一．概念描述

現(xiàn)代數(shù)學(xué)：運(yùn)算定律,，指基本運(yùn)算律,，包括加法運(yùn)算定律和乘法運(yùn)算定律。

加法運(yùn)算定律指加法交換律,，加法結(jié)合律---

加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加,，交換加數(shù)的位置，它們的和不變 即,。a+b =b+a,。

加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加,，再加上第三個(gè)數(shù),，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再加上第一個(gè)數(shù),，它們的和不變,，即(a+b)+c=a+(b+c)。

加法交換律和加法結(jié)合律可“推廣到若干個(gè)加數(shù)相加的情形,。

乘法運(yùn)算定律指乘法交換律,、乘法結(jié)合律、乘法分配律---

乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘,，交換因數(shù)的位置,，它們的積不變。即ab= ba,。

乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘,，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再與第三個(gè)數(shù)相乘,，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘,，再與第一個(gè)數(shù)相乘，它們的積不變,，即(ab) c=a (bc),。

乘法交換律和結(jié)合律可以推廣到若干個(gè)數(shù)相乘，而積不變,。

乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和（或差）與一個(gè)數(shù)相乘的積,，等于這兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，所得的積的和（或差）,，即（a±b）c= ac±bc,。

乘法對(duì)加法（或減法）的分配律可以推廣到若干個(gè)數(shù)的和（或差）與一個(gè)數(shù)相乘。

小學(xué)數(shù)學(xué)：加減乘除運(yùn)算定律是指在運(yùn)算過(guò)程中被事實(shí)所證明的四則運(yùn)算變化發(fā)展的基本規(guī)律,。加法運(yùn)算定律有加法交換律,、加法結(jié)合律,，乘法運(yùn)算定律有乘法交換律、乘法結(jié)合律,、乘法分配律,。俗稱(chēng)“五大定律”。

二．概念解讀

自然數(shù)或正整數(shù)的數(shù)學(xué)理論就是眾所周知的算術(shù),。算術(shù)的基礎(chǔ)在于：整數(shù)的加法和乘法服從某些規(guī)律,，即五個(gè)算術(shù)基本規(guī)律。加法和乘法的交換律說(shuō)明人們可以交換加法或乘法中元素的次序,、結(jié)合律表明三個(gè)數(shù)相加時(shí),，或者我們把第一個(gè)數(shù)加上第二個(gè)與第三個(gè)的和，或者我們把第三個(gè)數(shù)加上第一個(gè)與第二個(gè)的和,，其結(jié)果都相同,。分配律表面用一個(gè)整數(shù)去乘一個(gè)和時(shí)，我們可以用這個(gè)整數(shù)去乘這個(gè)和的每一項(xiàng),，然后把這些乘積加起來(lái),。

其實(shí)，人們很早就發(fā)現(xiàn)了這些基本規(guī)律,。,，隨符生產(chǎn)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)現(xiàn)象具有共同的特征,，如3+2= 2+3,，4+5= 5+4，7+8=8+7,，……類(lèi)似的等式共同體現(xiàn)了一個(gè)定律---加法交換律,。當(dāng)然，只是用幾組算式來(lái)表示,，不能代表這幾組算式的一般性規(guī)律,，若是用語(yǔ)言文字表達(dá)又很麻煩。所以,，引發(fā)了數(shù)學(xué)史上第二次抽象---用符號(hào)表示數(shù),。另外四個(gè)定律也是這樣。這些算術(shù)規(guī)律是很簡(jiǎn)單的,，而且好像是顯然的，人們不需要過(guò)多的證明就能接受這樣的結(jié)果,。

19世紀(jì)早期,，代數(shù)還被單純地看作符號(hào)化的算術(shù)。上述五條定律成為自然數(shù)的代數(shù)中總是成立的性質(zhì),。但是,，這些性質(zhì)是符號(hào)的,，它們還可以用于自然數(shù)以外的元素的集合。因此,，這五條性質(zhì)也可以看作其他完全不同的元素體系的性質(zhì),。它們的推理構(gòu)成了可應(yīng)用于自然數(shù)的代數(shù)；顯然它們的推理也構(gòu)成了可應(yīng)用于其他體系的代數(shù),。這就是說(shuō),，許多不同的體系有共同的代數(shù)結(jié)構(gòu)。這五條基本性質(zhì)可看作對(duì)特殊類(lèi)型的代數(shù)結(jié)構(gòu)的公設(shè),。從這個(gè)觀點(diǎn)考慮,，代數(shù)不再束縛于算術(shù)之上，而成為純粹形式的演繹研究了,。

1830年左右,，上述代數(shù)現(xiàn)代觀點(diǎn)的萌芽出現(xiàn)在英同數(shù)學(xué)家皮考克的著作中。皮考克是最先研究代數(shù)基本原則的人之一,。1830年,，他發(fā)表了《代數(shù)論著》一書(shū)，試圖對(duì)代數(shù)做出堪與歐幾里得“原本”媲美的邏輯處理,。他贏得“代數(shù)的歐幾里得”的稱(chēng)號(hào),，為抽象代數(shù)的誕生開(kāi)辟了先河。

三．教學(xué)建議

先要定義乘法的意義,，才會(huì)有乘法的運(yùn)算,。、乘法交換律是由乘法定義,，可以用數(shù)學(xué)歸納法嚴(yán)格推導(dǎo)出來(lái)的,。畫(huà)圖解釋?zhuān)e例解釋等，都不過(guò)是解釋而已,，并不是證明,。但是，嚴(yán)密的證明要用到原始的“后繼”定義,，將乘法歸結(jié)為加法,，并用到數(shù)學(xué)歸納法，這在小學(xué)里顯然不可使用,。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重視設(shè)置情境,，加以具體解釋?zhuān)瑤椭鷮W(xué)生理解正整數(shù)的乘法交換律，也就夠了,。

(1)設(shè)置合理情境,，提煉定律內(nèi)容

運(yùn)算定律雖然很簡(jiǎn)單，似乎不需要什么證明,，但對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō),，創(chuàng)設(shè)合適的情境,、體會(huì)定律的內(nèi)容就顯得尤為重要。

(2)利用錯(cuò)誤資源,，明確適用范圍

正視學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤,，尋找合理因素，分析錯(cuò)誤原因,，巧妙利用資源,，還錯(cuò)誤以本色的過(guò)程，是把師生共同培養(yǎng)成訓(xùn)練有素的思維者的過(guò)程,。學(xué)生在學(xué)習(xí)了運(yùn)算定律后,，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤：1.25x8.8=1.25x8x0.8或1.25x8.8=1.25x8x1.25x0.8。分析原因發(fā)現(xiàn),，這兩種都是對(duì)乘法分配律的誤解,，受到了乘法結(jié)合律的干擾。教學(xué)中,，可以直接呈現(xiàn)錯(cuò)誤算式,，讓學(xué)生先判斷正誤，并說(shuō)明理由,，再結(jié)合具體的情境或?qū)嵗?，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解乘法分配律及其他定律的使用方法和使用范圍。