數(shù)學(xué)不是真理,！

數(shù)學(xué)不是真理！

數(shù)學(xué)不是真理,！

推薦一本書：克萊因著的《數(shù)學(xué),，確定性的喪失》

早在1928年,，哈代就用他一貫的坦率語氣說過：嚴格說起來，根本沒有所謂的數(shù)學(xué)證明……歸根到底,，我們只是指出一些要點,；……李特伍德（Littlewood）和我都把證明稱之為廢話，它是為打動某些人而編造的一堆華麗詞藻,，是講演時用來演示的圖片,，是激發(fā)小學(xué)生想象力的工具。

1944年,，杰出的美國數(shù)學(xué)家懷爾德（Raymond L．Wilder）再次貶低了證明的地位,。他說，證明只不過是：

對于我們直覺產(chǎn)物的檢驗……,。很明顯,，我們不會擁有而且極可能永遠不會有任何一個這樣的證明標(biāo)準，其獨立于時代,，獨立于所要證明的東西,，并且獨立于使用它的個人或某個思想學(xué)派。在這種情況下,，明智的做法似乎就是承認,，一般地來說，數(shù)學(xué)中根本就沒有絕對的真實證明這個東西,，而無須考慮公眾會怎么想,。

證明的價值又被懷特海在一次題為《不朽》的講演中再次攻擊：

邏輯被認為是思想發(fā)展的充分分析，事實上并非如此,。它是一種絕妙的工具,，但它還需要有一些常識作背景……。我的觀點是：哲學(xué)思想的最終形式不能建立在構(gòu)成特殊學(xué)科基礎(chǔ)形式的精確闡述之上,。所謂精確性本身就是虛假的,。

絕對嚴格的證明以及與它類似的東西都是捉摸不定的，理想化的概念,，“在數(shù)學(xué)的世界中沒有它們天然的棲身之地”,。什么叫嚴格？對此本來就沒有嚴格的定義,。一個證明,，如果被當(dāng)時的權(quán)威所認可，或者是用了當(dāng)時流行的原理,，那么這個證明就可為大家所接受,。但現(xiàn)在，并沒有一個普遍接受的標(biāo)準，現(xiàn)在不是數(shù)學(xué)嚴密性最輝煌的時代,?？梢钥隙ǎ^去人們認為數(shù)學(xué)的特征——從明確的公理經(jīng)過無可辯駁的證明——如今已不復(fù)存在了,。一切限制人們思維的易謬性和不確定性,，邏輯都具備?？隙ㄓ腥烁械襟@訝,，在數(shù)學(xué)中，我們習(xí)慣性地做了那么多基本假設(shè)卻從來沒有意識到,。

什么是可接受的數(shù)學(xué)公理,？

一個典型的例子是我們是否使用選擇公理，在這個問題上,，數(shù)學(xué)家進退維谷,，不用它或者否定它就意味著放棄數(shù)學(xué)中的大部分，而用它呢,，則不僅導(dǎo)致自相矛盾,，而且還會導(dǎo)致直覺上不合理的結(jié)論。

數(shù)學(xué)史中充滿了光輝的成就,，但它同時也是一部災(zāi)難的記錄——克萊因

數(shù)學(xué)證明曾被認為應(yīng)該總是一個清晰明確,，無法辯駁的過程，確實這一點已被忽略了幾個世紀,。

我們知道,，演繹數(shù)學(xué)起源于古希臘，其第一個似乎十分合理的結(jié)構(gòu)是歐幾里得的《原本》,。歐幾里得是以定義公理和演繹得到的定理開始的,，歐氏幾何中有一條公理一直在困惑著數(shù)學(xué)家們，不是由于他們對其正確性有任何懷疑之處,，而是由于它的表達方式。這就是平行公理,，或者通常稱為歐幾里得的第五假設(shè),，歐幾里得的表述是這樣的：

如果一條直線與兩條直線相交，使得一側(cè)的內(nèi)角不都是直角,，則如果將這兩條直線延長,，它們在內(nèi)角不都是直角的直線一側(cè)相交。

即若＜1＋＜2＜180°,，將a,、b充分延長，則它們必定相交,。

歐幾里得有很好的理由以這種方式表述他的公理,。他本可以用另一種方式來敘述：若＜1+＜2＝180°則直線a與直線b永不相交,，即直線a平行于直線b，但歐幾里得顯然是害怕假設(shè)有永不相交的無限直線,。當(dāng)然經(jīng)驗并沒有提供無限直線的性質(zhì),，而公理是被認為是關(guān)于物理世界的自明的真理。然而他確實以他的平行公理和其他公理證明了平行直線的存在,。

歐幾里得對平行公理的敘述被認為有點過于復(fù)雜了,，它缺少其他公理的簡潔性，顯然連歐幾里得本人也不喜歡他對平行公理的敘述,，因為直到所有可以不用它的定理都被證明出來以后,，他才提到它。一個并沒有使許多人不安然而最終卻至關(guān)重要的問題是能否肯定在客觀世界中存在無限直線,。歐幾里得的措詞頗為謹慎,，你可以按需要任意延長一條（有限）直線，且延長后的直線仍然是有限的,。歐幾里得確實暗示了無限直線是存在的：否則在任何情況下也不能按需要任意延長,。

早在希臘時代，數(shù)學(xué)家們就開始致力于解決歐幾里得的平行公理所帶來的問題了,。他們做了兩種不同類型的嘗試,，一種是用看來更加自明的命題來代替平行公理。另一種是試圖從歐幾里得的其他九條公理中推導(dǎo)出平行公理,。如果這一辦法可行則平行公理就成為定理,，也就無可懷疑的了。在兩千多年的時間里,，許多著名的數(shù)學(xué)家曾從事于這兩方面的研究,。至于那些無名之輩，我們就不去多說了,。這段歷史相當(dāng)長而過于專業(yè)化,，它們中的大部分不在這里重述，因為它們很容易查到而且并不大切題,。

在眾多的替代公理中有一條是我們今天通常在中學(xué)里學(xué)習(xí)的,，因而值得一提：這是普萊費爾(John Playfair) 1795年提出的平行公理的另一種說法：過不在直線l上一給定點P（圖4.2），有且僅有一條由l和P確定的平面上的直線,，不與l相交,。

所有的替代公理似乎都比歐幾里得的要簡單，但進一步考察就會發(fā)現(xiàn),，它們并不比歐幾里得的敘述更令人滿意,。其中許多，包括普萊費爾的敘述涉及到空間的無窮遠處。另一方面,，那些不直接提及“無限”的替代公理,，例如，“存在兩個相似但不全等的三角形”,，看起來比歐幾里得本人的平行公理更為復(fù)雜,，更不可取。

在試圖用第二種方法,，即從其他九條公理中推出平行公理以解決平行公理問題的努力中,，最有意義的是薩謝利(GerolamoSaccheri)的工作。他是一個耶穌會教士,，帕維爾大學(xué)的教授,。他的思想是，如果你使用了一個本質(zhì)上不同于歐幾里得平行公理的公理的話,，你將得出與他的其他公理矛盾的定理,。這種矛盾意味著否認平行公理——它是唯一存在疑問的公理——是錯誤的。因此歐幾里得的平行公理一定是正確的,，即它是其余九條公理的推斷,。

考慮普萊費爾的公理，它與歐幾里得的公理是等價的,，薩謝利首先假定過P點沒有與l平行的直線,，則由這一公理和歐幾里得采用的其他九條公理，薩謝利確實推出了矛盾,。薩謝利接著又試了其他可能的假設(shè),。即過P點至少有2條直線p和q，不管如何延伸總不與l相交,。薩謝利進一步證明了許多有趣的定理,，直到他推出一個奇怪而且令人討厭的結(jié)論，他認為它與前面得出的結(jié)論是矛盾的,。由是薩謝利認為有理由推出結(jié)論：歐幾里得的平行公理是其他公理的推論,，因此將他的書命名為《歐幾里得無懈可擊》（1733年）。然而后來的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)薩謝利并未真正推出矛盾,，因此平行公理的問題依然存在,。花在尋找一個可接受的歐幾里得平行公理的替代公理或證明它是其他九條公理的推論上的精力如此巨大而且徒勞無功,，以致于達蘭貝爾在1759年稱平行公理問題是“幾何原理中的家丑”。

1855年高斯死后（此時他的聲望已無人可比）,，他的筆記中的材料被公之于眾,。1868年黎曼于1854年寫就的論文的發(fā)表使得許多數(shù)學(xué)家相信，非歐幾何也可以是物理空間的幾何，我們不能再肯定哪門幾何一定是正確的,。單是還有別的幾何存在就已是一個令人震驚的事實了,，然而更令人震驚的是你不再知道哪個是正確的，或者究竟有沒有正確的,。顯然,，數(shù)學(xué)家們將基于有限的經(jīng)驗顯得正確的命題作為公理，并錯誤地相信了它們是自明的,。數(shù)學(xué)家們陷入了馬克·吐溫描述的窘境：“人是宗教動物,，他是唯一具有真正宗教的——他們中的少數(shù)人?！?/p>

非歐幾何及其隱含的關(guān)于幾何真理性的內(nèi)容逐漸被數(shù)學(xué)家們所接受,。但并不是由于它的適用性的任何論據(jù)被加強了，而是正如普朗克（Max

Planck）,，這位量子力學(xué)的奠基人在本世紀初所說的：“一個新的科學(xué)真理并不是靠說服它的對手并使其看見真理之光取勝,，而是由于它的對手死了，新的一代熟悉它的人成長起來了,?！?/p>

至于說到整個數(shù)學(xué)的真理，有些數(shù)學(xué)家贊同高斯的觀點,，真理存在于數(shù)中,，它是算術(shù)、代數(shù),、微積分以及后續(xù)學(xué)科的基礎(chǔ),。當(dāng)雅可比（Karl Gustav Jacob

Jacobi）說：“上帝一直在進行算術(shù)化”的時候，他并沒有像柏拉圖那樣堅持說上帝永遠在進行幾何化,?？雌饋頂?shù)學(xué)家總算設(shè)法拯救并且保住了建筑在算術(shù)基礎(chǔ)之上那一部分數(shù)學(xué)的真理性，這一部分到1850年時在科學(xué)上遠比那幾門幾何使用得更為廣泛也更為活躍,。不幸的是毀滅性的事情接踵而來,，為了理解這些我們必須往回走一點點。

用復(fù)數(shù)來表示平面上的向量及其運算的方法到1830年時已經(jīng)差不多是眾所周知的了,。然而,，如果幾個力作用于一個物體，則這些力及其向量表示不一定通常也不會總在同一平面上,。如果為了方便起見將通常實數(shù)稱為一維數(shù),，復(fù)數(shù)為二維數(shù)，那么,，要用什么來表示空間中某種三維數(shù)的向量及其代數(shù)運算呢,？人們希望對這種三維數(shù)進行的運算,，類似于復(fù)數(shù)的情況，將必須包括加,、減,、乘、除,，而且必須滿足通常實數(shù)和復(fù)數(shù)所具有的那些性質(zhì),。這樣代數(shù)運算才能自由且有效地使用。于是,，數(shù)學(xué)家們開始尋找一種稱為三維復(fù)數(shù)及其代數(shù)的數(shù),。

有許多數(shù)學(xué)家從事了這一問題的研究。1843年,，哈密爾頓提出了一個有用的復(fù)數(shù)的空間類似物,，哈密爾頓為此困惑了15年。那時數(shù)學(xué)家們所知道的所有的數(shù)都具有乘法的交換性,，即ab=ba,，因此哈密爾頓很自然地相信他所找的三維數(shù)或三元數(shù)，也應(yīng)該具有這一性質(zhì)以及其他實數(shù)和復(fù)數(shù)具有的性質(zhì),。哈密爾頓終于成功了,，不過他被迫作出兩點讓步。首先,，他的新數(shù)包含四個分量,，其次，他不得不犧牲了乘法交換律,。這兩個特點對代數(shù)學(xué)來說都是革命性的,，他把這種新的數(shù)叫做四元數(shù)。

有許多數(shù)學(xué)家從事了這一問題的研究,。1843年,，哈密爾頓提出了一個有用的復(fù)數(shù)的空間類似物，哈密爾頓為此困惑了15年,。那時數(shù)學(xué)家們所知道的所有的數(shù)都具有乘法的交換性,，即ab=ba，因此哈密爾頓很自然地相信他所找的三維數(shù)或三元數(shù),，也應(yīng)該具有這一性質(zhì)以及其他實數(shù)和復(fù)數(shù)具有的性質(zhì),。哈密爾頓終于成功了，不過他被迫作出兩點讓步,。首先,，他的新數(shù)包含四個分量，其次,，他不得不犧牲了乘法交換律,。這兩個特點對代數(shù)學(xué)來說都是革命性的,，他把這種新的數(shù)叫做四元數(shù)。

兩個四元數(shù)相等的準則是系數(shù)a,、b、c,、d都對應(yīng)相等,。

兩個四元數(shù)相加只要將對應(yīng)系數(shù)分別相加形成新的系數(shù)，這樣和本身也是一個四元數(shù),。為了定義乘法,，哈密爾頓不得不規(guī)定i與j，i與k及j與k的乘積,。為了保證乘積是一四元數(shù),，并且盡可能多地保留實數(shù)和復(fù)數(shù)的特點，他約定：jk=i,，kj=－i,，ki=j，ik=－j,，ij=k,，ji=－k，這些約定意味著乘法是不可能交換的,。這樣若p和q為四元數(shù),，則pq不等于qp。一個四元數(shù)被另一個四元數(shù)除也是可以做的,，然而,，乘法的不可交換性蘊含了用四元數(shù)q去除四元數(shù)p時，可以意味著找到r,，使得p=qr或p=rq,，商r在兩種情形下可能不等。盡管四元數(shù)并沒有像哈密爾頓希望的那樣有廣泛的使用價值,，他還是能用它們來解決大量的物理和幾何問題,。

四元數(shù)的引入給了數(shù)學(xué)家們又一次震動。它是一個確確實實有實際用途的代數(shù),，卻不具備所有實數(shù)和復(fù)數(shù)都具備的基本性質(zhì),，即

ab=ba。

哈密爾頓發(fā)明四元數(shù)后不久,，從事其他領(lǐng)域研究的數(shù)學(xué)家們引入了更奇怪的代數(shù),。著名代數(shù)幾何學(xué)家凱萊引進了矩陣，它是矩形或正方形數(shù)組,。對它們也可進行通常的代數(shù)運算,。但是如同在四元數(shù)中的情形一樣,，它也沒有乘法可交換性。而且即使兩個矩陣都不為0,，它們的積也可能為0,。四元數(shù)和矩陣只不過是許多性質(zhì)越來越奇怪的代數(shù)的先驅(qū)。格拉斯曼（Hermann

GuntherGrassmann）發(fā)明了許多這樣的代數(shù),。它們甚至比哈密爾頓的四元數(shù)還要一般化,。不幸，格拉斯曼只是個中學(xué)教師,，因此過了許多年他的工作才獲得了應(yīng)有的注意,。無論怎樣，格拉斯曼工作增添了現(xiàn)在稱為超復(fù)數(shù)的新代數(shù)中的多樣性,。

為了特別的目的而創(chuàng)建的這些新代數(shù)本身并沒有向普通的算術(shù)及其擴展在代數(shù)和分析中的真理提出挑戰(zhàn),。畢竟，一般的實數(shù)和復(fù)數(shù)可用于完全不同的目的,，它們的實用性是無可質(zhì)疑的,。然而，新代數(shù)的出現(xiàn)使人們對熟悉的算術(shù)和代數(shù)中的真理提出了質(zhì)疑,，正如接受了新的文明的習(xí)俗的人開始反省他們自己,。

對算術(shù)真理的最嚴重的打擊來自于亥姆霍茲（Hermann

vonHelmholtz），他是個卓越的物理學(xué)家,、數(shù)學(xué)家和醫(yī)生,。在他的《算與量》（1887年）一書中，他認為數(shù)學(xué)的主要問題是算術(shù)對物理現(xiàn)象的自適應(yīng)性的證明,，他的結(jié)論是只有經(jīng)驗?zāi)芨嬖V我們算術(shù)的法則能用在哪里,，我們并不能肯定一條先驗公式是否在任何情況下都適用。

亥姆霍茲考慮了許多相關(guān)的問題,，數(shù)的概念本身來自于經(jīng)驗,，某些經(jīng)驗啟發(fā)了通常類型的數(shù)：整數(shù)、分數(shù)和無理數(shù)及其性質(zhì),。對于這些經(jīng)驗,，熟悉的數(shù)是適用的。我們認識到存在確實相等的物體,，因此我們可以說,，例如，兩頭牛,。然而,，這些物體必須不能消失、混合或分割,。一個雨滴與另一個雨滴相加并不能得到兩個雨滴,。甚至是相等的概念也不能自動地用于經(jīng)驗,。看起來如果物體a=c而b=c則一定有a=b,。但是有可能兩個音聽起來都與第三個音相同,，而耳朵卻可以區(qū)別出前兩個音。這里與同一事物相同的事物并不相同,，同樣地,，顏色a和c看起來都和b相同，而a和c卻是有區(qū)別的,。

還可舉出許多例子來說明簡單地應(yīng)用算術(shù)可能會導(dǎo)出荒謬的結(jié)果。如果你將等體積的兩份水混合,。一份溫度為40°F,，另一份為50°F，你并不能得到溫度為90°F的兩份體積的水,。一個頻率為100赫茲和另一個200赫茲的單音疊加,，得到的并不是頻率300赫茲的單音，事實上合成音的頻率還是100赫茲,。電路中兩個大小分別為R1和R2的電阻并聯(lián),，它們的等效電阻是R1R2/（R1+R2）。正如勒貝格（Henri

Lebesgue）所調(diào)侃的,，你把一頭獅子和一只兔子關(guān)在同一個籠子里,，最后籠子里絕不會還有兩只動物。

我們在化學(xué)中知道,，將氫和氧混合就得到水,。但是如果將兩體積的氫和一體積的氧混合得到的不是三體積而是兩體積的水蒸氣。同樣,，一體積氮氣和三體積氫氣作用生成兩體積氨氣,。我們碰巧知道這些令人驚訝的算術(shù)事實的物理解釋。根據(jù)阿伏伽德羅假設(shè),，同一溫度,、同一壓強下，體積相同的任何氣體所含分子數(shù)相同,。這樣,，如果給定體積的氫氣含有10個分子，則兩倍這一體積的氫氣含有20個分子,。碰巧氧氣和氫氣都是雙原子分子,，即每個分子由兩個原子組成。這20個雙原子氫分子中的每個都與10個氧分子中的一個原子結(jié)合從而得到20個水分子,，即兩體積的水蒸氣而不是三體積,。由此可以看出算術(shù)不能正確描述按體積混合氣體的結(jié)果,。

一般來說，算術(shù)也不能正確反映按體積混合液體的結(jié)果,。一夸脫的杜松子酒與一夸脫苦艾酒混合,，得到的不是兩夸脫混合物而是稍微少一些。一夸脫酒精與一夸脫水混合得到大約1．8夸脫的伏特加,。對于大多數(shù)酒類這一點都是正確的,。三茶匙水加上一茶匙鹽不會是四茶匙。有些化學(xué)混合物不僅不按體積增加,，還會爆炸,。

不僅是整數(shù)的性質(zhì)在許多物理情況下不成立，許多實際情況中還要用到不同的分數(shù)計算,。讓我們以棒球為例來考慮（這當(dāng)然是上百萬美國人所感興趣的問題）,。

假設(shè)一個運動員在一場比賽中擊球3次，在另一場比賽中擊球4次,，那么他總共擊了幾次球,？這沒有什么困難，他一共擊球7次,。假設(shè)他在第一場比賽中有2次擊球成功,，即到達第一壘或更遠，在第二場中成功3次,，兩場比賽中他一共成功幾次呢,？這也沒有什么困難，一共是5次,。然而,，觀眾和對手本人通常最感興趣的是平均擊中率，也就是擊中次數(shù)與擊球次數(shù)的比例,。在第一場中比例是2/3,，第二場中是3/4。假設(shè)該球手或者一個棒球迷想用這兩個比例來計算兩次比賽的平均擊中率,，可能有人會以為用通常分數(shù)相加的辦法就可以了,，即

這個結(jié)果當(dāng)然是很荒謬的，他不可能在12次機會中擊中17次,。顯然,，通常將兩次比賽的平均擊中率相加來得到兩次比賽的平均擊中率的辦法是行不通的。

我們怎樣才能由兩次比賽各自的平均擊中率求得這兩次比賽的平均擊中率呢,？答案是用一種新的分數(shù)加法,。我們知道聯(lián)合的平均擊中率是5/7，而單場比賽的擊中率分別是2/3和3/4，我們看到如果把分子和分母對應(yīng)相加得到新的分數(shù),，這就是正確答案,，即

假設(shè)這個加號意味著分子相加和分母相加。

這種分數(shù)加法在其他情況下也是有用的,。一個借助電話搞推銷的商人在第一天的五個推銷電話中成功了三次,，第二天七次成功了四次，他把這些記錄下來,。為了得到正確的成功率,，他必須把3/5和4/7按平均擊中率的那種方法計算，這兩天中他的記錄是在總共12個電話中成功了7次,，這樣7/12就是3/5＋4/7,，假設(shè)加號意味著分子相加和分母相加。

再舉一個更為一般的例子,。假設(shè)一輛汽車用2小時走了50英里,，用3小時走了100英里，那么兩次旅行的平均速度是多少呢,？你可以說這輛車用5個小時走了150英里。因此它的平均速度是每小時30英里,。然而,，分別計算每次的平均速度通常總是有用的,。第一次旅行的平均速度是50/2,，第二次是100/3，如果將這兩個分數(shù)的分子相加,、分母相加,，則也得到正確答案。

一般來說4/6=2/3,，然而在上面討論的分數(shù)相加中,，例如2/3＋3/5，就不能用4/6代換2/3,。因為前者結(jié)果為7/11,，后者則為5/8，而這兩個答案并不相等,。更進一步,，在通常的算術(shù)中，5/1和7/1就像整數(shù)5和7一樣,，在我們的新算術(shù)中,，將5/1和7/1作為分數(shù)求和，我們得到的是12/2，而不是12/1,。

這些可以稱之為棒球算術(shù)的例子確實說明可以引進與以前我們熟悉的運算不同的運算,，這樣就創(chuàng)造了一個實用的算術(shù)。事實上也確實存在許多其他的算術(shù),，然而,，一個真正的數(shù)學(xué)家絕不會憑一時的興致去發(fā)明一種代數(shù)。一種代數(shù)總是為了表示一類物理世界的現(xiàn)象而創(chuàng)造的,，正像我們上面的分數(shù)加法適用于兩次擊球平均率的合成,。我們可以通過定義適合于這類物理現(xiàn)象的運算很方便地對物理世界發(fā)生的事情進行研究。只有經(jīng)驗?zāi)芨嬖V我們普通的算術(shù)何處可應(yīng)用于給定的物理現(xiàn)象,，這樣就不能說算術(shù)是一定適用于物理現(xiàn)象的一個真理體系,。當(dāng)然，由于代數(shù)和分析是算術(shù)的延伸,，它們也不是真理體系,。

因此，數(shù)學(xué)家們只能得出這個令人沮喪的結(jié)論：數(shù)學(xué)中沒有真理,，即作為現(xiàn)實世界普適法則意義上的真理,。算術(shù)和幾何基本結(jié)構(gòu)的公理是受經(jīng)驗啟發(fā)得出的，因而這些結(jié)構(gòu)的適用性是有限的,，它們在哪里是適用的只能由經(jīng)驗來決定,。希臘人試圖從幾條自明的真理出發(fā)和僅僅使用演繹的證明方法來保證數(shù)學(xué)的真實性被證明是徒勞的。

對許多富有思想的數(shù)學(xué)家來說,，數(shù)學(xué)不是一個真理體系這一事實實在是難以接受,。似乎上帝想用多種幾何和代數(shù)來使他們困惑，正如他曾用不同的語言困惑了建筑巴別塔的人們那樣,。因此他們拒絕接受這些新的發(fā)明,。

哈密爾頓毫無疑問是一位杰出的數(shù)學(xué)家，在1837年他表達了他對非歐幾何的不滿：

沒有哪一個坦白的,、有智力的人會懷疑兩千年前歐幾里得在他的《幾何原本》中提出的平行線的

主要性質(zhì),，盡管他可能會希望看到它們以更明確更好的方式來敘述。這些性質(zhì)中沒有任何令人費解或含混不清之處,，沒有任何你可以懷疑的地方,，雖然可以經(jīng)常動動腦筋改進它們的表達方式。

凱萊在1883年就任英國科學(xué)促進協(xié)會主席的演說詞中強調(diào)：

我本人的觀點是歐幾里得的第十二公理（通常稱之第五公理或平行公理）的普萊費爾形式不需要證明,，它是我們的空間概念的一部分,。這里指的是我們經(jīng)驗中的物理空間——我們通過經(jīng)驗來了解這個空間。但它的表示是建立在所有外部經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的……注意到歐氏空間長期以來一直被當(dāng)作是我們經(jīng)驗的物理空間,，所以幾何學(xué)的命題對于歐氏空間不僅僅是近似的真實的,，而且是絕對真實的。

F·克萊因（Felix Klein），近代的一個真正偉大的數(shù)學(xué)家,，表達了差不多是同樣的觀點,。盡管凱萊和F·克萊因本人都從事過非歐幾何工作，他們卻把非歐幾何看作是在歐氏幾何中引入人為的新的距離函數(shù)時產(chǎn)生的奇異結(jié)果,。他們拒絕承認非歐幾何和歐氏幾何一樣基本和實用,，他們的立場在相對論時代以前看來還是無懈可擊的。

羅素也相信數(shù)學(xué)的真實性,，盡管他在某種程度上限制了這種真實性,。上個世紀90年代他提出了這樣的問題：空間的哪些性質(zhì)對經(jīng)驗是必需的，而且是由經(jīng)驗假定了的,。也就是說,，如果在這些先驗性質(zhì)中有任何一條被否定，那么經(jīng)驗就變得毫無意義了,。他在《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的隨筆》（1897年）中,，贊同歐氏幾何不是一門先驗知識這一見解。他斷言,，就一切幾何學(xué)來說,，倒不如認為射影幾何是先驗的。這個結(jié)論在1900年前后,，從射影幾何的重要性的觀點來看,，是可以理解的。然后他就把歐氏幾何和一切非歐幾何所共有的公理,，當(dāng)作先驗的東西添加到射影幾何中去，加進去的那些東西（空間的齊次性,，維數(shù)的有窮性以及距離的概念）使得度量成為可能,。羅素還指出，定性的考慮必須在定量考慮之前,，而這一觀點加強了射影幾何的先驗性,。

至于說到度量幾何，即歐氏幾何和幾種非歐幾何,，它們可以由射影幾何通過引入某個特定的度量概念而導(dǎo)出,，這一事實羅素認為只不過是一種技術(shù)上的成就而沒有什么哲學(xué)意義。無論如何,，它們持有的那些特殊定理并不是先驗的,。在對待這幾種基本的度量幾何上，羅素不同于凱萊和克萊因,。他認為它們都處于同等的邏輯地位,，因為具備上面那些性質(zhì)的度量空間只有歐氏空間、雙曲空間的和單、雙橢圓空間,，所以羅素認為所有可能的度量空間只有這幾種,，而歐氏空間則當(dāng)然是僅有的確實可用的空間，其他那些空間在證明可能存在別的幾何學(xué)時,，有其哲學(xué)上的重要性?，F(xiàn)在我們回過頭來看，可以說羅素?zé)o非是用一種射影癖代替了歐幾里得癖,。羅素多年以后承認,，他的《隨筆》是他年輕時代的一部著作，其觀點是無法站得住腳的,。然而我們后面將會看到,，他和其他人為了建立算術(shù)的真實性而確立了一個新的基礎(chǔ)（見第十章）。

數(shù)學(xué)家對某種基礎(chǔ)的真理的執(zhí)著探索是可以理解的,。多少世紀以來,，用數(shù)學(xué)去描述和預(yù)測物理現(xiàn)象一直取得輝煌的成功，這使得任何人,，尤其是那些被他們自己的發(fā)明陶醉得飄飄然的人來說,，要他們接受“數(shù)學(xué)并不是一堆天然的鉆石，而不過是人工寶石”這一事實的確是很難的,。然而數(shù)學(xué)家們還是逐漸開始承認,，數(shù)學(xué)公理和定理并不一定是物理世界的真理。某些領(lǐng)域的經(jīng)驗啟發(fā)特定的公理,，在這些領(lǐng)域,，這些公理及其邏輯結(jié)果能夠非常精確地作有價值的描述。但是,，一旦這一領(lǐng)域擴展了,，這種適用性就可能會失去。就對物理世界的研究而言,，算術(shù)僅僅提供了理論或者模型,，而當(dāng)經(jīng)驗或?qū)嵺`證明一種新的理論能比舊理論提供更加一致的描述時，新的數(shù)學(xué)理論就取代了舊的理論,。1921年愛因斯坦給出了關(guān)于數(shù)學(xué)與物理世界的關(guān)系的精采的敘述：

只要數(shù)學(xué)的命題是涉及實在的,，它們就不是可靠的；只要它們是可靠的,，它們就不涉及實在,。……但是,，另一方面,，作為一般情況的數(shù)學(xué)和作為特殊情況中的幾何,，它們的存在是由于我們需要了解真實客體的一些性質(zhì)。

既然數(shù)學(xué)家們已經(jīng)放棄了上帝,，他們就應(yīng)該相信人,，而這正是他們所做的。他們繼續(xù)發(fā)展數(shù)學(xué)和探索自然法則,，他們知道自己所闡明的并非是上帝的設(shè)計而是人的工作,。昔日的成功使他們對正在進行的工作充滿信心，而且幸運之神總是欣然來到,。使數(shù)學(xué)永遠充滿活力的靈丹妙藥是它自己調(diào)配的——在天體力學(xué),、聲學(xué)、流體力學(xué),、光學(xué),、電磁理論和工程中取得的巨大成就，以及其預(yù)言的難以置信的準確程度,，一定有某種原始的也許是魔力蘊含其中,，才能使得一門學(xué)科盡管是在戰(zhàn)無不勝的真理之旗下發(fā)展，還是憑著它內(nèi)在的神奇力量確實達到了自己輝煌的頂點（見第十五章）,。于是,，數(shù)學(xué)的發(fā)明和在科學(xué)中的應(yīng)用得以更快的步伐前進。

數(shù)學(xué)并不是一個真理體系這一認識確實振聾發(fā)聵,。讓我們首先看一個數(shù)學(xué)作用于科學(xué)的結(jié)果,。從伽利略時代開始，科學(xué)家們就認識到,，科學(xué)中的基本原理與數(shù)學(xué)原理相反,，必須來源于實踐。盡管兩個多世紀的時間里他們相信他們所發(fā)現(xiàn)的是自然界的設(shè)計之中所固有的,，但是到了19世紀初他們認識到科學(xué)定理并不是真理,，甚至數(shù)學(xué)的原理也是來源于經(jīng)驗而且并不能肯定它們的真實性。這一認識使科學(xué)家們意識到只要他們使用數(shù)學(xué)的公理和定理,，他們的理論就更加脆弱。自然法則是人的創(chuàng)造物,，是我們,，而不是上帝，才是宇宙的法則制定者,。自然法則是人的描述而不是上帝的命令,。