Taylor公式（泰勒公式）通俗+本質(zhì)詳解

felwell 2019-10-08

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比較通俗地講解一下泰勒公式是什么,。

泰勒公式，也稱泰勒展開(kāi)式。是用一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的信息,，描述其附近取值的公式,。如果函數(shù)足夠平滑，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況下,，泰勒公式可以利用這些導(dǎo)數(shù)值來(lái)做系數(shù),，構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式近似函數(shù)，求得在這一點(diǎn)的鄰域中的值

所以泰勒公式是做什么用的,？

簡(jiǎn)單來(lái)講就是用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)去逼近一個(gè)給定的函數(shù)(即盡量使多項(xiàng)式函數(shù)圖像擬合給定的函數(shù)圖像),，注意，逼近的時(shí)候一定是從函數(shù)圖像上的某個(gè)點(diǎn)展開(kāi),。泰勒公式在機(jī)器學(xué)習(xí)中主要應(yīng)用于梯度迭代,。

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1. 問(wèn)題的提出

多項(xiàng)式是最簡(jiǎn)單的一類初等函數(shù)。關(guān)于多項(xiàng)式,，由于它本身的運(yùn)算僅是有限項(xiàng)加減法和乘法,，所以在數(shù)值計(jì)算方面，多項(xiàng)式是人們樂(lè)于使用的工具,。因此我們經(jīng)常用多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù),。這也是為什么泰勒公式選擇多項(xiàng)式函數(shù)去近似表達(dá)給定的函數(shù)。

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2. 近似計(jì)算舉例

初等數(shù)學(xué)已經(jīng)了解到一些函數(shù)如：的一些重要性質(zhì),，但是初等數(shù)學(xué)不曾回答怎樣來(lái)計(jì)算它們,，以 f(x) = $\small \cos x$ 的近似計(jì)算為例：

①. 一次（線性）逼近

利用微分近似計(jì)算公式 f(x) $\small \approx$ f( $\small x_{0}$ ) + {f}' ( $\small x_{0}$ )(x - $\small x_{0}$ ) (該式由導(dǎo)數(shù)/微分的極限表達(dá)公式轉(zhuǎn)換得到)，對(duì) $\small x_{0}$ = 0 附近的 f(x) 的線性逼近為： f(x) $\small \approx$ f(0) + {f}' (0) x , 所以 f(x) = $\small \cos x$ $\small \approx$ 1,，所以 f(x) 在 $\small x_{0}$ = 0 附近的線性逼近函數(shù) $P_{1}$ (x) = 1,，如下圖：

線性逼近優(yōu)點(diǎn)：形式簡(jiǎn)單，計(jì)算方便,；缺點(diǎn)：離原點(diǎn)O越遠(yuǎn),，近似度越差。

②. 二次逼近二次多項(xiàng)式

逼近 f(x) = $\small \cos x$ ,，我們期望： $\small P_{2}\left ( 0 \right )$ = $\small f\left ( 0 \right )$ = $\small \cos 0$ = 1 = $\small a_{0}$ ( 即期望在 x = 0 處逼近函數(shù)和給定函數(shù)的函數(shù)值相等 ),； $\small {P_{2}}'\left ( 0 \right )$ = $\small f{}'\left ( 0 \right )$ = $\small \sin 0$ = 0 = $\small a_{1}$ ( 即期望在 x = 0 處逼近函數(shù)和給定函數(shù)的斜率相等 )； $\small {P_{2}}''\left ( 0 \right )$ = $\small {f}''\left ( 0 \right )$ = $\small -\cos 0$ = -1,，所以 $\small a_{2}$ = $\small -\frac{1}{2}$ ( 即期望在 x = 0 處逼近函數(shù)和給定函數(shù)的曲率相等 ),；

所以 $\small \cos x$ $\small \approx$ $\small P_{2}\left ( x \right )$ = 1 - $\small \frac{x^{2}}{2}$ ，如下圖：

二次逼近要比線性逼近好得多,，但局限于 [ $\small -\frac{\pi }{2}$ ,， $\small \frac{\pi }{2}$ ] 內(nèi)，該范圍外,，圖像明顯差異很大,。為什么我們期望兩個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的函數(shù)值 ,、一階導(dǎo)數(shù)值、二階導(dǎo)數(shù)值相等,？因?yàn)檫@些值表達(dá)了函數(shù)(圖像)最基本和最主要的性質(zhì),，這些性質(zhì)逼近即可以使得兩個(gè)函數(shù)逼近(由上面函數(shù)圖像可以直觀地看出來(lái))

③. 八次逼近八次多項(xiàng)式

逼近 f(x) = $\small \cos x$ ，我們期望： $\small P_{8}\left (0 \right ) = f\left ( 0 \right )$ ,，求出 $\small a_{0} = 1$ ( 即期望在 x = 0 處逼近函數(shù)和給定函數(shù)的函數(shù)值相等 ),； $\small {P_{8}}'\left ( 0 \right ) = {f\left ( 0 \right )}'$ ，求出 $\small a_{1} = 0$ ( 即期望在 x = 0 處逼近函數(shù)和給定函數(shù)的斜率相等 ),；

.... .... .... $\small {P_{8}}^{(8)}\left ( 0 \right ) = f^{(8)}(0)$ ，求出 $\small a_{8} = \frac{1}{8!}$ ( 即期望在 x = 0 處逼近函數(shù)和給定函數(shù)的曲率相等 ),；

所以 ,，如下圖：

$\small P_{8}\left ( x \right )$ (綠色圖像) 比 $\small P_{2}\left ( x \right )$ (藍(lán)色圖像) 更大范圍內(nèi)更接近余弦函數(shù) (紅色圖像)

由上述3次不同程度的函數(shù)逼近可以看出：對(duì)于精確度要求較高且需要估計(jì)誤差的時(shí)候，必須用高次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù),，同時(shí)給出誤差公式 ,。

以上就是利用多項(xiàng)式函數(shù)去逼近給定函數(shù)的一個(gè)過(guò)程。

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3. 泰勒公式的推導(dǎo)

由此引出一個(gè)問(wèn)題：給定一個(gè)函數(shù) $\small f\left ( x \right )$ ,，要找一個(gè)在指定點(diǎn) $\small x_{0}$ 附近與 $\small f\left ( x \right )$ 很近似的多項(xiàng)式函數(shù) $\small P\left ( x \right )$ ,，記為：

使得 $\small f\left ( x \right )$ $\small \approx$ $\small P_{n}\left ( x \right )$ 并且使得兩者誤差 $\small R_{n}\left ( x \right ) = f\left ( x \right ) - P_{n}\left ( x \right )$ 可估計(jì)。所以要找的多項(xiàng)式應(yīng)該滿足什么條件,，誤差是什么,？

從幾何上看， $\small y = f\left ( x \right )$ ,， $\small y = P_{n}\left ( x \right )$ 代表兩條曲線,，如下圖：

使它們?cè)?nbsp; $\small x_{0}$ 附近很靠近，很明顯：

1. 首先要求兩曲線在 $\small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ 點(diǎn)相交,，即 $\small P_{n}\left ( x_{0} \right ) = f\left ( x_{0} \right )$

2. 如果要靠得更近,，還要求兩曲線在 $\small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ 點(diǎn)相切，(由圖像可以直觀看出,，相交 [ 棕色和紅色圖像 ] 和相切 [ 綠色和紅色圖像 ],，兩曲線在 $\small x_{0}$ 附近的靠近情況明顯差異很大，相切更接近),，即 $\small {P_{n}}'\left ( x_{0} \right ) = {f}'\left ( x_{0} \right )$

3. 如果還要靠得更近,，還要求曲線在 $\small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ 點(diǎn)彎曲方向相同，(如上圖,，彎曲方向相反 [ 綠色和紅色圖像 ],；彎曲方向相同[ 藍(lán)色和紅色圖像 ]，明顯在離 $\small x_{0}$ 很遠(yuǎn)的地方,，彎曲方向相同兩函數(shù)的差異更小一點(diǎn)),，即 $\small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = {f}''\left ( x_{0} \right )$ ,，進(jìn)而可推想：若在 $\small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ 附近有 $\small {P_{n}}'\left ( x_{0} \right ) = {f}'\left ( x_{0} \right )$ ， $\small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = {f}''\left ( x_{0} \right )$ $\small \cdots \cdots \cdots$ $\small P_{n}^{\left ( n \right )}\left ( x_{0} \right ) = f^{n}\left ( x_{0} \right )$ ,，近似程度越來(lái)越好,。

綜上所述，所要找的多項(xiàng)式應(yīng)滿足下列條件：

解釋一下上面的轉(zhuǎn)換時(shí)如何做的,，以上面第三行的二階導(dǎo)數(shù)為例：

第一個(gè)箭頭的轉(zhuǎn)換：將 $\small P_{n}\left ( x \right )$ 求二階導(dǎo)函數(shù)后將 $\small x_{0}$ 帶入,，求得 $\small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = 2!a_{2}$

第二個(gè)箭頭的轉(zhuǎn)換：所以 $\small {f}''\left ( x_{0} \right ) = 2!a_{2}$ ，所以 $\small a_{2} = \frac{1}{2!}{f}''\left ( x_{0} \right )$

多項(xiàng)式函數(shù)

中的系數(shù) $\small a$ 可以全部由 $\small f\left ( x \right )$ 表示,，則得到：

其中誤差為 $\small R_{n} \left ( x \right ) = f\left (x \right ) - P_{n}\left ( x \right )$ ,。因?yàn)槭怯枚囗?xiàng)式函數(shù)去無(wú)限逼近給定的函數(shù)，所以兩者之間肯定存在一丟丟的誤差,。

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4. 泰勒公式的定義

所以我們就得到了泰勒公式的定義：

如果函數(shù) $\small f\left ( x \right )$ 在含 $\small x_{0}$ 的某個(gè)開(kāi)區(qū)間 $\small \left ( a,b \right )$ 內(nèi)具有直到 $\small \left ( n+1 \right )$ 階導(dǎo)數(shù),，則對(duì) $\small \forall x \in \left ( a,b \right )$ ，有

其中余項(xiàng) (即誤差) $\small R_{n}\left ( x \right ) = \frac{f^{\left ( n+1 \right )}(\xi )}{\left ( n+1 \right )!}(x-x_{0})^{n+1}$ ,， $\xi$ 在 $\small x_{0}$ 與 x 之間,。泰勒公式的余項(xiàng)表達(dá)方式有好幾種，前面這種表是方法稱為n階泰勒展開(kāi)式的拉格朗日余項(xiàng),。拉格朗日余項(xiàng)即是n階泰勒公式又多展開(kāi)了一階,，n變?yōu)閚+1。注意,，這里的余項(xiàng)即為誤差,，因?yàn)槭褂枚囗?xiàng)式函數(shù)在某點(diǎn)展開(kāi)，逼近給定函數(shù),，最后肯定會(huì)有一丟丟的誤差,，我們稱之為余項(xiàng)。

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5. 擴(kuò)展 —— 麥克勞林公式

是泰勒公式的一種特殊情況：即當(dāng) $\small x_{0} = 0$ 時(shí)的泰勒公式,。所以將 $\small x_{0} = 0$ 帶入公式,，即得：

幾個(gè)常見(jiàn)的初等函數(shù)的帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式：

佩亞諾余項(xiàng)為 $\small \left ( x-x_{0} \right )^{n}$ 的高階無(wú)窮小：

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來(lái)自： felwell > 《機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)》

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