帶通信號(hào)抽樣速率的一統(tǒng)性研究（篇一）:低通抽樣定理的理解

寫在前：

??這是筆者第一篇CSDN博客,，希望未來保持更新和分享,，督促自己學(xué)習(xí)和思考，也希望能有助于小伙伴們的解惑,，內(nèi)容是關(guān)于通信和信號(hào)處理方面的,。我現(xiàn)在基本還是通信和信息的小白，會(huì)不斷學(xué)習(xí),。如果內(nèi)容有出錯(cuò)或者不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤较Ｍ刚?，相互交流，共同進(jìn)步,。
??本篇是《帶通信號(hào)抽樣速率的一統(tǒng)性研究》的篇一,，基礎(chǔ)知識(shí)部分。從頻域和時(shí)域兩個(gè)角度對(duì)低通抽樣定理進(jìn)行了探討和理解,。

??在通信與信息系統(tǒng)中需要將一個(gè)時(shí)間連續(xù)信號(hào)（模擬信號(hào),，時(shí)間和幅度上均連續(xù)）通過抽樣（或稱為采樣）來轉(zhuǎn)換為時(shí)間離散信號(hào)（時(shí)間離散,，幅度不離散），繼而通過量化,、編碼得到數(shù)字信號(hào)（時(shí)間離散,，幅度離散）。數(shù)字信號(hào)相對(duì)于模擬信號(hào)具有便于存儲(chǔ),、處理,、傳輸?shù)葍?yōu)點(diǎn),。我們只探討抽樣過程和其對(duì)應(yīng)的信號(hào)恢復(fù)過程,。

??經(jīng)過抽樣得到的離散序列需要能夠還原出原來的模擬信號(hào),，這也就意味著抽樣過程完整地保留了原信號(hào)的信息,。抽樣過程追求高效,，離散序列的長度被期待盡量短（對(duì)應(yīng)抽樣速率盡量低）,。

??抽樣定理包含兩個(gè)內(nèi)容：低通抽樣定理和帶通抽樣定理,。我們先從低通抽樣定理入手,。

??低通抽樣定理：給定最高非零頻率為fH$f_H$fH?的帶限信號(hào)m(t)$m(t)$m(t),，如果取抽樣間隔Ts<1/(2fH)$T_s<1/(2f_H)$Ts?<1/(2fH?)（即抽樣速率fs>2fH$f_s>2f_H$fs?>2fH?,，有些資料的表達(dá)為fs≥2fH$f_s\ge2f_H$fs?≥2fH?），則m(t)$m(t)$m(t)由其樣值序列{mn=m(nTs),，n為整數(shù)}$\big\{m_n=m(nT_s),，n為整數(shù)\big\}${mn?=m(nTs?)，n為整數(shù)}唯一確定,，即
m(t)?只要fs>2fH{mn,，n=0,±1,±2,…}$m(t)\stackrel{只要f_s>2f_H}{\longleftrightarrow}\big\{m_n，n=0,\pm1,\pm2,…\big\}$m(t)?只要fs?>2fH??{mn?,，n=0,±1,±2,…}

??低通抽樣定理中,，抽樣速率必須大于2fH$2f_H$2fH?，該頻率2fH$2f_H$2fH?通常稱為奈奎斯特頻率,。對(duì)于低通或基帶信號(hào),，fH$f_H$fH?正是信號(hào)的帶寬B$B$B，因此其奈奎斯特頻率為2B$2B$2B,，而采樣率必須滿足fs>2B$f_s>2B$fs?>2B,。

??下面采用圖示的方式，對(duì)抽樣定理給予簡單的證明,。已知帶限信號(hào)為m(t)$m(t)$m(t),，其頻譜為M(f)$M(f)$M(f)，如圖1.（a）和（b）,；抽樣脈沖序列為周期信號(hào)沖激串δT(t)=∑∞n=?∞δ(t?nTs)$\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT_s)$δT?(t)=∑n=?∞∞?δ(t?nTs?),，其頻譜為δT(f)=1Ts∑∞n=?∞δ(f?nfs)$\delta_T(f)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(f-nf_s)$δT?(f)=Ts?1?∑n=?∞∞?δ(f?nfs?)。

抽樣后得到ms(t)=m(t)×δT(t)=∑∞n=?∞m(t)?δ(t?nTs)=∑∞n=?∞m(nTs)?δ(t?nTs)$m_s(t)=m(t)\times\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty m(t)\cdot\delta(t-nT_s)=\sum_{n=-\infty}^\infty m(nT_s)\cdot\delta(t-nT_s)$ms?(t)=m(t)×δT?(t)=∑n=?∞∞?m(t)?δ(t?nTs?)=∑n=?∞∞?m(nTs?)?δ(t?nTs?),，如圖1.（c）,。

由頻域卷積性質(zhì)可得：
Ms(f)=M(f)?δT(f)=M(f)?1Ts∑∞n=?∞?δ(f?nfs)=1Ts∑∞n=?∞M(f)?δ(f?nfs)=1Ts∑∞n=?∞M(f?nfs)$M_s(f)=M(f)\ast\delta_T(f)=M(f)\ast\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty\cdot\delta(f-nf_s)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty M(f)\ast\delta(f-nf_s)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty M(f-nf_s)$Ms?(f)=M(f)?δT?(f)=M(f)?Ts?1?∑n=?∞∞??δ(f?nfs?)=Ts?1?∑n=?∞∞?M(f)?δ(f?nfs?)=Ts?1?∑n=?∞∞?M(f?nfs?)
如圖1.（d）

??抽樣的頻域過程是頻譜按fs$f_s$fs?進(jìn)行周期重復(fù),，而條件fs>2fH$f_s>2f_H$fs?>2fH?保證了重復(fù)過程中頻譜彼此不重疊。當(dāng)fs$f_s$fs?低于該條件時(shí),，抽樣過程是“欠抽樣”的,，這時(shí)，頻譜中必然出現(xiàn)交疊,，稱為混疊現(xiàn)象,。

??從圖1.（d）可見,，由Ms(f)$M_s(f)$Ms?(f)還原M(f)$M(f)$M(f)的方法是實(shí)施低通濾波（LPF）,，即m(t)=Ts×LPF[ms(t)]$m(t)=T_s\times LPF[m_s(t)]$m(t)=Ts?×LPF[ms?(t)]

其中，LPF的高度是1,，截止頻率控制在重復(fù)頻譜的間隙內(nèi),。理想情況下，簡單地取帶寬BLPF=fs/2$B_{LPF}=f_s/2$BLPF?=fs?/2即可,，因此,，LPF的沖擊響應(yīng)為h(t)=fssinc(fst)$h(t)=f_ssinc(f_st)$h(t)=fs?sinc(fs?t)，于是又得m(t)=Ts×[ms(t)?h(t)]=Ts×[∑∞n=?∞m(nTs)?δ(t?nTs)?h(t)]=∑∞n=?∞mn?sinc(fs(t?n/fs))$m(t)=T_s\times [m_s(t)\ast h(t)]=T_s\times\bigg[\sum_{n=-\infty}^\infty m(nT_s)\cdot\delta(t-nT_s)\ast h(t)\bigg]=\sum_{n=-\infty}^\infty m_n\cdot sinc\big(f_s(t-n/f_s)\big)$m(t)=Ts?×[ms?(t)?h(t)]=Ts?×[n=?∞∑∞?m(nTs?)?δ(t?nTs?)?h(t)]=n=?∞∑∞?mn??sinc(fs?(t?n/fs?))

??可見,，從時(shí)域上看，還原m(t)$m(t)$m(t)的過程就是用sinc(x)=sinπxπx$sinc(x)=\frac{sin\pi x}{\pi x}$sinc(x)=πxsinπx?函數(shù)在樣值點(diǎn)之間進(jìn)行內(nèi)插,，如圖2.（b）和（c）所示,。sa(x)=sinxx$sa(x)=\frac{sinx}{x}$sa(x)=xsinx?被稱為抽樣函數(shù)，可知sinc(x)=sa(x)$sinc(x)=sa(x)$sinc(x)=sa(x),。

??至此,，我們從頻域角度對(duì)抽樣后的離散序列能恢復(fù)原模擬信號(hào)進(jìn)行了理解。

??當(dāng)初學(xué)習(xí)這一塊時(shí)跟著課本從頻域角度理解了,，時(shí)域角度來看覺得很反常識(shí),，有點(diǎn)想不通，后來思索了,。敲這么多,，其實(shí)只想寫下面這幾段，這些是自己從時(shí)域來看的思考（當(dāng)然也牽扯頻域）,。時(shí)域角度的物理意義是什么,，如何理解。模擬信號(hào)在時(shí)間上連續(xù)意味著構(gòu)成信號(hào)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是無窮的,，抽樣定理卻告訴我們可以用離散的序列（有限的樣值點(diǎn)）來完全代替模擬信號(hào),，這不是意味著有限個(gè)點(diǎn)可以表征無窮個(gè)點(diǎn)嗎,。

??原來的模擬信號(hào)是已經(jīng)給定的一條曲線，這又意味著給定了有限個(gè)點(diǎn)后只可以繪出一條特定的曲線,，也即恢復(fù)出原來的模擬信號(hào),。而我們知道,，對(duì)于給定的兩個(gè)點(diǎn),，它們之間存在無數(shù)條路徑來連接它們；對(duì)于給定的一系列的點(diǎn),，它們之間也存在著無數(shù)條路徑來連接它們,。

??但，對(duì)于抽樣序列而言,，這里發(fā)生了變化,，事實(shí)上只存在著一條路徑來連接它們。

??不同的路徑就是不同的信號(hào),，在頻域上體現(xiàn)在對(duì)應(yīng)不同的頻譜,。對(duì)于高頻部分為零的信號(hào)而言，選取其中的兩點(diǎn)或者一系列的點(diǎn),，它們之間將不會(huì)出現(xiàn)急劇震蕩的路徑段（因?yàn)榫哂懈哳l性質(zhì)）,，如圖3中的虛線路徑s1$s_1$s1?和s3$s_3$s3?。當(dāng)頻譜有了限制之后,，信號(hào)就要被限制,，路徑集合也就在縮小。當(dāng)頻譜特定后,，信號(hào)就被唯一確定了下來,，抽樣序列所能確定的路徑也就是唯一的一條了。

??從這里,，我們可以窺見到,，頻譜受限的模擬信號(hào)盡管由無窮個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，但是這無窮個(gè)點(diǎn)卻表現(xiàn)出了極大的相關(guān)性以至于可以由相當(dāng)少的有限的點(diǎn)來完全表征這無數(shù)個(gè)點(diǎn),。低通抽樣定理就是它的體現(xiàn)和應(yīng)用,。

??《帶通信號(hào)抽樣速率的一統(tǒng)性研究》的篇二，基礎(chǔ)知識(shí)部分,，參見帶通抽樣定理的理解,。
??《帶通信號(hào)抽樣速率的一統(tǒng)性研究》的篇三，我的個(gè)人探究部分,，是當(dāng)初看書本學(xué)習(xí)后進(jìn)行的另外的探討,，參見帶通信號(hào)抽樣速率的一統(tǒng)性研究。

??注：本篇中的部分內(nèi)容和圖例參考了中興的《對(duì)話通信原理》和李曉峰主編的《通信原理》