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只有八維數(shù)字,才能還原宇宙的本質(zhì),?

 昵稱7360824 2018-08-06


劍橋大學(xué)的數(shù)學(xué)物理學(xué)家Cohl Furey正在尋找粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型和八元數(shù)之間的聯(lián)系,。八元數(shù)的乘法規(guī)則被編碼在被稱為法諾面的三角圖中。(攝影:Susannah Ireland)


對于一維,、二維乃至四維的數(shù)字,,人們都不陌生:一維的實(shí)數(shù)一直都存在于經(jīng)典物理中,復(fù)數(shù)提供了量子物理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),四元數(shù)則是愛因斯坦狹義相對論的基礎(chǔ),。然而,,最為復(fù)雜的數(shù)字形態(tài)——八元數(shù),又與現(xiàn)實(shí)世界存在著怎樣的關(guān)系呢,?

包括本文的主人公,,劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)物理學(xué)家Cohl Furey在內(nèi)的一些科學(xué)家相信,八元數(shù)蘊(yùn)藏著整個(gè)宇宙的秘密——我們可以從中推導(dǎo)出構(gòu)成現(xiàn)實(shí)世界的整套相互作用和粒子,。這篇文章,,就將帶我們走進(jìn)這類奇異而復(fù)雜的數(shù)字。



2014年,,加拿大滑鐵盧大學(xué)的研究生Cohl Furey駕車6小時(shí)來到了賓夕法尼亞州立大學(xué),,希望能和物理學(xué)教授Murat Günaydin討論一個(gè)問題。Furey弄明白了如何在Günaydin 40年前研究的基礎(chǔ)上建立新理論,。這是一項(xiàng)已經(jīng)被多數(shù)人遺忘的研究,,它支持一個(gè)有關(guān)基礎(chǔ)物理與純數(shù)學(xué)之間聯(lián)系的猜想。而現(xiàn)在,,F(xiàn)urey將它重新帶回人們的視線中,。


這個(gè)猜想雖然存在于很多物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家心中,但是很少有人做這一領(lǐng)域的研究,。它認(rèn)為,,構(gòu)成了現(xiàn)實(shí)世界的整套相互作用和粒子,都可以從一種名為八元數(shù)的八維數(shù)字中推出來,。


Günaydin現(xiàn)在是賓夕法尼亞州立大學(xué)教授,,在1973年他還是耶魯大學(xué)的研究生的時(shí)候,他和他的導(dǎo)師 Feza Gürsey 發(fā)現(xiàn)了八元數(shù)和強(qiáng)相互作用之間的令人吃驚的聯(lián)系,。強(qiáng)相互作用是將原子核中的夸克結(jié)合在一起的力量,。其他研究者最初對這一發(fā)現(xiàn)很感興趣,但興趣并沒有持續(xù)多久,。那時(shí)所有人都在為粒子物理中的標(biāo)準(zhǔn)模型而困擾,,它能夠通過方程描述已知的基本粒子和它們之間的強(qiáng)、弱和電磁相互作用(引力之外的所有基本作用力),。但是大家沒有去尋找標(biāo)準(zhǔn)模型問題的數(shù)學(xué)解釋,,更多的物理學(xué)家將希望寄托在高能粒子對撞機(jī)等實(shí)驗(yàn)上,希望會(huì)找到預(yù)料之外的粒子,,從而能夠超越標(biāo)準(zhǔn)模型,,更深層次地理解現(xiàn)實(shí)。他們“想象下一次進(jìn)展會(huì)自動(dòng)出現(xiàn),,而不是通過更深入地思考我們已知的信息而獲得,?!奔幽么髨A周理論物理研究所的 Latham Boyle說,。


幾十年過去了,,物理學(xué)家還沒有找到超出標(biāo)準(zhǔn)模型的粒子。與此同時(shí),,八元數(shù)的奇異之美也一直吸引著少數(shù)幾個(gè)有獨(dú)立想法的研究者,,其中就包括Furey,這個(gè)在4年前拜訪過Günaydin的加拿大研究生,。那時(shí)Furey在黑板上潦草地寫下一串奇異的符號(hào),,試圖向 Günaydin 解釋她將他的工作從強(qiáng)相互作用拓展到了電磁相互作用。


現(xiàn)如今Furey已經(jīng)39歲了,,她還沒能將標(biāo)準(zhǔn)模型中的粒子和相互作用都用八元數(shù)來表達(dá)出來,,也還沒能觸及到引力這個(gè)話題。她強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)上的可能有很多種,,很多專家都認(rèn)為,,找到能成功合并八元數(shù)和其他可除代數(shù)的方法還太早。



最復(fù)雜的數(shù)


要說明什么是八元數(shù),,要從我們熟悉的實(shí)數(shù)開始——就是那些可以在數(shù)軸上找到的數(shù),,例如1、π,、-83.777,。實(shí)數(shù)可以通過特定的方式湊成一對,組成復(fù)數(shù),。關(guān)于復(fù)數(shù)的研究開始于16世紀(jì)的意大利,,復(fù)數(shù)和二維坐標(biāo)平面類似,加法,、減法,、乘法和除法就像是位置在平面上平移和旋轉(zhuǎn)。將復(fù)數(shù)以一定的方式配對,,可以形成四維的四元數(shù),,它是在1843年由愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓發(fā)現(xiàn)的。哈密頓的律師朋友John Graves隨之證明了成對組合的四元數(shù)也組成八元數(shù):這種數(shù)可以定義八維抽象空間的坐標(biāo),。


證明了八元數(shù)的John Graves(來源:MacTutor History of Mathematics)


之后就不可能構(gòu)建更復(fù)雜的數(shù)了,。1898年完成的證明說明,實(shí)數(shù),、復(fù)數(shù),、四元數(shù)和八元數(shù)是僅有的幾種可被加減乘除的數(shù)字形式。這些“可除代數(shù)”中的前三個(gè)是20世紀(jì)物理學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),,實(shí)數(shù)一直都存在于經(jīng)典物理中,,復(fù)數(shù)提供了量子物理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),四元數(shù)則是愛因斯坦狹義相對論的基礎(chǔ)。這樣的聯(lián)系讓很多研究人員去思考如何理解最后一個(gè)可除代數(shù),。八元數(shù)中可能蘊(yùn)含著宇宙的秘密嗎,?


當(dāng)你從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù),再到四元數(shù),、八元數(shù)把維度逐步翻倍時(shí),,F(xiàn)urey解釋道,“每一次翻倍,,你都會(huì)失去一些性質(zhì),。”比如,實(shí)數(shù)可以從小到大排列,,“而復(fù)數(shù)分布的平面上,,根本沒有這樣的概念?!苯又?,四元數(shù)沒有交換律;對于四元數(shù)來說,,a × b不等于b × a,。這其實(shí)也很常見,因?yàn)閷⒏呔S度的數(shù)相乘會(huì)包含旋轉(zhuǎn),,當(dāng)你在高于兩維的空間交換旋轉(zhuǎn)的次序時(shí),,你最終得到的位置是不同的。到了八元數(shù),,結(jié)合律也將失效,,也就是說(a × b) × c不等于a × (b × c)?!皵?shù)學(xué)家們不喜歡不滿足結(jié)合律的東西,,”加利福尼亞大學(xué)河濱分校的八元數(shù)專家John Baez說,“因?yàn)槲覀兒苋菀紫胂蟛粷M足交換律的情形,,比如先穿襪子再穿鞋和先穿鞋再穿襪子,,但是我們很難想象不滿足結(jié)合律的情形?!北热?,除了先穿襪子之后穿鞋,你還可以先將你的襪子放進(jìn)你的鞋中,,再同時(shí)穿上襪子和鞋,,技術(shù)上說,這兩種不同的穿法可以讓得到相同的結(jié)果:穿著襪子和鞋,?!袄ㄌ?hào)是一種人為引入的東西,?!?/span>


八元數(shù)不滿足結(jié)合律的性質(zhì)阻礙了很多物理學(xué)家在這方面的努力,,但是Baez解釋說,八元數(shù)奇怪的數(shù)學(xué)性質(zhì)同時(shí)也是最吸引他們的地方,。自然用它的四種力操縱著幾十種粒子和反粒子,,它本身也很奇怪,。標(biāo)準(zhǔn)模型是“奇怪且獨(dú)特的”,他說,。


點(diǎn)擊查看大圖(制圖:Lucy Reading-Ikkanda)


在標(biāo)準(zhǔn)模型中,基本粒子體現(xiàn)了三個(gè)對稱群,。所謂的群,,指的就是可以讓運(yùn)動(dòng)方程保持不變的交換粒子子集的方式。這三個(gè)群,,SU(3), SU(2) 和U(1)分別對應(yīng)著強(qiáng),、弱和電磁相互作用,它們作用于6種夸克,,兩種輕子加上它們的反粒子,,每種輕子又分別有三代,每代的粒子除了質(zhì)量不一樣以外其他性質(zhì)都相同,。(第四種基本力——引力與這三種不相容,,在愛因斯坦的廣義相對論中,引力是時(shí)空幾何的彎曲,。)


粒子集合體現(xiàn)的是標(biāo)準(zhǔn)模型中的對稱性,,就像是正方形為了滿足90度的旋轉(zhuǎn)對稱性必須存在四個(gè)頂角一樣。問題在于,,為什么是SU(3) × SU(2) × U(1)這個(gè)對稱群,?還有,為什么就是這樣的一套粒子,,具有各種力荷,、奇妙的手征和冗余的三代粒子?對待這類問題的傳統(tǒng)態(tài)度是將標(biāo)準(zhǔn)模型看成是更為完整理論結(jié)構(gòu)的一部分,。但另外一種辦法,,是試圖通過八元數(shù)來“從邏輯上解決這些奇怪的性質(zhì),”Baez說,。


當(dāng)Furey在研究生時(shí)期了解到四元數(shù)可以描述粒子在四維時(shí)空中的平移和旋轉(zhuǎn)時(shí),,她就開始嚴(yán)肅地探究這種可能性。她考慮了粒子的內(nèi)稟性質(zhì),,比如它們的電荷,?!?/span>我發(fā)現(xiàn)擁有8個(gè)自由度的八元數(shù)可以和粒子中的一代相對應(yīng):一個(gè)中微子,一個(gè)電子,,三個(gè)上夸克和三個(gè)下夸克,。” 她說,這有點(diǎn)像之前令人鄙視的數(shù)字占卜,。但是這樣巧合也在之后的研究中激增,。“如果研究項(xiàng)目是一個(gè)謀殺謎案,,”她說,,“我會(huì)認(rèn)為我們?nèi)栽谑占€索階段?!?/span>


在劍橋大學(xué)三一學(xué)院前的Cohl Furey,。(攝影:Susannah Ireland



Dixon代數(shù)


為了構(gòu)造出粒子物理,F(xiàn)urey使用的是四種可除代數(shù)的直積R?C?H?OR是實(shí)數(shù),C是復(fù)數(shù),H是四元數(shù),,O是八元數(shù)),,有時(shí)候也被稱為Dixon代數(shù),因物理學(xué)家Geoffrey Dixon得名,。在20世紀(jì)七八十年代是他最先開始探索這個(gè)領(lǐng)域,,但是之后他沒能得到教職,離開了這個(gè)領(lǐng)域,。(Dixon從他的回憶錄中截取了一段發(fā)給我:“我當(dāng)時(shí)有的是一種不受控制的直覺,,我覺得這些代數(shù)是理解粒子物理的關(guān)鍵,如果跟著這個(gè)直覺走跌下懸崖我也愿意,,有人也許會(huì)說我確實(shí)這么干了,。”)


Dixon和其他人繼續(xù)將可除代數(shù)和其他數(shù)學(xué)工具結(jié)合時(shí),,而Furey限制了自己的活動(dòng)范圍,;在她的體系中,代數(shù)“只作用于自己”,。根據(jù)R?C?H?O結(jié)合,,4個(gè)數(shù)的體系可以形成一個(gè)64維的抽象空間。在這個(gè)空間中,,根據(jù)Furey的模型,,粒子是數(shù)學(xué)上的“理想”(ideal,集合論的一個(gè)術(shù)語),,也就是這樣的一種子集,,其中的元素,和整個(gè)集合中的其他元素相乘后得到的元素還在這個(gè)子集中,,這使得粒子運(yùn)動(dòng),、旋轉(zhuǎn),、相互作用和轉(zhuǎn)化后仍是粒子。她認(rèn)為理想是粒子的本質(zhì),,它們能夠滿足R?C?H?O的對稱性,。


Dixon也知道,這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)會(huì)分成兩個(gè)部分:C?HC?O,,即復(fù)數(shù)與四元數(shù),、復(fù)數(shù)與八元數(shù)的直積(和實(shí)數(shù)的直積是平凡的)。在Furey的模型中,,與粒子在時(shí)空中移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)相聯(lián)系的對稱性,,也就是洛倫茲群,會(huì)出現(xiàn)在代數(shù)結(jié)構(gòu)中的四元數(shù)C?H部分,。對稱群SU(3) × SU(2) × U(1),,描述粒子的內(nèi)稟性質(zhì)以及強(qiáng)、弱和電磁力相互作用,,會(huì)從八元數(shù)部分C?O出現(xiàn)。


Günaydin和Gürsey在他們的早期工作中,,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)SU(3)是八元數(shù)的一部分,。考慮八元數(shù)的一組單元,,1,、 e1、 e2,、 e3,、 e4、 e5,、 e6和 e7,,是八個(gè)相互正交的方向上的單位距離:它們表示一種名為G2的群對稱性,也就是一種“exceptional群”,,它在數(shù)學(xué)上不能被歸到任意一個(gè)現(xiàn)在已知的對稱群中,。八元數(shù)和exceptional群以及其他特殊數(shù)學(xué)對象的關(guān)系,足夠讓我們相信它具有重要意義,,比如,,菲爾茲獎(jiǎng)和阿貝爾獎(jiǎng)獲得者,著名數(shù)學(xué)家 Michael Atiyah就相信最后的關(guān)于自然的理論一定是有關(guān)八元數(shù)的,。他在2010年說到:“我們想找到的終極理論,,需要把引力納入到其他理論中,其方式應(yīng)該是把引力看作八元數(shù)和exceptional群的結(jié)果,?!彼a(bǔ)充道:“這會(huì)是很難的工作,,因?yàn)槲覀円呀?jīng)知道八元數(shù)就是很難的理論,但是當(dāng)你找到了它之后,,它應(yīng)該是一個(gè)美麗的理論,,而且獨(dú)特?!?/span>


將e7固定,,改變其他單元會(huì)將它對稱性降為SU(3)群。Günaydin和Gürsey利用這一性質(zhì)建立了第一代夸克上的強(qiáng)相互作用的八元數(shù)模型,。


Furey走得更遠(yuǎn),。在今年5月于《歐洲物理期刊C》(The European Physical Journal C)發(fā)表的文章中,她整合了幾項(xiàng)研究,,為單獨(dú)一代粒子構(gòu)造出了完整的標(biāo)準(zhǔn)模型對稱群,,SU(3) × SU(2) × U(1),通過數(shù)學(xué)可以得出電子,、中微子,、三個(gè)上夸克、三個(gè)下夸克和它們的反粒子的正確電荷數(shù)和其他的屬性,。數(shù)學(xué)計(jì)算也解釋了為什么電荷是量子化的,,因?yàn)閿?shù)在本質(zhì)上就是這樣的。


然而,,按照這種解釋粒子的方式,,研究者還不知道怎樣才能自然地把模型擴(kuò)展到包括自然界的全部三代粒子。但是在一篇正在專家之間流通,,由《物理快報(bào)B》(Physical Letters B)評(píng)審的新論文中,,F(xiàn)urey用C?O來構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)模型中的兩個(gè)非破缺的對稱性,SU(3)和U(1),。(在自然界中,,SU(2) × U(1)通過希格斯機(jī)制破缺為U(1),這一機(jī)制可以使粒子獲得質(zhì)量,。)在這樣的情況下,,作用于所有三代粒子的對稱性也允許惰性中微子存在,這種粒子是物理學(xué)家現(xiàn)在積極搜尋的暗物質(zhì)的候選者,?!叭W拥哪P椭挥蠸U(3) × U(1),所以它是更為基本的,,” Furey告訴我,,“問題在于,有沒有很明顯的辦法來從一代模型的圖像過渡到三代模型,?我認(rèn)為存在這樣的方法,?!?/span>


這是她現(xiàn)在所思考的主要問題。一些其他的數(shù)學(xué)物理學(xué)家也同樣在嘗試用一種包含八元數(shù)的結(jié)構(gòu)——exceptional Jordan代數(shù)來構(gòu)造三代粒子的模型,。經(jīng)過多年來獨(dú)自的工作,,F(xiàn)urey現(xiàn)在開始和用不同方法的研究者合作,但是她更喜歡仍然在這四個(gè)可除代數(shù)R?C?H?O范圍內(nèi)考慮問題,。它已經(jīng)足夠復(fù)雜,,可以來通過多種方式提供靈活性。Furey的目標(biāo)是找到這樣的模型,,它看上去是理所應(yīng)當(dāng)?shù)?,而且可以解釋質(zhì)量、希格斯機(jī)制,、引力和時(shí)空,。


現(xiàn)在,數(shù)學(xué)上已經(jīng)有了關(guān)于時(shí)空的概念,。她發(fā)現(xiàn)R?C?H?O元素的所有乘法鏈都可以由10個(gè)被稱為“生成元”的矩陣生成,。其中的9個(gè)生成元代表空間部分,第10個(gè)生成元,,其符號(hào)和前9個(gè)相反,,代表時(shí)間。弦論中也預(yù)言了十維時(shí)空,,八元數(shù)中也有類似的結(jié)論。Furey的工作是否能和弦論聯(lián)系在一起還有待去發(fā)現(xiàn),。



最后的理論


Furey拒絕回答我提的那些更偏哲學(xué)的,、有關(guān)物理和數(shù)學(xué)之間關(guān)系的問題,比如,,它們在根本層次上是否是一體的,、相同的?她對為什么可除代數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵這一謎題更感興趣,。她同時(shí)也有一種預(yù)感,,反映了研究者常有的對無限的反感,她猜測R?C?H?O實(shí)際上是一種近似,,在最終理論中它會(huì)被取代,,而取代它應(yīng)該是一個(gè)不涉及無限連續(xù)實(shí)數(shù)的相關(guān)數(shù)學(xué)系統(tǒng)。


這些都只是直覺上的想法,。但是隨著標(biāo)準(zhǔn)模型完美地通過了檢驗(yàn),,大型強(qiáng)子對撞機(jī)上也一直沒有新粒子出現(xiàn)的跡象。既物理學(xué)界彌漫著一種既不安又興奮的氣氛,,鼓動(dòng)研究者重新回到黑板和白板上?,F(xiàn)在有一種一切都待完成的感覺,,“也許我們還沒有完成將現(xiàn)有發(fā)現(xiàn)整合起來的工作,”圓周研究所的Boyle說,。他認(rèn)為能夠?qū)⑦@項(xiàng)工作完成的可能性“比很多人預(yù)期的都要高,,”他還說這“應(yīng)該受到比現(xiàn)在更多的關(guān)注,所以我很開心會(huì)有一些像Cohl的人正在努力推進(jìn)這項(xiàng)研究,?!?/span>


Boyle自己沒有研究標(biāo)準(zhǔn)模型和八元數(shù)之間的關(guān)系。但是和很多人一樣,,他承認(rèn)聽說過關(guān)于這個(gè)領(lǐng)域的一些誘人傳言,。“我也同樣懷有希望,,”他說,,“即使懷疑的人,也認(rèn)為八元數(shù)最后可能在基礎(chǔ)物理中扮演重要角色,,因?yàn)檫@個(gè)理論實(shí)在是很漂亮,。”

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