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編者按：本文系筆者于大三下學(xué)期參加大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目時(shí)所寫,當(dāng)時(shí)筆者作為一名數(shù)學(xué)師范學(xué)生，跟組長(zhǎng)和另兩位成員計(jì)劃寫作三角函數(shù)的一些內(nèi)容,。本文是筆者聯(lián)系三角函數(shù)與大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一點(diǎn)嘗試,，盡管內(nèi)容是初等的，但或許可以給數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好的朋友們一點(diǎn)幫助,！
一.用多項(xiàng)式逼近三角函數(shù) 在以往的高中階段學(xué)習(xí)中,，我們一般會(huì)學(xué)習(xí)三角比及三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)知識(shí)。但是,，我們也發(fā)現(xiàn)其與我們之前所學(xué)習(xí)的一次函數(shù),、二次函數(shù)等知識(shí)聯(lián)系不夠密切。本身來說,，三角比的定義就比較實(shí)用,，從我們實(shí)際的生活需要中定義出來,。另外，我們也注意到三角函數(shù)并非是線性函數(shù) ,，因此在畫函數(shù)圖像時(shí)一般不太好操作,。通常情況下，我們?cè)诋嬕话愕娜呛瘮?shù)圖像（即函數(shù)解析式為 ）時(shí),，往往都是先畫出基本的三角函數(shù)圖像,，再做平移與伸縮變換等等。正因?yàn)槿呛瘮?shù)自身的特性限制,，使得我們?cè)趯?shí)際運(yùn)算中遇到了不小的挑戰(zhàn),，即我們無法準(zhǔn)確計(jì)算出一個(gè)角的三角函數(shù)值。在以前,，我們可以計(jì)算幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值,，但是往往都是在比較特殊的直角三角形內(nèi)部去考慮。眾所周知,，在一般的直角三角形里是沒有那么好的性質(zhì)的,。盡管我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過了三角恒等變換等一系列的三角公式，但是往往可以解決的角度問題總是微乎其微的,。在實(shí)際的應(yīng)用中（如航海,、探測(cè)等），角度值一般都是非整數(shù),，有些甚至是非常復(fù)雜的數(shù),，那么我們就無法直接計(jì)算出三角函數(shù)值，只能做個(gè)形式上的表示,。既然我們知道在實(shí)際應(yīng)用中,，求某一個(gè)角的三角函數(shù)值是不太可能求出精確值的。因此,，我們退而求其次,，當(dāng)然也是無奈之舉，去求出該角的三角函數(shù)值的近似值,。在數(shù)學(xué)上,，這樣的一個(gè)過程隸屬于“近似計(jì)算”范疇。為了能夠有效地進(jìn)行近似計(jì)算,，我們需要尋找到某個(gè)函數(shù)與三角函數(shù)在某種條件下近似一致,。在函數(shù)圖像上，我們希望該函數(shù)可以與三角函數(shù)做到盡可能地接近,。那么，為了實(shí)現(xiàn)這樣的過程,，我們需要尋找到這樣的函數(shù),，去逼近三角函數(shù)。那么到底得用哪種函數(shù)去逼近三角函數(shù)呢？這看起來不是一個(gè)簡(jiǎn)單的問題,，事實(shí)上,，的確不簡(jiǎn)單，也困擾了不少近代數(shù)學(xué)家,。出于計(jì)算的考慮,，我們知道多項(xiàng)式函數(shù) 是可以實(shí)現(xiàn)計(jì)算操作的。盡管有些時(shí)候當(dāng)自變量的數(shù)值非常巨大或者繁瑣時(shí),，所代入求得的過程與結(jié)果也不太簡(jiǎn)單,，但是總歸是可求的?；谶@樣的原則,，我們考慮利用多項(xiàng)式去逼近函數(shù)，由此就有了高等數(shù)學(xué)中的“泰勒公式”,。我們?cè)诖藢⒉辉倬唧w介紹泰勒公式的內(nèi)容,，也不去闡述與之相關(guān)的泰勒定理等高深內(nèi)容，而僅僅介紹其最終的結(jié)論,。我們考察任一個(gè)次多項(xiàng)式我們希望這樣的多項(xiàng)式能夠與最簡(jiǎn)三角函數(shù)在某一點(diǎn)的函數(shù)值誤差能夠小于我們所要求的標(biāo)準(zhǔn),。為此，我們需要去分析以下其差值其中我們稱為泰勒公式的余項(xiàng),。為了保證其誤差小于我們所給定的限制范圍內(nèi),，我們也就要考察余項(xiàng)應(yīng)當(dāng)滿足怎樣的條件。具體的操作過程,，將涉及到大量的微積分工具和技巧,，因此在這里我們將略過這一點(diǎn)。最后我們將羅列一下s三個(gè)三角函數(shù)的逼近公式： 利用這些逼近公式,，我們便可以在給定某一個(gè)角后代入進(jìn)去,，從而計(jì)算出該角三角函數(shù)值的近似值。至于需要達(dá)到怎樣的精確度,，一切視實(shí)際的要求而定,。另外，正是由于弧度制的發(fā)明和大量使用,，才使得上面的公式得以生效,。這是因?yàn)椋瑢?duì)于一個(gè)角而言,，若用角度制來度量,，則無法計(jì)算該角的平方甚至是次方。但是,，當(dāng)我們將用角度制度量的角轉(zhuǎn)化為在弧度制下度量,，則情況變得顯著不同,。由此可見，弧度制的使用為近現(xiàn)代數(shù)學(xué)打開了一扇大門,。關(guān)于上述三個(gè)具體函數(shù)的泰勒公式,，形式上的確是復(fù)雜一點(diǎn)，但是當(dāng)掌握規(guī)律后就變得簡(jiǎn)單了,。事實(shí)上,，細(xì)心觀察第一個(gè)公式與第二個(gè)公式，會(huì)發(fā)現(xiàn)某種聯(lián)系（思考一下聯(lián)系何在?）,，因此往往只需要記住其中一個(gè)另一個(gè)就自然可以記住了,。通過泰勒公式來逼近已知函數(shù)，為我們實(shí)際計(jì)算帶來了很大的便利,。有時(shí),，我們未必需要精確算出具體數(shù)值，往往只要在某一誤差范圍允許的情況下就可以達(dá)成目的,。不管怎么說,，泰勒公式的具體使用，的確大大地解決了某些計(jì)算困難的問題,，為我們的實(shí)際生活帶了便利,。
筆者注:其實(shí)本文從文筆上來看,自然與筆者現(xiàn)在所不能及也.那么為什么還要刊登過去寫的文稿呢?一方面,自然是筆者覺得還是有點(diǎn)價(jià)值的;另一方面,是筆者對(duì)自己的一個(gè)反思和總結(jié),希望未來自己做事情更加認(rèn)真細(xì)致一點(diǎn).研究生階段的我,自然是需要非常認(rèn)真和謹(jǐn)慎才行,一絲不茍才是做科研應(yīng)有的態(tài)度.這也是筆者想對(duì)過去的自己說的話.
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