí)候,，我們應(yīng)當(dāng)用成整數(shù)比的頻率比來(lái)表示音程,。比如5=so的音程為3/2，也是702音分,，非常接近平均律的700音分,。）

　　2,、獨(dú)特的8度音程

　　應(yīng)當(dāng)說(shuō)最純的音是只有單一頻率的音,。這在自然界中幾乎是不存在的,。但如今可以借助電子技術(shù)發(fā)生,。電腦開(kāi)機(jī)時(shí)那“嘀”的一聲就是一例。這樣的聲音如果長(zhǎng)鳴的話,，其單調(diào)乏味很快就會(huì)讓人崩潰,。自然發(fā)生的樂(lè)音，除了基頻外,，一定都還有著豐富的泛音（基頻的倍頻,、3倍頻、4倍頻,、5倍頻……）,，這些泛音的存在及其強(qiáng)度分布的種種可能使得樂(lè)音豐滿、充實(shí),、并且多樣,。

　　當(dāng)然，只有一個(gè)樂(lè)音,，其表達(dá)能力還是相當(dāng)可憐的,。可以讓不同的樂(lè)音相繼或同時(shí)響起,。但是,，如果兩個(gè)樂(lè)音之間的基頻不能成簡(jiǎn)單的整數(shù)比，我們就會(huì)感受到兩個(gè)音之間的不諧乃至沖突以及我們發(fā)自內(nèi)心的排斥,。在極端的情形,，如果一個(gè)聲音在所有的聽(tīng)覺(jué)頻譜上都有振動(dòng)，就像金屬刮削的聲音,，那么它就不是在提供信息，而是在淹沒(méi)信息,，是我們尤其難以忍受的,。

　　相反，如果兩個(gè)樂(lè)音的基頻之間能成簡(jiǎn)單的整數(shù)比,，我們就會(huì)感受到這兩個(gè)樂(lè)音之間的諧振，我們的聽(tīng)覺(jué)和內(nèi)心就會(huì)感到適宜,。這里有兩個(gè)原因,。一方面，基頻間具有較簡(jiǎn)單的整數(shù)比的兩個(gè)樂(lè)音會(huì)在各自較少的周期內(nèi)諧振,，另一方面,，這樣的兩個(gè)樂(lè)音會(huì)具有較多相同的泛音共鳴,。整數(shù)比是越簡(jiǎn)單越好,。基頻之間成簡(jiǎn)單的整數(shù)比,，是樂(lè)音音列生成的基本原則,，或說(shuō)第一原則。

　　最簡(jiǎn)單的整數(shù)比自然是1/1,。這是一個(gè)樂(lè)音和它自己的音程關(guān)系,。是為0音分。這樣的音程的和諧度當(dāng)然是百分之百,。我們這樣來(lái)定義整數(shù)比或音程的和諧度,，設(shè)m、n為不可約的兩個(gè)自然數(shù),，那么,， m/n的和諧度=2/（m n）。那么1/1的和諧度就是2/（1 1）=1=100%,。雖和諧至極,，但就像只有一個(gè)字母，據(jù)此雖在表達(dá),，也無(wú)所表達(dá),。毫無(wú)疑問(wèn)我們需要不同的樂(lè)音。

　　接下來(lái)最簡(jiǎn)單的整數(shù)比是2/1,。當(dāng)然,，對(duì)應(yīng)地也有1/2。但隨后我們盡量系統(tǒng)地從高比低的角度去考察和研究音程,。需要時(shí)再反向探究一下。事實(shí)上,，如果說(shuō)大調(diào)式是從高比低的角度建立起來(lái)的音列,，那么小調(diào)式就是相反地從低比高對(duì)稱建立起來(lái)的音列。

　　2/1為音程上的8度關(guān)系,，計(jì)1200音分,。是為不同樂(lè)音之間最和諧的音程，其和諧度為2/（1 2） =0.667=66.7%,。

　　不管比2大還是小,，都沒(méi)有比2/1更簡(jiǎn)單的整數(shù)比。所以倍頻音程關(guān)系非常獨(dú)特,。在這音程之內(nèi)和之外都不再有更和諧的音了,。以至于在音樂(lè)上2倍音程或8度關(guān)系被視為同一個(gè)樂(lè)音在不同音域的表現(xiàn)。

　　2/1之后接下來(lái)一個(gè)簡(jiǎn)單的整數(shù)比是3/1。然后有4/1,、3/2,、5/1、6/1,、5/2,、4/3……這中間穿插著4/1、6/1這樣的大比例和3/2,、4/3這樣的小比例,。由于適宜音樂(lè)表現(xiàn)的總的音程范圍一般也就3個(gè)2倍音程，顯然我們需要比兩倍音更細(xì)分的音程,，盡管在和諧度上會(huì)遜于2倍音程,。我們需在不大的音程范圍內(nèi)（確切地說(shuō)是兩倍音程）找到盡量多的和諧音程，也就是簡(jiǎn)單的整數(shù)比,。這個(gè)可以說(shuō)是樂(lè)音音列生成的第二原則,。當(dāng)然這是從前述的第一原則引申出來(lái)的。

　?。ㄒ舫讨小岸取钡倪@個(gè)術(shù)語(yǔ)這里有必要簡(jiǎn)單交代一下,。這個(gè)術(shù)語(yǔ)系基于7音音律。7音音列中相鄰兩個(gè)樂(lè)音之間的音程被稱為2度,，估計(jì)是因?yàn)樯婕暗絻蓚€(gè)音,。但實(shí)際上其間只有一個(gè)音程。顯然這樣的用法不符合數(shù)學(xué)中的規(guī)范,。這不,，do-（re）-mi之間的音程為3度，而實(shí)際上涉及到的是兩個(gè)音程,；而do-高音do之間的音程就成了8度,，盡管其間跨過(guò)的是7個(gè)音程。這個(gè)只好習(xí)慣,。）

　　3,、雙音和弦及三和弦

　　我們要在2倍音程內(nèi)再插入一個(gè)盡量和諧的音，也就是要找到兩個(gè)盡量和諧的音程,，這兩個(gè)音程加在一起為2倍音程,，即8度音程。把這翻譯到數(shù)學(xué)上來(lái),，就是要找到兩個(gè)盡量簡(jiǎn)單的整數(shù)比,，這兩個(gè)整數(shù)比的積為2/1。這個(gè)不難,；答案就是3/2和4/3：

　　上圖展示了本文接下來(lái)的表示規(guī)范,。第一行為音程序列：1/1為本音,；2/1為8度音；3/2*4/3為將8度音分割為3/2與4/3兩個(gè)音程,。第二行為由相應(yīng)的音程分割而形成的音列：1/1為本音,；3/2為上行第一個(gè)音程（這里為3/2）所得到的音；2/1為再上行第二個(gè)音程（這里為4/3）所得到的音,。第三行為相應(yīng)音列的簡(jiǎn)譜示例,。

　　當(dāng)然，出于乘法的可交換性,，對(duì)稱地有1/1*4/3*3/2=2/1,，這也是對(duì)2/1音程的兩分。但我們這里先簡(jiǎn)化研究,，依照盡量與本音和諧的原則,。回頭再考慮其它的可能,。

　　以上形成的在8度范圍內(nèi)的2音音列在音樂(lè)上的意義是最和諧的雙音和弦：do-so和弦,。所有的多弦樂(lè)器，最主要的兩根弦一定是do和so,。

　　將2/1暨8度音程兩分為3/2和4/3兩個(gè)音程當(dāng)然還不夠細(xì),。接下來(lái)再將其中較大的音程3/2做盡量簡(jiǎn)化的兩分。結(jié)果是：

　　依此得到2/1暨8度音程的盡量簡(jiǎn)化的三分為：

　　這當(dāng)然就是最和諧的三和弦：大三和弦,。