一,、計數(shù)與計數(shù)法
　 “數(shù)”的概念萌發(fā)于早期人類對事物的計數(shù),，結(jié)繩與書契可能是所有早期文明中最主要的計數(shù)方法.中國古書《周易?系辭下傳》載稱: “上古結(jié)繩而治,后世圣人易之以書契”。關(guān)于結(jié)繩記事方法,，鄭康成(127-200)注釋稱: “事大,，大結(jié)其繩；事小,，小結(jié)其繩,。結(jié)之多少，隨物眾寡,?！狈▏鴮W者白爾蒂尤在其《人類學》中曾經(jīng)描述了美洲秘魯和亞洲琉球的土著民族的結(jié)繩方法。秘魯土著人以條索編織成繩,。于其上結(jié)結(jié)為標,，表示備忘之意。
書契或稱木刻,，即刻木為符,，以志事。原在沒有文字的時代用于記數(shù),，后廣為契約等多種用途,。世界各地很多土著民族至今仍在使用結(jié)繩與書契。
　　隨著文字的出現(xiàn),，人類開始用一些文字符號按照一定的規(guī)則表記數(shù)字,，這些規(guī)則就是進位制和符號布列方式,，它們是記數(shù)法的要素。在世界各地文明中,，形成了各自獨特的數(shù)字符號體系和記數(shù)方法,例如：簡單分群數(shù)系、乘法分群數(shù)系,、字碼數(shù)系,、定位數(shù)系（位值制）等。我們今天通常使用的記數(shù)方式就是10進制定位系統(tǒng),，與其它記數(shù)方法相比,，它在計算上有明顯的優(yōu)勢，被譽為人類社會進步的基礎(chǔ),。

　　二,、分數(shù)與小數(shù)的歷史
　　分數(shù)的產(chǎn)生與人類早期社會的分配以及交易活動有關(guān)，原始社會的分配情況與分數(shù)使用情況,，因未留下文字性資料,，我們只能作出一些猜測。各民族的早期文獻中均可以見到有關(guān)分數(shù)的文字記錄,。如在我國的甲骨文和金文資料中,，可以找到“分”、“半”等與分數(shù)有關(guān)的文字,。
　　到了西漢時期,，數(shù)學專著《算數(shù)書》與《九章算術(shù)》還給出了分數(shù)的定義:實如法而一，不滿法者,，以法命之,。同時還給出了分數(shù)的運算法則，如“合分術(shù)”“課分術(shù)”“齊同術(shù)”“約分術(shù)”“減分術(shù)”“乘分術(shù)”“經(jīng)分術(shù)”“通分術(shù)”“通其率術(shù)”等,。
巴比倫人也很早就使用分數(shù),。如在《罕漠拉比法典》和其它文獻中就出現(xiàn)了“二分之一”“三分之一”“三分之二”“六分之一”等。
　　小數(shù)的歷史也源遠流長,，但是它作為科學的表示法正式登場還是很晚的事,。它的產(chǎn)生與古代度量衡的使用有關(guān)?？梢哉f在度量衡產(chǎn)生的同時,，就蘊涵著小數(shù)的出現(xiàn)。
在中國傳統(tǒng)數(shù)學中,，首先規(guī)定了10進,、10000進的大數(shù)與小數(shù)名稱。中國古代的數(shù)就是通過這些大數(shù)和小數(shù)來表示的,，雖然沒有引用小數(shù)點,，但是如果規(guī)定某一單位為整數(shù)第一位,。則它們的表示效果與我們今天的小數(shù)表示法是一樣的。
　　15世紀,，中亞西亞的阿爾卡西通過將整數(shù)與小數(shù)以空位隔開的方式表示一個數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分,。1617年蘇格蘭數(shù)學家納皮爾開始使用小數(shù)點的符號，這種記法被沿用至今,。

　　三,、無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)
　　希臘文明是人類文化史上最光輝的一頁。大約在公元前1200年至公元前1000年間,，希臘部落愛奧尼亞人遷徙到包括愛琴海東部諸島嶼在內(nèi)的小亞細亞西部地方,。由于海上交通的方便，使得它容易接受巴比倫,、埃及等古代的先進文化,，最終形成了后來影響歐洲乃至整個世界的燦爛文化。
　　希臘文明最為突出的是其具有高度的理性化與抽象化,，在希臘學術(shù)傳統(tǒng)中,，哲學、幾何學,、藝術(shù)和邏輯學的成就最高,。
　　畢達哥拉斯(約前560年-約前480年)學派是繼以泰勒斯為代表的愛奧尼亞學派之后，希臘第二個重要學派,，它延續(xù)了兩個世紀,，在希臘有很大的影響。它有著帶有濃厚宗教色彩的嚴密組織,，屬于唯心主義學派,。他們相信依靠數(shù)學可使靈魂升華，與上帝融為一體,，從而數(shù)學是其教義的一部分,。他們在數(shù)學上最大的貢獻是證明了直角三角形三邊關(guān)系的勾股定理，故西方稱之為畢達哥拉斯定理,。
　　畢達哥拉斯學派的信條是,，世界萬物都是可以用數(shù)來表示的。他們所稱的數(shù)就是自然數(shù)和分數(shù),。實際上分數(shù)也是自然數(shù)的結(jié)果,。他們將這種數(shù)的理論應用于幾何，認為,，對于任何兩條線段,，總可找到一條同時量盡它們的單位線段，并稱此兩線段為可公度的,。這種可公度性等價于“任何兩條線段之比為有理數(shù)”,。他們在幾何推理中總是使用這條可公度性假定,。
公元前4世紀，畢達哥拉斯學派的信徒希帕索斯發(fā)現(xiàn)存在某些線段之間是不可公度的,，例如正方形的邊長與其對角線之間就是不可公度,。根據(jù)畢達哥拉斯定理容易發(fā)現(xiàn)，它們之比并非是自然數(shù)之比,。據(jù)說,，由于希帕索斯的這一發(fā)現(xiàn)，觸犯了畢達哥拉斯學派的信條而被視為異端,，為此他被其同伴拋進大海。
　　盡管希帕索斯的不可公度觀念未被希臘人所接受,。但由此而引發(fā)了數(shù)學史上的第一次數(shù)學危機,，它對古希臘的數(shù)學觀點有著極大的沖擊，整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn),。于是幾何開始在希臘數(shù)學中占有特殊地位,，同時，人們開始不得不懷疑直覺和經(jīng)驗的可靠性,，從此希臘幾何開始走向公理化的演繹形式,。
　　中國傳統(tǒng)數(shù)學中的無理數(shù)產(chǎn)生于開方不盡和圓周率的計算。不過由于中國古算與古希臘數(shù)學有著不同的傳統(tǒng),，希臘人總是將數(shù)與形截然分開,，對涉及無限的問題總是持有恐懼的態(tài)度。中國算學中數(shù)與形是有機統(tǒng)一的,，中國人自始至終對關(guān)于無限的問題總是泰然處之,，能夠正視無理數(shù)。
　　四,、負數(shù)的引入
　　在現(xiàn)今的中學數(shù)學教材中,，負數(shù)概念是伴隨有理數(shù)概念的教學而出現(xiàn)的。其實歷史上負數(shù)概念及其運算法則的形成,，遠早于有理數(shù),、無理數(shù)概念。其概念的產(chǎn)生有著深刻的社會背景,，與早期的經(jīng)濟活動有關(guān),。早在秦漢時期的漢簡中，我們就可以發(fā)現(xiàn)很多有關(guān)“少”與“負算”的記帳方式,?！八恪笔菨h代賦稅的單位名稱，在統(tǒng)計邊疆戌卒家屬的口糧時,，計算結(jié)果出現(xiàn)不足便記作“少若干”或“負若干算”,?！柏摗笔侨鄙佟⑻澢返囊馑?，與“得”相反,，它們?yōu)檎摂?shù)概念的形成作了準備。
　　最初提出負數(shù)概念的是大約于西漢末年成書的我國傳統(tǒng)數(shù)學經(jīng)典著作《九章算術(shù)》,。該書由方田,、粟米、衰分,、少廣,、商功、均輸,、盈不足,、方程、勾股等九章共246道數(shù)學問題構(gòu)成,，同類數(shù)學問題或同類解法為一章,，其中第八章“方程”屬于線性方程組求解問題。（這里的“方程”與我們今天數(shù)學中的“方程”概念不完全一致,，今天的“方程”一詞,，是清代數(shù)學家李善蘭于1859年與英國傳教士偉烈亞力合譯西方微積分教材《代微積拾級》時，借用中國古代“方程”術(shù)語作為西方Equation的譯語）,?！毒耪滤阈g(shù)》的方程術(shù)實際是線性方程組求解的矩陣算法，通過“遍乘直減”的列變換,，化成階梯形矩陣而獲得結(jié)果,。為了解決“遍乘直減”過程中的不足減的矛盾，才引入負數(shù)概念,，以使“遍乘直減”的機械程序可以順利的進行下去,。三國時代的數(shù)學家劉徽注釋道:“今兩算得失相反，要令正負以名之,。正算赤,，負算黑，否則以邪正為異,?！币馑际钦f。正算與負算是相反意義的量,。運算時,，“加正等于減負，減正等于加負”，分別用紅籌和黑籌,，或者用正籌和邪籌來表示正負數(shù),。

　　五、復數(shù)的產(chǎn)生
　　從古代起,，人們便能夠解二次甚至某些高次方程,，然而一個最其貌不揚的二次方程x2+1=0卻使得數(shù)學家狼狽不堪。難道存在平方為－1的數(shù)嗎,？經(jīng)過長期的猶豫,，徘徊，到了16世紀,，一些勇敢的數(shù)學家作出了大膽選擇：引進虛數(shù)單位,，并從而建立了一個復數(shù)系。
　　當然,，也有不少人試圖建立復數(shù)及其運算的幾何意義,。但開始真正領(lǐng)悟到復數(shù)與平面上點之間的關(guān)系的是挪威人維塞爾、瑞士人阿甘德以及偉大的高斯,。1797年,，維塞爾在坐標平面上引入虛軸,，以實軸和虛軸所確定的平面向量表示復數(shù),，并且還用幾何術(shù)語定義了復數(shù)和向量的運算。1806年阿甘德將復數(shù)表示成三角形式,，并且把它與平面上線段的旋轉(zhuǎn)聯(lián)系起來,。高斯在證明代數(shù)基本定理時，應用了復數(shù),，還創(chuàng)立了高斯平面,，從而在復數(shù)與復平面上建立了一一對應，并首次引入“復數(shù)”這一名稱,。這些人的工作主要是建立了復數(shù)的直觀基礎(chǔ),。
　　到了18世紀，復數(shù)理論已經(jīng)比較成熟,，人們很自然的想到了這樣的問題：復數(shù)系還可能進行擴張嗎,？是否可以找到一個可以真包含復數(shù)系的“數(shù)系”，它們承襲了復數(shù)系的運算和運算率,？也就是說,，我們能否進一步構(gòu)造一個包含復數(shù)系的新的數(shù)系，且使原來的運算性質(zhì)全部保留下來,？一個很自然的想法是考察一元復系數(shù)高次方程的解,，如果我們能夠找到一個復系數(shù)方程，它在復數(shù)范圍內(nèi)沒有解，就有可能得到一個復數(shù)系的擴張系,。
　　但18世紀末高斯所證明的“代數(shù)基本定理”（即任意n次復系數(shù)方程至少有一個復數(shù)根）明確無誤的宣告了“此路不通”,。于是不屈不撓的數(shù)學家們不得不尋求新的途徑。由于復數(shù)面上的點和復數(shù)的一一對應關(guān)系,，故任意復數(shù)都可以表示為一有序?qū)崝?shù)對兒,，實數(shù)可以看作序?qū)Γ╝,0），因此有人把復數(shù)叫做“二元數(shù)”,。那么尋求新數(shù)系的一個自然途徑便是設(shè)法建立“三元數(shù)系”,，“三元數(shù)系”應當承襲復數(shù)系的運算和運算率，復數(shù)系可以看作是三元數(shù)系的子數(shù)系,。
　　然而,，數(shù)學家的辛勤努力并未給他們帶來預期的成果。數(shù)以千計的失敗經(jīng)歷給他們帶來了意外的收獲：他們終于敢于設(shè)想,，三元數(shù)系可能是不存在的,；同時，為了建立新的“多元數(shù)系”,，可能不得不放棄某些運算性質(zhì),。
　　新的多元數(shù)系的——四元數(shù)系——的發(fā)現(xiàn)者是英國數(shù)學家哈密爾頓。他最初也設(shè)法尋找滿足乘法交換率的三元數(shù),。經(jīng)過數(shù)十個寒暑,，靈感終于照亮了他，這是在1843年10月16日,，當時他剛好散步走過勃洛翰橋,，頭腦中正試圖尋找三維空間復數(shù)的類似物，他突然發(fā)現(xiàn)自己被迫要做兩個讓步：第一,，他的新數(shù)要包含四個分量,；第二，他必須犧牲乘法交換率,。這兩個特點都是對傳統(tǒng)數(shù)系的革命,。他當場抽出筆記本，記下了這一劃時代的結(jié)果,。為紀念四元數(shù)的發(fā)明者哈密爾頓,，四元數(shù)也被稱為哈密爾頓四元數(shù)?！八脑獢?shù)”的出現(xiàn)昭示著傳統(tǒng)觀念下數(shù)系擴張的結(jié)束,。
　　但四元數(shù)的發(fā)明，其意義遠不止獲得了新的數(shù)系,。它使數(shù)學家們認識到既然可以拋棄實數(shù)和復數(shù)的交換性去構(gòu)造一個有意義,、有作用的新“數(shù)系”，那么就可以較為自由地考慮甚至偏離實數(shù)和復數(shù)的通常性質(zhì)去開拓新的數(shù)學領(lǐng)域。這樣,，數(shù)系的擴張雖然就此終止,，但是，通向抽象代數(shù)的大門被打開了,。

　　六,、代數(shù)數(shù)與超越數(shù)
　　如前所述，早在古希臘時期,，無理數(shù)便引起了科學家的注意,，但是不少人不敢正視它的存在，甚至對它諱莫如深,。即使為了避免困境而不得不正視它時,，也只是把它視為一種幾何上的存在，而不承認它是數(shù),。例如,，畢達哥拉斯甚至能夠證明的無理性，但是他仍然堅持認為有理數(shù)才是數(shù),。
　　隨著社會的發(fā)展,，無理數(shù)終于獲得了作為“數(shù)”的權(quán)利。然而有許多數(shù),，其無理性在很長時間內(nèi)都無法證明,，那么，無理數(shù)之間是否有區(qū)別呢,？長期以來,，無理數(shù)似乎始終處于一片混沌之中,。到了18世紀,，才有人證明它們的無理性,。
　　到了19世紀，問題獲得了人們意料之外的進展,，其原因卻是因為想證明費爾瑪(Fermat)大定理（即對于n3，方程xⁿ+yⁿ=zⁿ不存在正整數(shù)解）,。許多大數(shù)學家都想在這一問題上一試身手,，并且各自獨立地得到了不少結(jié)果。19世紀中葉,，庫默爾(Kummer)通過建立所謂“理想數(shù)”理論而獲得了豐富成果,。戴笛金(Dedekind)注意到了他的理論，并加以發(fā)展,，從而建立了所謂現(xiàn)代代數(shù)數(shù)論,。
　　定義：一個數(shù) ，若它是有理數(shù)系數(shù)方程a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n=0的根，且不是次數(shù)小于n的有理數(shù)系數(shù)方程的根,，則稱為n次代數(shù)數(shù),。
若 可以滿足一個首項系數(shù)為1的有理整系數(shù)方程，則叫做一個代數(shù)整數(shù),。
非代數(shù)數(shù)被稱為超越數(shù),。
　　是否存在超越數(shù)呢？數(shù)學家們從兩個方面來討論這個問題,。一個是看一看實的代數(shù)數(shù)是否能夠“填滿”整個數(shù)軸,，其結(jié)果大大出乎人們意料之外，原來,，幾乎“所有”的實數(shù)都是超越數(shù)?。▽崝?shù)集是不可數(shù)的，而代數(shù)數(shù)集是可數(shù)的）這是一種純粹的“存在性”證明方法,。
另一條途徑是直接證明一些數(shù),，如e,π等的超越性，然而這也是荊棘叢生的“羊腸小路”,。1873年愛爾米特(Hermite)證明了e的超越性,，1882年林德曼(Lindermann)證明了π的超越性。
　　但是,，有一些看來頗為“平凡”的數(shù)卻使數(shù)學家們束手無策,。著名的希爾波特第七問題就是一個關(guān)于某些數(shù)的超越性問題：證明為超越數(shù)，其中≠0,1,是一個代數(shù)數(shù),，β是無理代數(shù)數(shù),。
　　1929年，蘇聯(lián)數(shù)學家蓋爾馮特證明了β為虛2次無理數(shù)的結(jié)果,。1930年,，庫茲明和西格爾把蓋爾馮特的方法推廣到實二次型的情況。蓋爾馮特和施奈德分別獨立地于1934年和1953年完全解決了第七問題,。

　　七,、數(shù)系擴張的原則
　　回顧數(shù)系擴張的歷史我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著數(shù)系的擴張,，數(shù)域在不斷擴大：
　　自然數(shù)集→整數(shù)集→有理數(shù)集→實數(shù)集→復數(shù)集
而數(shù)域的每一次擴張,，都遵循以下幾個原則：
　　1、引入新數(shù)a及其數(shù)集W,，與原數(shù)集S一起構(gòu)成新的數(shù)集G=W∪S,；
　　2、原數(shù)集S對某種運算“⊕”不封閉,，新數(shù)集W的引入,，解決了對運算“⊕”的封閉性問題,，即G對運算“⊕”封閉；
　　3,、原數(shù)集S內(nèi)定義的運算及其法則,，在新數(shù)集G中仍適用。

　　討論與思考：
　　1,、你認為影響數(shù)學發(fā)展的因素有哪些,？
　　2、結(jié)合“數(shù)系擴充的歷史”談一談你對“數(shù)學科學與人類社會發(fā)展之間的關(guān)系”的理解,。