立體幾何復(fù)習(xí)：

1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖

2,、空間幾何體的表面積和體積

【知識(shí)梳理】

1,、構(gòu)成空間幾何體的基本元素

    點(diǎn)、線,、面是構(gòu)成幾何體的基本元素,，線有直線（段）和曲線（段）之分，面有平面（部分）和曲面（部分）之分．在立體幾何中,，平面是無限延展的．通常畫一個(gè)平行四邊形表示一個(gè)平面,，用希臘字母、,、,、命名，也可用表示它的平行四邊形的對角頂點(diǎn)的字母來命名,，如平面ABCD或平面AC等．

2,、棱柱、棱錐,、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

（1）多面體是由若干個(gè)平面多邊形所圍成的幾何體,，多邊形叫做多面體的面；相鄰兩面公共邊叫做多面體的棱,，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)．不共面兩頂點(diǎn)的連線叫做多面體的對角線,；

（2）棱柱：兩個(gè)面（底面）互相平行，其余每兩個(gè)相鄰面（側(cè)面）的交線（側(cè)棱）平行．

分類：

（3）棱錐：有一個(gè)面（底面）是多邊形,，其余各面（側(cè)面）都是有一個(gè)公共點(diǎn)（頂點(diǎn)）的三角形．

    分類：底面多邊形：三棱錐,、四棱錐、五棱錐……

    特別地,，正棱錐指底面為正多邊形,，水平放置時(shí)，頂點(diǎn)在底面投影為底面多邊形的中心,；

（4）棱臺(tái)：底面水平放置的棱錐被平行于底面的平面所截，截面（上底面）與圓錐底面（下底面）之間的部分．

    正棱臺(tái)：正棱錐截得的棱臺(tái)．

3,、圓柱,、圓錐、圓臺(tái),、球

球：空間中到一個(gè)定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合．

    大圓：球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓．

    小圓：球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓．

球面距離：經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度．

4,、平行投影與直觀圖

平行投影：（如圖），圖形F,，直線L與a相連,，過F上任一點(diǎn)M作直線平行FF'交平面于點(diǎn)，則稱為M在內(nèi)的關(guān)于直線L的平行投影．

平行投影性質(zhì)：（1）直線或線段的平行投影仍是直線或線段；

    （2）平行直線的平行投影是平行或重合的直線,；

    （3）平行于投射面的線段,，它的投影與這條線段平行且等長；

    （4）平行于投射面的平面圖形,，它的投影與這個(gè)圖形全等,；

    （5）在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比．

    直觀圖：用來表示空間圖形的平面圖形（斜二測畫法）．

5,、三視圖

（1）正投影：平行投影中,，投射線與投射面垂直．

    性質(zhì)：①垂直于投射面的直線或線段的正投影是點(diǎn)．               

    ②垂直于投射面的平面圖形的正投影是直線或直線的一部分．

（2）三視圖

  6、圓柱,、圓錐,、圓臺(tái)的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圖的面積，因此弄清側(cè)面展開圖的形狀及側(cè)面展開圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系,，是掌握它們的側(cè)面積公式及解有關(guān)問題的關(guān)鍵．

7,、圓柱、圓錐,、圓臺(tái)的表面積公式

見下表,，其中S表示面積，分別表示上,、下底面周長,，h表示高，r’和r分別表示上,、下底面的半徑,，l表示母線長。

  8,、棱柱或棱臺(tái)的表面積等于側(cè)面積與兩個(gè)底面積的和,，棱錐的表面積是側(cè)面積與一個(gè)底面積的面積的和．

    棱柱、棱錐和棱臺(tái)的面積公式：

見下表,，其中S表示面積,，c’、c分別表示上,、下底面周長,，h表示高度，h’表示斜高,，l表示側(cè)棱長,。

9、棱柱,、棱錐,、棱臺(tái)的體積公式

其中,，、是底面積,，h是高,。

  10、圓柱,、圓錐,、圓臺(tái)的體積公式

其中，,、r’是底面半徑,，h是高。

    熟練掌握柱,、錐,、臺(tái)體積公式及其內(nèi)在聯(lián)系是達(dá)到準(zhǔn)確計(jì)算的關(guān)鍵。

半徑為R的球的表面積,，體積．

【典型例題】

  例1. 下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題：

①若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面,，則該四棱柱為直四棱柱；

②若過兩個(gè)相對側(cè)棱的截面都垂直于底面,，則該四棱柱為直四棱柱；

③若四個(gè)側(cè)面兩兩全等,，則該四棱柱為直四棱柱,；

④若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱,。

其中,，真命題的編號(hào)是___________。（寫出所有真命題的編號(hào)）

點(diǎn)撥：根據(jù)學(xué)過的幾何體結(jié)構(gòu)特征,，亦可用反例法否定命題,。

解析：對于①，平行六面體的兩個(gè)相對側(cè)面也可能與底面垂直且相互平行,，故①假,；對于②，兩截面的交線平行于側(cè)棱,，且垂直于底面,，故②真；對于③,，作正四棱柱的兩個(gè)平行菱形截面，可得滿足條件的斜四棱柱（如圖）,，故③假,；對于④,，四棱柱一個(gè)對角面的兩條對角線，恰為四棱柱的對角線,，故對角面為矩形,，于是側(cè)棱垂直于底面的一對角線，同樣側(cè)棱也垂直于底面的另一對角線,，故側(cè)棱垂直于底面,，故④真。（如圖）

答案：②④

  例2. 如圖,，正四棱臺(tái)的高是17cm,，兩底面邊長分別為4cm和16cm，求棱臺(tái)的側(cè)棱長和斜高,。

點(diǎn)撥：找到已知條件和正棱臺(tái)的特征——直角梯形,，轉(zhuǎn)化為平面幾何知識(shí)求解。

解析：設(shè)棱臺(tái)兩底面的中心分別為O’和O,，B’C’,，BC的中點(diǎn)分別為E’，E,，連結(jié),，

則均為直角梯形。

在正方形ABCD中,，,，

在正方形中，,，

則,，

在直角梯形中，

,；

在直角梯形中,，

這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長為19cm，斜高為,。

點(diǎn)評：正棱臺(tái)兩底面中心連線,，相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個(gè)直角梯形，兩底面中心邊線,，側(cè)棱與兩底面相應(yīng)半徑組成一個(gè)直角梯形,，對于棱柱相應(yīng)為矩形，棱錐相應(yīng)直角三角形．圓臺(tái)兩底面中心連線,，相應(yīng)底面半徑,、母線組成直角梯形，圓柱相應(yīng)為矩形,，圓錐相應(yīng)為直角三角形,，這些特征圖形在解題中經(jīng)常用到,，要能夠迅速、準(zhǔn)確地畫出．

  例3. 設(shè)地球半徑為R,，在北緯45°圈上有兩點(diǎn)A,、B，點(diǎn)A在西經(jīng)40°,，點(diǎn)B在東經(jīng)50°,，求A、B兩點(diǎn)間緯線圈的長度及A,、B兩點(diǎn)的球面距離,。

點(diǎn)撥：涉及到球的問題，多數(shù)為求解球面距離,，解此題須畫出準(zhǔn)確的圖示,，找到幾何要素間的關(guān)系。

解析：如圖,，設(shè)45°緯線圈中心為,，地球中心為O，則∠,，

垂直于圓所在平面,，

。

又在北緯45°圈上,，

,，

，

在中,，,，

為等邊三角形，

,，在45°緯線圈上,，

，

A,，B兩點(diǎn)球面距離為,。

  例4. 畫出幾何體的三視圖

點(diǎn)撥：按照三視圖畫法要求，按順序畫即可,。

解析：

  例5. 已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩底面邊長分別為30cm和20cm,，且其側(cè)面積等于兩底面面積之和，求棱臺(tái)的高,。

點(diǎn)撥：求棱臺(tái)的側(cè)面積要注意利用公式及正棱臺(tái)中的特征——直角梯形,，轉(zhuǎn)化為平面問題來求解所需幾何元素。

解析：如圖所示,，正三棱臺(tái)中為兩底面中心,，為BC和中點(diǎn),，則為棱臺(tái)的斜高。

設(shè),，則

，

由得

棱臺(tái)的高為,。

  例6. 在球心同側(cè)有相距9cm的兩個(gè)平行截面,，它們的面積分別為，求球的表面積,。

點(diǎn)撥：要求出球的表面積,，求出半徑即可，利用題中所給截面,，結(jié)合圖形和直角三角形中相關(guān)關(guān)系求出即可,。

解析：如圖，作出球的軸截面,，由截面性質(zhì)知

為兩截面圓的圓心,，且，設(shè)球的半徑為R

在中,，

                   ①

在中,，

             ②

聯(lián)立①②可得，

,，

故球的表面積為,。

  例7. 已知六棱錐，其中底面為正六邊形,，點(diǎn)P在底面投影為正六邊形中心,，底面邊長為2cm，側(cè)棱長為3cm,，求六棱錐的體積,。

點(diǎn)撥：由已知條件可以判斷六棱錐為正六棱錐，要求其體積,，求出高即可,。

解析：如圖，O為正六邊形中心,，則PO為六棱錐的高,，G為CD中點(diǎn)，則PG為六棱錐的斜高,，由已知得：,，則

即六棱錐。

  例8. 一種空心鋼球的質(zhì)量為142g,，外徑5.0cm,，求它的內(nèi)徑,。（鋼的密度為）

點(diǎn)撥：空心鋼球的質(zhì)量可看作一大一小兩球的質(zhì)量之差，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為它們的體積之差,，再作求解,。

解析：設(shè)空心鋼球內(nèi)徑為2x cm，那么鋼球的質(zhì)量為

空心鋼球的內(nèi)徑約為,。

【模擬試題】

  1. A,、B為球面上相異的兩點(diǎn)，通過A,、B兩點(diǎn)可作的大圓個(gè)數(shù)為（    ）

A. 只能作一個(gè)                          B. 可以作無數(shù)個(gè)

C. 一個(gè)沒有                              D. 一個(gè)或無數(shù)個(gè)

  2. 兩條不相交直線在一平面內(nèi)的平行投影為（    ）

A. 兩條相交直線                       B. 兩條平行直線

C. 一直線和一點(diǎn)                       D. 以上都有可能

  3. 邊長為12的正三角形的直觀圖的面積為（    ）

A.                B.                      C.                      D.

  4. 側(cè)棱長為1的正四棱錐,，若底面周長為4，則這個(gè)棱錐的側(cè)面積為（    ）

A. 5               B.                   C.                    D.

  5. 軸截面為正方形的圓柱側(cè)面積為S,，那么圓柱的體積為（    ）

A.                     B.               C.                      D.

  6. 體積為的圓臺(tái),，一個(gè)底面面積是另一個(gè)底面面積的9倍，那么截得這個(gè)圓臺(tái)的圓錐的體積為（    ）

A.                    B.            C.                    D.

  7. 若一個(gè)球的大圓面積擴(kuò)大為原來的2倍,，則它的體積擴(kuò)大為原來的（    ）

A. 8倍           B. 4倍                  C. 倍                   D. 2倍

  8. 用小正方體搭成一個(gè)幾何體,，下圖為它的主視圖和左視圖，搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多為_________個(gè),。

  9. 用一個(gè)平面去截球面,，截得小圓面積是其大圓面積的，則球心到截面的距離為_________,。

  10. 已知正四棱錐底面正方形的邊長為4cm,，高與斜高的夾角為30°，則斜高為________,，側(cè)面積________,，全面積________。

  11. 一個(gè)圓錐的側(cè)面積是其底面積的2倍,，則該圓錐的母線與底面所成角為________,。

  12. 圖中是截去一角的長方體，畫出它的三視圖,。

  13. 用兩平行平面去截半徑為R的球面,，兩個(gè)截面半徑，兩截面間的距離,，求球面的表面積,。

  14. 頂點(diǎn)為P的圓錐容器倒立，它的軸截面為正三角形,，在這個(gè)容器中注入水,，并且放入一個(gè)半徑為r的球，這時(shí)水面恰與球面相切，問將球從水中取出后,，圓錐內(nèi)水平面多高,？

【試題答案】

1、D               2,、D            3,、A            4、B            5,、A 

6,、A                7、C            8,、7  

9、        10,、4cm,，32cm²,，48cm²      11,、60°

  12,、

  13、解析：當(dāng)兩截面位于球心同側(cè)時(shí),，球的軸截面如圖,，分別為兩截面圓的圓心。

則,，

由已知可得：

在                 ①

在       ②

由①②可得,，又因?yàn)?/span>，

故兩截面應(yīng)位于球心兩側(cè)

此時(shí)再作截面如圖示,，為兩截面圓的圓心,。

則，由已知得

設(shè),，則,，

在中，             ③

在中,，    ④

由③④得,，球的表面積為。

  14,、