偏導(dǎo)數(shù)

在一元函數(shù)中,，導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率,。對于二元函數(shù)研究它的“變化率”，由于自變量多了一個,，情況就要復(fù)雜的多,。

在 xOy 平面內(nèi)，當(dāng)動點由 P(x0,y0) 沿不同方向變化時,，函數(shù) f(x,y) 的變化快慢一般說來是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 點處沿不同方向的變化率,。

在這里我們只學(xué)習(xí)函數(shù) f(x,y) 沿著平行于 x 軸和平行于 y 軸兩個特殊方位變動時,， f(x,y) 的變化率。

偏導(dǎo)數(shù)的表示符號為:?,。

偏導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)沿坐標(biāo)軸正方向的變化率,。

在數(shù)學(xué)中，一個多變量的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是它關(guān)于其中一個變量的導(dǎo)數(shù),，而保持其他變量恒定（相對于全微分,，全微分（英語：total derivative）是微積分學(xué)的一個概念，指多元函數(shù)的全增量△z}在其中所有變量都允許變化）記為dz,。偏導(dǎo)數(shù)在向量分析和微分幾何,，以及機(jī)器學(xué)習(xí)中是很有用的。

的線性主部,，記為{\displaystyle \operatorname 3squ974rb z}

x方向的偏導(dǎo)

設(shè)有二元函數(shù) z=f(x,y) ,，點(x0,y0)是其定義域D 內(nèi)一點。把 y 固定在 y0而讓 x 在 x0有增量 △x ,，相應(yīng)地函數(shù) z=f(x,y) 有增量（稱為對 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0),。

偏導(dǎo)數(shù)如果 △z 與 △x 之比當(dāng) △x→0 時的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù) z=f(x,y) 在 (x0,y0)處對 x 的偏導(dǎo)數(shù),，記作 f'x(x0,y0)或,。函數(shù) z=f(x,y) 在(x0,y0)處對 x 的偏導(dǎo)數(shù)，實際上就是把 y 固定在 y0看成常數(shù)后,，一元函數(shù)z=f(x,y0)在 x0處的導(dǎo)數(shù),。

y方向的偏導(dǎo)

同樣，把 x 固定在 x0,，讓 y 有增量 △y ,，如果極限存在那么此極限稱為函數(shù) z=(x,y) 在 (x0,y0)處對 y 的偏導(dǎo)數(shù)。記作f'y(x0,y0),。

相關(guān)求法

當(dāng)函數(shù) z=f(x,y) 在 (x0,y0)的兩個偏導(dǎo)數(shù) f'x(x0,y0) 與 f'y(x0,y0)都存在時,，我們稱 f(x,y) 在 (x0,y0)處可導(dǎo)。如果函數(shù) f(x,y) 在域 D 的每一點均可導(dǎo),，那么稱函數(shù) f(x,y) 在域 D 可導(dǎo),。

此時,，對應(yīng)于域 D 的每一點 (x,y) ，必有一個對 x (對 y )的偏導(dǎo)數(shù),，因而在域 D 確定了一個新的二元函數(shù),，稱為 f(x,y) 對 x (對 y )的偏導(dǎo)函數(shù)。簡稱偏導(dǎo)數(shù),。

按偏導(dǎo)數(shù)的定義,，將多元函數(shù)關(guān)于一個自變量求偏導(dǎo)數(shù)時，就將其余的自變量看成常數(shù),，此時他的求導(dǎo)方法與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法是一樣的,。

幾何意義

表示固定面上一點的切線斜率。

偏導(dǎo)數(shù) f'x(x0,y0) 表示固定面上一點對 x 軸的切線斜率,；偏導(dǎo)數(shù) f'y(x0,y0) 表示固定面上一點對 y 軸的切線斜率,。

高階偏導(dǎo)數(shù)：如果二元函數(shù) z=f(x,y) 的偏導(dǎo)數(shù) f'x(x,y) 與 f'y(x,y) 仍然可導(dǎo)，那么這兩個偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為 z=f(x,y) 的二階偏導(dǎo)數(shù),。二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個：f"xx,，f"xy，f"yx,，f"yy,。

注意：

f"xy與f"yx的區(qū)別在于：前者是先對 x 求偏導(dǎo)，然后將所得的偏導(dǎo)函數(shù)再對 y 求偏導(dǎo),；后者是先對 y 求偏導(dǎo)再對 x 求偏導(dǎo),。當(dāng) f"xy 與 f"yx 都連續(xù)時，求導(dǎo)的結(jié)果與先后次序無關(guān),。

假設(shè)?是一個多元函數(shù),。例如：

因為曲面上的每一點都有無窮多條切線，描述這種函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相當(dāng)困難,。偏導(dǎo)數(shù)就是選擇其中一條切線,，并求出它的斜率。通常,，最感興趣的是垂直于y軸（平行于xOz平面）的切線,，以及垂直于x軸（平行于yOz平面）的切線。

一種求出這些切線的好辦法是把其他變量視為常數(shù),。例如,，欲求出以上的函數(shù)在點（1, 1, 3）的與xOz平面平行的切線。下圖顯示了函數(shù)的圖像以及這個平面

下圖中顯示了函數(shù)在平面y = 1上是什么樣的,。

我們把變量y視為常數(shù),，通過對方程求導(dǎo)，我們發(fā)現(xiàn)?在點（x, y, z）的。我們把它記為：

于是在點（1, 1, 3）的與xOz平面平行的切線的斜率是3,。

在點（1, 1, 3）,，或稱“f在（1, 1, 3）的關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)是3”。

定義

函數(shù)f可以解釋為y為自變量而x為常數(shù)的函數(shù)：

也就是說,，每一個x的值定義了一個函數(shù),，記為fx，它是一個一元函數(shù),。也就是說：

一旦選擇了一個x的值,，例如a，那么f(x,y)便定義了一個函數(shù)fa,，把y映射到a2 + ay + y2：

在這個表達(dá)式中,，a是常數(shù)，而不是變量,，因此fa是只有一個變量的函數(shù)，這個變量是y,。這樣,，便可以使用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義：

以上的步驟適用于任何a的選擇。把這些導(dǎo)數(shù)合并起來,，便得到了一個函數(shù),，它描述了f在y方向上的變化：

這就是f關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)，在這里,，?是一個彎曲的d,，稱為偏導(dǎo)數(shù)符號。為了把它與字母d區(qū)分,，?有時讀作“der”,、“del”、“dah”或“偏”,，而不是“dee”,。