?關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng),，用數(shù)學(xué)語言表達世界

——數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在“運算律”教學(xué)中的培養(yǎng)

樂平市第九小學(xué)蔣銘國

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的,、適應(yīng)學(xué)生個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力。主要包括數(shù)學(xué)抽象,、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模,、直觀想象、數(shù)學(xué)運算,、數(shù)據(jù)分析六個核心素養(yǎng),。六個核心素養(yǎng)并非相互分離，而是密切聯(lián)系,，融為一體的。數(shù)學(xué)來自于生活,，又實踐于生活。數(shù)學(xué)教學(xué)的使命,，就是讓我們的學(xué)生最終學(xué)會“用數(shù)學(xué)的眼睛看”世界，“用數(shù)學(xué)的思維想”世界,，“用數(shù)學(xué)的語言說”世界。

“用數(shù)學(xué)的眼睛看”世界,，離不開“數(shù)學(xué)抽象”和“直觀想象”；“用數(shù)學(xué)的思維想”世界,，離不開“邏輯推理”和“數(shù)學(xué)運算”；“用數(shù)學(xué)的語言說”世界,，離不開“數(shù)學(xué)建?！焙汀皵?shù)據(jù)分析”。

最近在教學(xué)“運算律”,，包括加法交換律,、乘法交換律,、加法結(jié)合律、乘法結(jié)合律和乘法分配律?，F(xiàn)結(jié)合在運算律教學(xué)中如何借助教學(xué)內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng),，談?wù)勛约捍譁\的認(rèn)識與思考,。

一,、數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)

我們使用的教材是北師大版。運算律教學(xué)安排在四年級上冊后半學(xué)期開始部分,。從它在教材中所處的位置來看,，運算律就是本冊教材中最重要的部分之一。

“直觀想象”是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系,、形態(tài)變化與運動規(guī)律,；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題,；建立數(shù)與形的聯(lián)系,，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,，探索解決問題的思路,。“數(shù)學(xué)抽象”是指舍去事物的一切物理屬性,，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng),。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系,，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),，并且用數(shù)學(xué)符號或者術(shù)語予以表征。簡而言之,，抽象就是從現(xiàn)實世界進入數(shù)學(xué)內(nèi)部，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼睛看,?！爸庇^想象”是“數(shù)學(xué)抽象”的基礎(chǔ),，是“數(shù)學(xué)抽象”的起始階段,，也是一種“數(shù)學(xué)抽象”,，更是構(gòu)建與形成其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要基礎(chǔ),。

縱觀教材上的每一個運算律教學(xué)內(nèi)容安排,，都是提供情境圖或者現(xiàn)實背景圖,，讓學(xué)生在現(xiàn)實背景中理解數(shù)量之間的關(guān)系,。這就是鞏固孩子的直觀想象能力,，也是進一步促進直觀想象能力的發(fā)展,。直觀想象素養(yǎng)是孩子最基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng),。

例如：在加法結(jié)合律教材編排中,，提供了兩副情境圖。以圖一為例,，畫面呈現(xiàn)是小猴,、松鼠、機靈狗在果園里分別摘桃30個,、梨40個和蘋果50個,。算式：(30+40)+50與30+(40+50)分別表示什么,？由于孩子具備了一定的直觀想象能力與生活經(jīng)驗,，于是能夠比較容易地敘述算式所表達的意義。即使少數(shù)同學(xué)語言表達有所欠缺,，但是也能夠做到心領(lǐng)神會。

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第一個算式所表達的含義是：先算桃和梨一共有多少個,？然后桃與梨的個數(shù),，再加上蘋果的個數(shù),，最后一共有多少個？第二個算式所表達的含義是：先算梨和蘋果一共有多少個,？然后再用桃的個數(shù),，加上梨和蘋果的總數(shù)，最后一共是多少個,？通過直觀想象,，孩子不難發(fā)現(xiàn)：雖然他們算的順序有所不同，但是他們最終都是算了桃,、梨和蘋果三種水果一共有多少個？所以最后的結(jié)果一定是相等的,。在此教學(xué)過程當(dāng)中,，直觀想象能力起到了重要作用，同時也得到了進一步的發(fā)展,。

在此基礎(chǔ)上引入字母表示數(shù),。用式子：（a+b）+c=a+（b+c）,，表示加法結(jié)合律,，清晰明了,，表達準(zhǔn)確。雖然之前一至三年級從來沒有學(xué)習(xí)過用字母表示數(shù),，但是孩子們積累了一定的生活經(jīng)驗，對字母a,、b,、c也非常熟悉，只需要告訴孩子用字母代表數(shù),，進行簡單的符號意識訓(xùn)練,，于是孩子們就能夠理解式子所表達的含義,。

在這一教學(xué)過程當(dāng)中，孩子的數(shù)學(xué)抽象能力得到兩次鍛煉及培養(yǎng),。首先是舍去情境,，抽象出數(shù)字，從而用式子表示,，用數(shù)學(xué)語言表達在此情境中所進行的數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)活動,。其次，從具體的數(shù)字當(dāng)中又抽象出字母,。用含字母的式子來表示數(shù)量之間的一種運算關(guān)系與運算順序,。這種抽象已經(jīng)脫離了具體的數(shù)字,，字母可以代表任一數(shù)字，而式子所表達的是數(shù)量之間的一種恒定的運算關(guān)系,，即某種運算律,。孩子數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在此得到了充分的訓(xùn)練與發(fā)展,。

二,、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)

“數(shù)學(xué)運算”是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上,，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng),。主要包括：理解運算對象,，掌握運算法則，探究運算思路,，選擇運算方法,，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等,?！斑壿嬐评怼笔侵笍囊恍┦聦嵑兔}出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng),。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理,，推理形式主要有歸納、類比,；另一類是從一般到特殊的推理,，推理形式主要是演繹,。數(shù)學(xué)運算也是一種邏輯推理,，數(shù)學(xué)運算為邏輯推理提供了一種載體與操作方式,。數(shù)學(xué)運算與邏輯推理,，是在直觀想象與數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)上,，對指向?qū)ο筮M行的一種更高層次的數(shù)學(xué)思考與數(shù)學(xué)思維,。

在加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律的教學(xué)當(dāng)中,，數(shù)學(xué)運算能力可以得到很好的訓(xùn)練與發(fā)展,，同是也可以提高學(xué)生的數(shù)感能力。學(xué)習(xí)運算律,，最終目的是提高運算能力，讓我們能夠盡可能進行簡便運算,，提高數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。所以在此部分內(nèi)容教學(xué)當(dāng)中,，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的訓(xùn)練可以得到淋漓盡致的展現(xiàn)。

例如教材52頁：怎樣計算簡便,？想一想,，算一算,。

57+288+43=

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在這一題當(dāng)中,，就是要求學(xué)生要能夠敏銳地發(fā)現(xiàn)57和43相加剛好是100,，這既是對學(xué)生數(shù)感的一次訓(xùn)練與培養(yǎng),，也是對學(xué)生進行數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的訓(xùn)練,。

又如教材54頁：怎樣計算簡便,？想一想，算一算,。

125×9×8=

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在這一題當(dāng)中,，同樣需要孩子觀察算式中運算符號和數(shù)的特點,。通過這題的訓(xùn)練,，讓孩子明白,，125×8等于1000,，可以先算,，有利簡便運算。在后續(xù)的訓(xùn)練題當(dāng)中,，要讓孩子明白25×4等于100,，50×2等于100，25×8等于200,，125×4等于500,。在這些訓(xùn)練當(dāng)中,，孩子的數(shù)感得到增強,，運算能力得到大幅度的提升,。

在“加法交換律和乘法交換律”、“加法結(jié)合律”和“乘法結(jié)合律”三節(jié)教學(xué)內(nèi)容安排中的第一個環(huán)節(jié),，都是“觀察下面的式子,，你能照樣子再寫一組嗎,？說說你發(fā)現(xiàn)了什么,?！痹谶@一環(huán)節(jié)教學(xué)過程當(dāng)中,，孩子的類比能力的培養(yǎng),，可以得到充分的訓(xùn)練與培養(yǎng)。這是從特殊到特殊的邏輯推理,。第二環(huán)節(jié)是借助情景或現(xiàn)實背景,，理解式子成立的合理性與正確性。在第三環(huán)節(jié)當(dāng)中,，引入字母表示數(shù)，在數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)下,，再次運用歸納推理,，從特殊到一般，將邏輯推理素養(yǎng)的訓(xùn)練落到實處,。

教材55頁第5題：淘氣是這樣計算24×25的。

   24×25

= 6×4×25

= 6×（4×25）

= 6×100

= 600

（1）你能看懂嗎,？和同伴交流你的想法,。

（2）試著運用乘法交換律和乘法結(jié)合律進行計算下面各題。

64×125                125×25×32

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這一題是一個能力提升題,。短時間之內(nèi)不一定能做到每個人都會,。但是這題對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)非常有用,。第一小題主要是考察學(xué)生的數(shù)感及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。第二小題就是重點培養(yǎng)孩子的類比推理能力,。在前面學(xué)習(xí)當(dāng)中,，當(dāng)孩子有了125×8等于1000，25×4等于100的數(shù)感的前提條件下,，然后再在已知運算題的類比推理下,，發(fā)現(xiàn)第一道題，64可以拆成8×8,，并且8和125相乘,，剛好是1000。第二道題,，32可以拆成4×8,，4和25相乘剛好是100，8和125相乘剛好是1000,，問題迎刃而解,。這是數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng)訓(xùn)練的最佳契機。

又如,，在學(xué)習(xí)了“加法交換律和乘法交換律”之后,，教材51頁有一道題，“減法和除法也滿足交換律嗎,？舉例試一試,。”雖然結(jié)果是不成立的,，但是,，這是孩子們進行類比推理的一個良好契機，可以讓孩子進行充分類比,，并且討論結(jié)果是否成立,，引導(dǎo)孩子養(yǎng)成類比的習(xí)慣，形成善于思考的品質(zhì),，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng),。

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三、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培養(yǎng)

“數(shù)據(jù)分析”是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù),，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進行整理,、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng),。主要包括：收集數(shù)據(jù),，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型,，進行推斷,，獲得結(jié)論?！皵?shù)學(xué)建?！笔菍ΜF(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題,、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng),。主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題,、提出問題,，分析問題、建立模型,，求解結(jié)論,，驗證結(jié)果并改進模型，最終解決實際問題,。數(shù)學(xué)分析也是一種數(shù)學(xué)建模,，它為數(shù)學(xué)建模提供了更為基礎(chǔ)的素材與思維方式。數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ),，來源于直觀想象,，數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運算,，邏輯推理,，同時也為數(shù)學(xué)建模鋪設(shè)了更好的平臺，最終讓我們學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言來表達世界,。

乘法分配律,，在這五個運算律當(dāng)中是最難掌握的一個定律。教材以實際生活中的事例進行引入,，通過兩種不同的觀測角度計算出一共貼了多少塊瓷磚,？讓學(xué)生領(lǐng)悟到不同的算式，只是不同的觀察角度,，所帶來了不同的思維方式的呈現(xiàn),。而思維的最終結(jié)果是計算貼了多少塊瓷磚，所指向的目的是一致的,，是等值的,。從而得出這樣的兩個式子相等。順而進行數(shù)學(xué)抽象和歸納推理,，得出乘法分配律,。為了讓這一結(jié)果深入孩子心里。教材引用了現(xiàn)實背景進行進一步的驗證，并且進行了算理上的推導(dǎo),。這一推導(dǎo)事實上是乘法分配律逆運算的推導(dǎo),。正如小學(xué)一年級，學(xué)習(xí)減法是利用加法理解進行學(xué)習(xí)的,。

乘法分配律的應(yīng)用,，更多的有賴于學(xué)生數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)。例如教材57頁：觀察34×72+34×28的特點并計算,。

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此題教學(xué)重點就是培養(yǎng)孩子的數(shù)據(jù)分析能力與素養(yǎng),。讓孩子通過觀察發(fā)現(xiàn)，兩個乘法算式中都有34,。在此基礎(chǔ)上明白：表示72個34,，加上28個34，一共有100個34,。通過數(shù)據(jù)分析,，讓學(xué)生明白這個式子符合乘法分配律的特征：中間是加法，前后分別是乘法,，并且在前后兩個乘法當(dāng)中有一個乘數(shù)是相同的,，從而運用乘法分配律的逆運算進行計算。

再如教材58頁第5題：媽媽給淘氣訂了一套可以自由組合的小柜子,，每個小柜子18元,，柜門上每張貼畫2元，算一算,，這套小柜子一共花了多少元,？

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題目右側(cè)配圖6個小柜子。按照慣常的分類思想,，孩子們可以容易地列出算式：18×6+2×6,。這一算式的算理是非常簡單的，也是孩子們很容易接受的,。在這一題的教學(xué)當(dāng)中,，有必要培養(yǎng)孩子的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。首先從算式的角度來看,，兩個乘法中都有一個相同數(shù)6,。于是可以引導(dǎo)孩子通過乘法分配律，得出（18+2）×6,。其次,，可以引導(dǎo)孩子直接觀察圖。通過分析數(shù)據(jù)得出,，每個小柜子18元,，柜子上的貼畫2元，也就是說，每個小柜子連同門上的貼畫一共20元,。一共有6個這樣的柜子,。這樣的話可以直接得出算式：（18+2）×6。

在五個運算律當(dāng)中,，加法交換律和乘法交換律,，由于孩子在過去的學(xué)習(xí)當(dāng)中，有了充分的學(xué)習(xí)體驗,。因此掌握起來沒有難度,。加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律的熟練運用，有賴于運算能力的提升,，尤其是數(shù)感,，發(fā)揮著重要的作用?！皽愓笔撬季S的核心,。乘法分配律掌握是有一定難度的,，需要一定量的訓(xùn)練,。

在訓(xùn)練到一定程度的時候，可以讓孩子形成數(shù)學(xué)建模的思想,。當(dāng)然孩子沒必要了解建模的概念,。當(dāng)孩子面對一個加法將兩個乘法算式連接起來的時候，要有一個敏感度,。當(dāng)這兩個乘法算式當(dāng)中,，有一個相同的乘數(shù)時，就滿足使用乘法分配律的條件,，可以運用乘法分配律的逆運算進行簡便運算,。

又如在教材58頁第6題：我們經(jīng)常用豎式來計算多位數(shù)乘法。

（1）你能結(jié)合乘法分配律解釋其中的道理嗎,？

? 實際上是把21分成20+1進行計算的,。  

  26×21

=26×（1+20）

=26×1+26×20

=26+520

=546

（2）嘗試運用乘法分配律計算下面各題。

58×11                  47×102

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在這一題的教學(xué)當(dāng)中,，可以引導(dǎo)孩子充分地體驗,，對比，聯(lián)系,，想象,，從而建立一種更高級形式的乘法分配律的模型。然后再把這種模型應(yīng)用于兩數(shù)相乘的乘法算式當(dāng)中,。使原本需要列豎式解決的乘法算式,，能夠直接采用乘法分配律通過遞等式計算，直接寫出答案，達到簡便運算的效果,。例如：              47×102

=47×（100+2）

=47×100+47×2

=4700+94

=4794

數(shù)學(xué)建模,，在各種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)里面是層級最高的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)能力歷經(jīng)直觀想象,，數(shù)學(xué)抽象,，數(shù)學(xué)運算，邏輯推理,，數(shù)據(jù)分析,，最終形成數(shù)學(xué)建模，達到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的金字塔塔尖部分,。數(shù)學(xué)建模形成之后,，又利用這種素養(yǎng)，反觀我們的現(xiàn)實生活,，指導(dǎo)與改善我們生活,，在條件與機會允許的情況下，形成更高級的數(shù)學(xué)建模,。從而讓我們形成用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,，用數(shù)學(xué)的思維理解世界，用數(shù)學(xué)的語言表達世界的能力,。

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