小學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)路徑微調(diào)的實踐與思考

浙江省余姚市第一實驗小學(xué) / 朱震緋

有三種邏輯推動著教學(xué)的前進(jìn),，它們是：教材的編寫邏輯,、學(xué)生的探究邏輯、教師的教學(xué)邏輯,。理想的狀態(tài)下,，這三者之間應(yīng)該是互相重合，形成教育合力的,，而現(xiàn)實并非如此,。在更多的時候，這三種邏輯之間是不重合的,。由此,，我們可以假設(shè)：如果三者之間的邏輯相符，那么其結(jié)果將是學(xué)生學(xué)得愉快,，教師教得開心,。反之，必定是學(xué)生學(xué)得被動,，教師教得別扭,。進(jìn)一步假設(shè)，當(dāng)三者邏輯不一致時,，我們究竟該讓誰去遷就誰,？

現(xiàn) 狀

單元，是相對于課時而言更具有完整性的大教學(xué)單位,。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中,，數(shù)學(xué)知識、技能,、思想方法的學(xué)習(xí)與感悟是通過“單元”的形式呈現(xiàn)和展開的,。因此，對于“單元教學(xué)”的研究,，歷來是研究的熱點,。

對近年來單元教學(xué)的研究進(jìn)行梳理和整合，我發(fā)現(xiàn)有這樣一些觀點值得我們深思,。①將單元中不同課時的作用與價值分為“起,、承、轉(zhuǎn),、合”四個模塊,，讓我們看到了單元內(nèi)部聯(lián)系的重要性,；②將單元中的“新授課、練習(xí)課,、復(fù)習(xí)課,、考查課和講評課”作為模塊指標(biāo)，進(jìn)行系統(tǒng)研究和教學(xué)設(shè)計,，以解決課型之間割裂,、斷層的問題等；③基于課堂自然生長的視角,，提出了“種子課——生長課”的微單元系統(tǒng)與“單元——單元”的超單元系統(tǒng)的教學(xué)體系架構(gòu),；④提出了學(xué)科個性化教學(xué)單元的構(gòu)想，通過教學(xué)目標(biāo)的調(diào)整,、教學(xué)內(nèi)容的重組,、學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計實現(xiàn)“個性化教學(xué)”，等等,。

若用上文中的三種邏輯去分析,，可以發(fā)現(xiàn)上述研究中的有些視角還是停留在教材的編寫邏輯上。單元教學(xué)內(nèi)容的“起,、承,、轉(zhuǎn)、合”關(guān)注的是教材內(nèi)在的“序”,；以“課的類型”開展模塊化的教學(xué)關(guān)注的是形式上的聯(lián)結(jié),。固然，數(shù)學(xué)知識有其內(nèi)在的嚴(yán)密邏輯,，這不容置疑,。但我們或許可以換個角度思考，教材的編寫邏輯不等于數(shù)學(xué)知識的邏輯,。當(dāng)理想狀態(tài)下的“教材的編寫邏輯、學(xué)生的探究邏輯,、教師的教學(xué)邏輯”三者不一致，無法形成教育合力時，我們可以做什么,？

但是,，依然有研究激發(fā)了我的靈感：“種子課—生長課”的微課程系統(tǒng)與“單元—單元”超單元結(jié)構(gòu)體系；促進(jìn)不同水平學(xué)生的基礎(chǔ)性目標(biāo)和發(fā)展性目標(biāo)達(dá)成的“個性化教學(xué)”等,。這些研究讓我認(rèn)識到：當(dāng)三種邏輯不合一時,，我們首要考慮的是“學(xué)生的探究邏輯”。

探 索

“單元教學(xué)路徑”是指教師單元教學(xué)時所采取的教學(xué)邏輯,。不用“課時”的字眼進(jìn)行表述,，是避免落入“課時有毒”的圈兒,。因此，借用“路徑”一詞表達(dá)我心中的單元教學(xué)結(jié)構(gòu),。微調(diào)指的是根據(jù)學(xué)生的實際,，在現(xiàn)有的數(shù)學(xué)學(xué)科框架下通過調(diào)整呈現(xiàn)內(nèi)容的順序、形式,，拓展和補(bǔ)充學(xué)習(xí)資源,，改變學(xué)習(xí)方式等以改變單元教學(xué)路徑。單元教學(xué)路徑的微調(diào)并非對原先教學(xué)路徑的否定,，而是基于學(xué)生學(xué)情的對原先路徑的整合與拓展,。

1.基于生長連續(xù)性的內(nèi)容重組

人教版四年級上冊《大數(shù)的認(rèn)識》是學(xué)生整數(shù)學(xué)習(xí)階段的結(jié)束?！按髷?shù)的認(rèn)識”即萬以上數(shù)的認(rèn)識,，是在學(xué)生認(rèn)識和掌握了萬以內(nèi)數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，是萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識的鞏固和擴(kuò)展,。本單元教材的編寫邏輯如下,。

表1：

從表1中可以發(fā)現(xiàn),，億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識與億以上數(shù)的認(rèn)識這兩塊內(nèi)容的教材編排邏輯幾乎一致,。分段認(rèn)識，分散了學(xué)生學(xué)習(xí)的難點,，可以讓學(xué)生有一個緩沖的節(jié)奏,，培養(yǎng)學(xué)生的遷移自學(xué)能力。但教材這樣的好意,，學(xué)生卻未必領(lǐng)情,。

實際教學(xué)中，在第一課時里認(rèn)識億以內(nèi)的計數(shù)單位時,，課至“億”這個計數(shù)單位的教學(xué)節(jié)點時,，學(xué)生就已經(jīng)迫不及待地說出了后面的計數(shù)單位“十億、百億,、千億”,。這是水到渠成的事，是學(xué)生經(jīng)驗的自然迸發(fā),。如果將“億以上的計數(shù)單位”放在第二部分學(xué)習(xí),，帶來的后果就是學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣已大打折扣，學(xué)習(xí)的連續(xù)性也被打斷,。于是乎,，我思考：“大數(shù)的認(rèn)識”單元教學(xué)路徑一定是這樣嗎？可以怎樣微調(diào),？

對比其他版本的教材,，或許我們可以發(fā)現(xiàn)一些新思路。關(guān)于大數(shù)的認(rèn)識,，我對“北師大版,、蘇教版、上海版,、浙教版,、青島版”等教材進(jìn)行了如下對比。

表2：

通過對比,，我發(fā)現(xiàn),，關(guān)于“大數(shù)的認(rèn)識”一般有兩類路徑,。一類是分段式的路徑，一類是混合式路徑,。兩種路徑孰優(yōu)孰劣,？基于上述對學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)實狀態(tài)的分析以及教材對比不同路徑的可能性，我決定沿著這樣的路徑展開“大數(shù)的認(rèn)識”的學(xué)習(xí)：十進(jìn)制計數(shù)法——大數(shù)的讀法和寫法——大數(shù)的比較大小——大數(shù)的改寫和求近似數(shù)——自然數(shù),、計數(shù)工具——有趣的二進(jìn)制,。

在實際教學(xué)時，我和學(xué)生一起從“十萬”開始走起,，借助已有的“十進(jìn)制關(guān)系”順利地引出了后續(xù)的到“千億”為止的所有計數(shù)單位,。緊接著，我們討論：“為什么萬后面的新計數(shù)單位不取一個新名字,？為什么千億后面不按照剛才的規(guī)則下去,，不說萬億，要說億,？你覺得什么時候可能又會需要一個新的計數(shù)單位名字,？”整合后的計數(shù)單位教學(xué)路徑，可以讓學(xué)生更加清楚地理解單位彼此之間的緊密聯(lián)系,，其背后的育人價值也有了更深長的意味,。它讓學(xué)生體味到規(guī)定的深意。在教學(xué)萬以上數(shù)的讀,、寫,、比較大小時，由于知識間相同的“理”,，課堂上的學(xué)習(xí)就更能發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性,。雖然整合帶來一定的難度，但這樣的難度是適度的,。適度的難度帶來的學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)性使得學(xué)生在課堂上興致盎然,，學(xué)習(xí)更有勁頭。

不同的路徑意味著不同的邏輯,，但只有適合學(xué)生的邏輯才是教師應(yīng)該選擇的,。

2.基于學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律的路徑架構(gòu)

學(xué)生的認(rèn)識發(fā)展往往遵循著一定的規(guī)律，這是學(xué)習(xí)的規(guī)律,，也是教學(xué)所要遵循的規(guī)律,。如認(rèn)識圖形時，根據(jù)范希爾理論,，學(xué)生一開始往往只關(guān)注圖形的整體特點,，然后開始注意圖形元素的單一性質(zhì)（先是長度，然后是角度），最后才能同時兼顧圖形及其元素的多種性質(zhì),。而這樣的規(guī)律正是我們設(shè)計單元教學(xué)路徑所要考慮與遵循的,。

人教版四年級下冊《三角形》的單元教學(xué)目標(biāo)是：在第一學(xué)段直觀認(rèn)識三角形的基礎(chǔ)上，通過觀察,、操作,、推理等活動進(jìn)一步豐富學(xué)生對三角形的認(rèn)識與理解。其編寫邏輯是：三角形的定義——穩(wěn)定性——三邊關(guān)系——三角形的分類——三角形的內(nèi)角和——四邊形的內(nèi)角和,。細(xì)細(xì)品味,，我們可以悟到：教材的編排順序使得知識點之間的邏輯不夠嚴(yán)密，整體認(rèn)識與局部深入的順序不夠順暢,。

此外,，從對學(xué)生的前測中，我們也看到了單元教材編寫的邏輯不符合學(xué)生的探究邏輯,。我對所在年段的160名四年級學(xué)生進(jìn)行了前測,。從前測的結(jié)果看，學(xué)生最想了解三角形的前3個問題是：分類,、面積,、特性。這樣的結(jié)果是符合學(xué)生的已有經(jīng)驗的,。學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)過程中,，已經(jīng)儲備一些認(rèn)識圖形的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，分類是認(rèn)識圖形的一種方法,，因此學(xué)生首先想了解的是三角形的分類,。對三角形的大小的興趣是對圖形直觀的感受。因此,，學(xué)生對面積的興趣也非常濃厚,，對面積的興趣也就是對底和高認(rèn)識的基點。對三角形特性的興趣基于對四邊形特性的了解,，學(xué)生產(chǎn)生了合情推理：三角形的特性是什么,？三角形會變形嗎？

基于以上分析,，我將該單元的教學(xué)路徑進(jìn)行了調(diào)整,，使其遵循從“整體到部分”的認(rèn)識順序。根據(jù)這一思考,，我將該單元的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行如下整合,。

表3：

深度學(xué)習(xí)理論指出,，學(xué)生的深度學(xué)習(xí)一般要經(jīng)歷這樣幾個過程：預(yù)備與激活先期知識,，獲取新知識，深度加工知識,，評價學(xué)習(xí),。要想讓學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，就要從與先期知識聯(lián)結(jié)最緊密的地方入手,。調(diào)整后的單元教學(xué)路徑從學(xué)生與先期知識聯(lián)結(jié)最緊密的地方入手,，遵循了學(xué)生認(rèn)識圖形的規(guī)律。我認(rèn)為,，微調(diào)后的教學(xué)路徑優(yōu)于原先教學(xué)路徑,。

3.基于學(xué)生概念內(nèi)化的路徑調(diào)整

人教版四年級上冊《平行四邊形和梯形》中關(guān)于“平行四邊形和梯形的認(rèn)識”，教材原先的安排是：平行四邊形的概念和高的認(rèn)識——梯形的概念和高的認(rèn)識,。

在小學(xué)圖形與幾何概念體系中,，有些概念處于核心、樞紐的位置,，我們稱之為“核心概念”,。“平行”與“四邊形”就是這樣一組核心概念,，且兩者在平行四邊形和梯形的概念定義中分別承載“種差”和“臨近屬概念”的上位概念身份,。平行四邊形的概念是以“屬+種差”的方式下的定義。從這一點上看,，平行四邊形和圖形的概念形成是同一次“屬+種差”擴(kuò)展的結(jié)果,。而教材人為地將兩者分開教學(xué)，我認(rèn)為,，這將導(dǎo)致學(xué)生無法很好地聯(lián)結(jié)起兩者,。再者，平行四邊形與梯形的高從本質(zhì)上來說是一樣的,，它們都是平行線間的垂直線段,。從這樣的視角分析，教材的編寫邏輯阻礙了學(xué)生的概念內(nèi)化。

基于以上思考,，我將平行四邊形和梯形的認(rèn)識路徑作了如下微調(diào)：平行四邊形,、梯形的認(rèn)識——平行四邊形、梯形的高,。將平行四邊形和梯形放在一起進(jìn)行教學(xué),，能讓學(xué)生經(jīng)歷“屬+種差”的概念發(fā)生過程，同時通過不同種差——對邊平行數(shù)量的多少來聯(lián)結(jié)“平行四邊形與梯形”,，將兩者的高放在一起進(jìn)行教學(xué),，最大限度保證“高”認(rèn)識的完整性。

4.基于核心素養(yǎng)的時空拓展

近年來,，關(guān)于“核心素養(yǎng)”的討論異常熱烈,。在眾多的觀點中，我最喜歡的是曹培英先生的核心素養(yǎng)的三棱臺圖（如圖1）,。

 圖1

抽象,、推理、模型思想是最基本的數(shù)學(xué)思想,，其他的數(shù)學(xué)思想都可看作是這三種數(shù)學(xué)思想派生出來,。這三個思想構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)科第一層次的核心素養(yǎng)。模型思想還蘊含了應(yīng)用意識,，符號意識可以并入抽象,，因為符號是數(shù)學(xué)抽象最主要的語言表征。運算能力,、空間觀念和數(shù)據(jù)分析觀念則構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)科第二層次的核心素養(yǎng),。第一層次的核心素養(yǎng)整體作用于第二層次的核心素養(yǎng)。核心素養(yǎng)“熱”的背后,，說明了數(shù)學(xué)教育者對于“人”的尊重,，追求的是數(shù)學(xué)的育人價值?；趯W(xué)生核心素養(yǎng)的時空拓展是對單元教學(xué)路徑的彌補(bǔ)與豐厚,，其關(guān)注的是學(xué)生發(fā)展的需求，是知識背后的軟目標(biāo),。

（1）基于知識縱深的拓展,。以北師大版四年級下冊《小數(shù)乘法》中的一道習(xí)題為例（如圖2）。

圖2

（a+b）×（c+d）=ac+ad+bc+bd的過程是分解因式的過程,，基礎(chǔ)是乘法分配律,。乘法分配律在后續(xù)的學(xué)習(xí)中非常重要，比如概率,、高中生物的基因?qū)W,、大學(xué)矩陣等,。而在小學(xué)階段，乘法分配律又是學(xué)習(xí)的難點,。于是,，反過來思考，小學(xué)階段的乘法分配律局限于（a+b）×c=ac+bc,，是不是妨礙學(xué)生發(fā)展的一個點,？是否給了學(xué)生更多的乘法分配律的應(yīng)用后，會讓學(xué)生有更深刻的體會,，反而對學(xué)生有所幫助呢？

我在《小數(shù)乘法》單元教學(xué)時,，嘗試開展了《分解因式》的拓展課,。在課中，我和學(xué)生一起觀察,、猜想,、發(fā)現(xiàn)、概括,，在課末與乘法分配律的溝通與對比中,，學(xué)生說出了自己的感受——這是乘法分配律的升級版本。如此這般,，拓展的是視野,，聯(lián)結(jié)的是能力。

（2）基于文化厚度的拓展,。在合適的時間,，在合適的地點，讓歷史的因子滲入學(xué)生的血液,，在歷史的長河中感受屬于數(shù)學(xué)的溫暖,，感受數(shù)學(xué)內(nèi)在的美妙與精神?？傆幸惶?，學(xué)生會感謝我們今天的嘗試。

在人教版四年級下冊《大數(shù)的認(rèn)識》單元,，我?guī)е鴮W(xué)生一起走進(jìn)二進(jìn)制的世界,。在執(zhí)教《有趣的二進(jìn)制》一課時，我引導(dǎo)學(xué)生在“計數(shù)器上用0和1撥一撥數(shù),；用0和1寫一寫數(shù),；試著把十進(jìn)制的數(shù)換算成二進(jìn)制，嘗試溝通二進(jìn)制,、十進(jìn)制甚至更多計數(shù)法之間的聯(lián)系”,。我通過這樣的數(shù)學(xué)史活動課,，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解十進(jìn)制計數(shù)法，進(jìn)一步體會計數(shù)法思想,。在人教版六年級上冊《圓》單元教學(xué)時,，我開展了史料閱讀課《古人與圓面積》。學(xué)生課前完成閱讀資料（如圖3）,，課中通過小組交流集體分享,，感悟人們在追求圓面積時的不懈努力。這樣的課,，讓整個圓的學(xué)習(xí)路徑有了一次溫暖的人文體會,；這樣的補(bǔ)充，是對單元教學(xué)路徑的錦上添花,。

《古人與圓面積》閱讀資料

《萊茵德紙草書》（古埃及,，公元前1850～前1650年成書）第48題。

已給圓田的直徑是9亥特,，問,，它的面積是多少？答：64塞塔,。

解：減去直徑的九分之一,，即減去1，余數(shù)為8,。8自乘,，得64，所以所求面積是64塞塔,。（如下圖）

你能寫出解答中的計算過程嗎,？(9-1)²=64

如果把這個計算過程推廣為圓面積計算公式，即為S=（8d/9）2,，如果把它推導(dǎo)成現(xiàn)在的圓面積的計算模式,，即為S=(8*2r/9)2=256/81r2。其中的相當(dāng)于圓周率,，約為3.1605,。

這個公式是怎么得到的呢?

（閱讀材料來源于邵漢民的《小學(xué)數(shù)學(xué)史料與數(shù)學(xué)教學(xué)》）

葉圣陶先生認(rèn)為，教師的教學(xué)要從“教教材”轉(zhuǎn)向“用教材教”,。單元教學(xué)路徑微調(diào)的嘗試正是我基于學(xué)生的“用教材教”的實踐,。單元教學(xué)路徑的微調(diào)是基于學(xué)習(xí)經(jīng)驗、學(xué)習(xí)興趣,、學(xué)習(xí)規(guī)律的內(nèi)容重組,、結(jié)構(gòu)整合，也是基于核心素養(yǎng)養(yǎng)成的路徑拓展,。而這一切的一切,，都只是為了讓“教材的編寫邏輯,、學(xué)生的探究邏輯、教師的教學(xué)邏輯”這三者達(dá)成一致,，形成教育合力,。

關(guān)乎單元教學(xué)路徑的思辨，我經(jīng)歷著這樣的煉獄——是怎樣,？一定是這樣嗎,？還能是怎樣？路徑不是唯一的,，它只代表了我對于學(xué)生與教材的理解,，期待同行的批評指正。