數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

河北涿州市涿州中學(xué)(072750)

米 銀

[摘 要]數(shù)學(xué)思想主要有函數(shù)與方程思想,、數(shù)形結(jié)合思想,、分類討論思想和化歸思想．研究數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用具有實際意義.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思想；函數(shù)與方程,；數(shù)形結(jié)合,；分類討論；化歸

一、函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想就是通過研究問題中的變量建立函數(shù)關(guān)系,，運用函數(shù)知識使問題得到解決,；方程思想是根據(jù)各個變量之間的關(guān)系建立方程，然后通過解方程得到問題答案.

【例1】 直線y=kx+2和橢圓+=1在y軸左側(cè)部分交于A,，B兩點,，直線l過點P(0，-2)和線段AB的中點M,，則l在x軸上的截距a的取值范圍為 ．

解：設(shè)A(x1,，y1)，B(x2,，y2),，M(x0，y0),，直線l與x軸的交點為N(a,0)．

由得(3+4k2)x2+16kx+4=0.

因直線y=kx+2和橢圓+=1在y軸左側(cè)部分交于A,，B兩點，所以

解得k>.

又M為線段AB的中點,，所以：

由于P(0,，-2)，M(x0,，y0),，N(a,0)三點共線,，

所以-=2k+.又因為k>,，所以2k+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k=時等號成立,，所以-≥2,，得-≤a≤0.

函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用.

1．函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化.函數(shù)y=f(x)，當(dāng)y>0時,，則不等式為f(x)>0.通過函數(shù)的圖像和性質(zhì)可解決相關(guān)問題.函數(shù)性質(zhì)的研究和不等式是無法分離的.

2．?dāng)?shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),，用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要．

3．在幾何中，很多問題離不開方程．方程和函數(shù)的一些理論應(yīng)用是不可避免的．

4．立體幾何中有關(guān)線段,、面積,、體積等的計算同樣離不開方程和函數(shù)．

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用包括以下兩個方面：

(1)“以形助數(shù)”,，對于一些抽象的題目,，可通過變形，將題目轉(zhuǎn)成具體的,、簡單的,、直觀的問題.如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì).

(2)“以數(shù)定形”，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確.如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).

【例2】 已知函數(shù)其中m>0.

若存在實數(shù)b,，使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個不同的根,，則m的取值范圍是 ．

圖1

解：作出f(x)的圖像如圖1所示．當(dāng)x>m時，x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,，∴要使方程f(x)=b有三個不同的根,，則4m-m2m，即m2-3m>0.又m>0,，解得m>3.

數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.

1．構(gòu)建函數(shù)模型并根據(jù)圖像求參數(shù)的取值范圍.

2．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖像研究方程根或函數(shù)的零點的范圍．

3．構(gòu)建解析幾何模型求最值或范圍．

4．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖像研究量與量之間的大小關(guān)系．

三,、分類討論思想

【例3】 設(shè)函數(shù)則滿足f(f(a))=2f(a)的a的取值范圍是( ).

A.[,1] B.[0,1]

C.[,+∞) D.[1,+∞)

解：由f(f(a))=2f(a)得，f(a)≥1.當(dāng)a<>a-1≥1,，∴a≥,，∴≤a<>a≥1時，有2a≥1,，∴a≥0,，∴a≥1.綜上可知，a≥.故選C.

分類討論思想在解題中的應(yīng)用.

1．由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論．有的概念本身是分類的.如絕對值,、直線斜率,、指數(shù)函數(shù)等．

2．由性質(zhì)、定理,、公式的限制引起的分類討論．有的定理,、公式、性質(zhì)是分類給出的,，在不同的條件下結(jié)論不一致.如等比數(shù)列的前n項和公式,、函數(shù)的單調(diào)性等．

3．?dāng)?shù)學(xué)運算中字母參數(shù)變化引起的分類討論．如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù),，不等式兩邊同乘以一個正數(shù),、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域,，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的限制等．

4．圖形的多樣性需要分類討論．有的圖形類型,、位置需要分類.如角的終邊所在的象限，點,、線,、面的位置關(guān)系等．

四、化歸思想

化歸思想,，就是對問題進行轉(zhuǎn)化,，轉(zhuǎn)化成一種我們常見的、簡單的題目,，然后再進行解答.

【例4】 拋物線y2=4x的焦點為F,，點P(x，y)為該拋物線上的動點，又點A(-1,0),，則的最小值是( ).

A. B. C. D.

圖2

解：利用拋物線的定義把的最值問題等價轉(zhuǎn)化成直線PA的斜率問題.如圖2,，作PH⊥l于H，由拋物線的定義可知,，|PH|=|PF|,，從而的最小值等價于的最小值，等價于∠PAH最小,，等價于∠PAF最大,，即，直線PA的斜率最大．此時直線PA與拋物線y2=4x相切,，由直線與拋物線的關(guān)系可知∠PAF=45°,，所以==sin45°=.故選B.

化歸思想在日常解題中的應(yīng)用.

1．在三角函數(shù)中，涉及三角式的變形,，要將復(fù)雜的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成簡單問題,，化抽象為具體.主要的方法有公式的“三用”(順用、逆用,、變形用),、角度的轉(zhuǎn)化、函數(shù)的轉(zhuǎn)化等．

2．換元法.是將一個復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為簡單的或熟悉方程的一種重要的方法．

3．在解決平面向量與三角函數(shù),、平面幾何等知識的交匯題目時,，常將平面向量語言與三角函數(shù)、平面幾何和解析幾何語言進行轉(zhuǎn)化．

4．在運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時,，常將函數(shù)的單調(diào)性,、極值(最值)、切線問題轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)f′(x)構(gòu)成的方程．

(責(zé)任編輯 黃桂堅)

[中圖分類號] G633.6

[文獻標(biāo)識碼] A

[文章編號] 1674-6058(2017)26-0030-02