|
易錯點1 對空間幾何體的結(jié)構(gòu)認(rèn)識不準(zhǔn)確致錯 例1 有一種骰子，每一面上都有一個英文字母,，如圖是從3個不同的角度看同一粒骰子的情形,，請畫出骰子的一個側(cè)面展開圖，并根據(jù)展開圖說明字母H對面的字母是 . 【錯解】P 【錯因分析】空間想象能力差而亂猜一氣,，實際上可以動手制作模型,，通過折疊得出答案. 【試題解析】將原正方體外面朝上展開，得其表面字母的排列如圖所示,，易得H對面的字母是O. 【參考答案】O 易錯點擊 1．對于平面圖形折疊或空間圖形展開的問題,，空間想象能力是解題的關(guān)鍵，正確識圖才能有效折疊平面圖形,、展開空間圖形.而對于簡單幾何體的展開圖,，可以通過制作模型來解答. 2．關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征問題的注意事項： (1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線,、面等基本元素,，然后再依據(jù)題意判定． (2)通過舉反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的,，只要舉出一個反例即可. 易錯點2 不能正確畫出三視圖或還原幾何體而致錯 例2 一個幾何體的三視圖如圖所示,，則該幾何體的直觀圖可以是 【錯解】A或B或C 【錯因分析】選A，俯視圖判斷出錯,，從俯視圖看,，幾何體的上、下部分都是旋轉(zhuǎn)體,； 選B,，下部分幾何體判斷出錯，誤把旋轉(zhuǎn)體當(dāng)多面體； 選C,，上部分幾何體判斷出錯,，誤把旋轉(zhuǎn)體當(dāng)多面體. 【試題解析】由三視圖可知幾何體上部是一個圓臺，下部是一個圓柱,，選D. 【參考答案】D 易錯點擊 1．當(dāng)已知三視圖去還原成幾何體時,，要充分關(guān)注圖形中關(guān)鍵點的投影，先從俯視圖來確定是多面體還是旋轉(zhuǎn)體,，再從正視圖和側(cè)視圖想象出幾何體的大致形狀,，然后通過已知的三視圖驗證幾何體的正確性，最后檢查輪廓線的實虛． 2．三視圖問題的常見類型及解題策略： (1)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱,、錐,、臺,、球的三視圖,，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖． (2)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意正視圖,、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向,，注意看到的部分用實線，不能看到的部分用虛線表示． (3)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先根據(jù)已知的一部分三視圖,，還原,、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題,，也可將選項逐項代入,，再看看給出的部分三視圖是否符合. 易錯點3 空間幾何體的直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系 例3 如圖是水平放置的平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的面積為 易錯點擊 易錯點4 空間幾何體的表面積或體積計算不全致錯 【錯解】B或C或D 【錯因分析】由三視圖可知原幾何體應(yīng)該是一個正方體截取兩個全等的小正三棱錐,，B項計算三角形面積時出錯,；截取小正三棱錐，即除去了六個全等的等腰直角三角形,，但C項忽略了幾何體多了兩個等邊三角形面,；由三視圖可知原幾何體應(yīng)該是一個正方體截取兩個全等的小正三棱錐的組合體，D項計算三角形面積時出錯,，且計算時還少加了三棱錐的底面. 【參考答案】A 易錯點擊 1．柱體,、錐體、臺體的表面積 （1）已知幾何體的三視圖求其表面積,，一般是先根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀,，再根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)與幾何體的表面積公式，求其表面積． （2）多面體的表面積是各個面的面積之和,，組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理,，以確保不重復(fù)、不遺漏. （3）求多面體的側(cè)面積時,，應(yīng)對每一個側(cè)面分別求解后再相加,；求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時,，一般要將旋轉(zhuǎn)體展開為平面圖形后再求面積. 2．柱體、錐體,、臺體的體積 空間幾何體的體積是每年高考的熱點之一,，題型既有選擇題、填空題,，也有解答題,，難度較小，屬容易題. 求柱體,、錐體,、臺體體積的一般方法有： （1）若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體,，則可直接利用公式進行求解． （2）若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,，則常用等體積法、割補法等方法進行求解． （3）若以三視圖的形式給出幾何體,，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖,，然后根據(jù)條件求解. 特別提醒 ①等體積法： 一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．如果一個幾何體的底面面積和高較難求解時,，我們可以采用等體積法進行求解．等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形,，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積,，特別是三棱錐的體積. ②割補法： 運用割補法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計算問題,，關(guān)鍵是能根據(jù)幾何體中的線面關(guān)系合理選擇截面進行切割或者補成規(guī)則的幾何體.要弄清切割后或補形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的確定關(guān)系，如果是由幾個規(guī)則的幾何體堆積而成的,，其體積就等于這幾個規(guī)則的幾何體的體積之和,；如果是由一個規(guī)則的幾何體挖去幾個規(guī)則的幾何體而形成的，其體積就等于這個規(guī)則的幾何體的體積減去被挖去的幾個幾何體的體積．因此,，從一定意義上說,，用割補法求幾何體的體積，就是求體積的“加,、減”法． 易錯點5 問題考慮不全面致錯 例5 已知半徑為10的球的兩個平行截面圓的周長分別是12π和16π,，則這兩個截面圓間的距離為. 【錯因分析】錯解中由于對球的結(jié)構(gòu)把握不準(zhǔn)，考慮問題不全面而導(dǎo)致錯誤.事實上,，兩個平行截面既可以在球心的同側(cè),，也可以在球心的兩側(cè). 【參考答案】2或14 易錯點擊 1．球的有關(guān)問題 （1）確定一個球的條件是球心和球的半徑，已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積,；反之,，已知球的體積或表面積也可以求其半徑. （2）球與幾種特殊幾何體的關(guān)系： ①長方體內(nèi)接于球，則球的直徑是長方體的體對角線長； ②正四面體的外接球與內(nèi)切球的球心重合,，且半徑之比為3∶1,； ③直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圓柱，圓柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特別地,，直三棱柱的外接球的球心是上,、下底面三角形外心連線的中點； ④球與圓柱的底面和側(cè)面均相切,，則球的直徑等于圓柱的高,，也等于圓柱底面圓的直徑； ⑤球與圓臺的底面和側(cè)面均相切,，則球的直徑等于圓臺的高． （3）與球有關(guān)的實際應(yīng)用題一般涉及水的容積問題,，解題的關(guān)鍵是明確球的體積與水的容積之間的關(guān)系，正確建立等量關(guān)系. 2．求解空間幾何體表面積和體積的最值問題有兩個思路： 一是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和體積,、表面積的計算公式,，將體積或表面積的最值轉(zhuǎn)化為平面圖形中的有關(guān)最值，根據(jù)平面圖形的有關(guān)結(jié)論直接進行判斷,； 二是利用基本不等式或是建立關(guān)于表面積和體積的函數(shù)關(guān)系式,，然后利用函數(shù)的方法或者利用導(dǎo)數(shù)方法解決. 易錯點6 應(yīng)用公理或其推論時出錯 例6 已知A,，B,，C，D,，E五點中,，A，B,，C,，D共面，B,，C,，D，E共面,，則A,，B，C,，D,，E五點一定共面嗎？ 【錯解】A,，B,，C，D，E五點一定共面. 因為A,，B,，C，D共面,，所以點A在B,，C，D所確定的平面內(nèi),， 因為B,，C，D,，E共面,，所以點E也在B，C,，D所確定的平面內(nèi),， 所以點A，E都在B,，C,，D所確定的平面內(nèi)，即A,，B,，C，D,，E五點一定共面. 【錯因分析】錯解忽略了公理2中“不在一條直線上的三點”這個重要條件.實際上B,，C，D三點有可能共線. （2）若B,，C,，D三點共線于l， 若A∈l,，E∈l,，則A，B,，C,，D，E五點一定共面,； 若A,，E中有且只有一個在l上，則A,，B,，C,，D，E五點一定共面,； 若A,，E都不在l上，則A,，B,，C，D,，E五點可能不共面. 易錯點擊 1．證明點共線問題,，就是證明三個或三個以上的點在同一條直線上，主要依據(jù)是公理3.常用方法有： ①首先找出兩個平面,，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點,，根據(jù)公理3知這些點都在這兩個平面的交線上； ②選擇其中兩點確定一條直線,，然后證明其他點也在這條直線上. 2．證明三線共點問題,，一般先證明待證的三條直線中的兩條相交于一點，再證明第三條直線也過該點.常結(jié)合公理3,，證明該點在不重合的兩個平面內(nèi),，故該點在它們的交線（第三條直線）上，從而證明三線共點. 3．證明點或線共面問題,，主要有兩種方法： ①首先由所給條件中的部分線（或點）確定一個平面,，然后再證其余的線（或點）在這個平面內(nèi)； ②將所有條件分為兩部分,，然后分別確定平面,，再證兩平面重合. 易錯點7 忽略空間角的范圍或不能正確找出空間角致誤
【錯解】120° 如圖,，連接BD，并取中點E,，連接EN,，EM，則EN∥BC,，ME∥AD,，故∠ENM為BC與MN所成的角,，∠MEN為BC與AD所成的角，∴∠ENM=30°.又由AD=BC,，知ME=EN,，∴∠EMN=∠ENM=30°，∴∠MEN=180°-30°-30°=120°,，即BC與AD所成的角為120°. 【錯因分析】在未判斷出∠MEN是銳角或直角還是鈍角之前,，不能斷定它就是兩異面直線所成的角，因為異面直線所成的角α的取值范圍是0°<α≤90°,，如果∠MEN為鈍角,，那么它的補角才是異面直線所成的角. 【試題解析】以上同錯解，求得∠MEN=120°,，即BC與AD所成的角為60°. 【參考答案】60° 易錯點擊 1．求異面直線所成的角的常見策略： （1）求異面直線所成的角常用平移法． 平移法有三種類型,，利用圖中已有的平行線平移，利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移,，利用補形平移． （2）求異面直線所成角的步驟 ①一作：即根據(jù)定義作平行線,，作出異面直線所成的角； ②二證：即證明作出的角是異面直線所成的角,； ③三求：解三角形,，求出作出的角． 如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角,；如果求出的角是鈍角,，則它的補角才是要求的角. （3）判定空間兩條直線是異面直線的方法 ①判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線． ②反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面,，從而可得兩線異面． 2．求直線與平面所成的角的方法： （1）求直線和平面所成角的步驟 ①尋找過斜線上一點與平面垂直的直線,； ②連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角,； ③把該角歸結(jié)在某個三角形中,，通過解三角形，求出該角．學(xué)科&網(wǎng) （2）求線面角的技巧 在上述步驟中,，其中作角是關(guān)鍵,，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù),，射影一般都是一些特殊的點,，比如中心、垂心,、重心等． |
|
|
