|
泊松分布是一個離散型隨機變量分布,，其分布律是： P(X=k)=λke?λk! 根據離散型隨機變量分布的期望定義，泊松分布的期望： E(X)=∑k=0∞k?λke?λk! 因為k=0時： k?λke?λk!=0 所以： E(X)=∑k=1∞k?λke?λk! 做一下變換： E(X)=∑k=1∞k?λke?λk!=∑k=1∞λke?λ(k?1)!=∑k=1∞λk?1λe?λ(k?1)!=λe?λ∑k=1∞λk?1(k?1)! 這里需要用到泰勒展開式,，我們知道常用的泰勒展開式中： ex=1+x+x22!+x33!+...+xnn!+...=∑k=1∞xk?1(k?1)! 因此，泊松分布的期望為: E(X)=λe?λ∑k=1∞λk?1(k?1)!=λe?λeλ=λ 對于方差D(X)D(X)，先求出E(X2): E(X2)=∑k=0∞k2?λke?λk!=λe?λ∑k=1∞kλk?1(k?1)!=λe?λ∑k=1∞(k?1+1)λk?1(k?1)! =λe?λ(∑m=0∞m?λmm!+∑m=0∞λmm!)(m=k?1) =λe?λ(λ?∑m=1∞λm?1(m?1)!+∑m=0∞λmm!) =λe?λ(λeλ+eλ)=λ(λ+1) 所以： D(X)=E(X2)?(E(X))2=λ(λ+1)?λ2=λ 因此,，泊松分布的期望和方差為： E(X)=λ D(X)=λ |
|
|
來自： 龐紫成長館 > 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》
