1 什么是Weyl 費(fèi)米子,？

說來話長，一切來自于大約一百年前的那場量子力學(xué)引發(fā)的革命。

1926年,，薛定諤提出著名的薛定諤方程：

i? ?ψ/?t=Hψ ,，

其中H 是系統(tǒng)的哈密頓算符。薛定諤方程在量子世界中的地位如同牛頓第二定律(F=ma)在經(jīng)典力學(xué)中的地位一般,，它描述了作為一種概率波的量子態(tài)如何隨著時間演化,。可正如牛頓第二定律在經(jīng)典力學(xué)中遇到的問題一樣,，薛定諤方程與狹義相對論并不兼容,。然而，這個問題沒有難倒“怪才”狄拉克先生,。為了使量子力學(xué)和狹義相對論相容,，他將薛定諤方程中與經(jīng)典能量對應(yīng)的哈密頓量寫成與相對論能量對應(yīng)的形式。相對論中能量表達(dá)為E＝ √(p²+m²) ,，可是,，算符上的根號給我們的理論帶來了困難。這個看似困難的問題卻被狄拉克巧妙地化解為中學(xué)數(shù)學(xué)問題：把根號中的數(shù)寫成完全平方數(shù)不就解決了,？于是,，他使用“待定系數(shù)法”，令√(p²+m²) = αp + βm ,。雖然這樣的系數(shù)并不能是實(shí)數(shù),，甚至不是復(fù)數(shù)，但是它卻可以是矩陣,！1928年,，他提出了狄拉克方程：

(iγ^μ?_μ+m)ψ = 0 .

這一變化成功地化解了量子力學(xué)和狹義相對論的矛盾。值得一提的是,，這個看起來簡單的方程的意義不僅于此：人們可以通過尋找狄拉克方程的解來預(yù)言可能存在的新粒子,！有一個著名的例子，正電子就是狄拉克方程電子解的鏡像,。

著名數(shù)學(xué)家David Hilbert 的學(xué)生Hermann Weyl 在1929 年發(fā)現(xiàn)，居然有一種質(zhì)量為零的粒子滿足狄拉克方程,。它的自旋是半整數(shù),，因此它是一種費(fèi)米子，并且同時滿足泡利不相容原理,，即兩個全同費(fèi)米子不能處于同一個態(tài)上,。這種粒子被稱為Weyl 費(fèi)米子。無質(zhì)量的Weyl 費(fèi)米子就像人類一樣,，可以用兩種“性別”加以區(qū)分：一種自旋方向與運(yùn)動方向相同,，而另一種相反。人們把這種“性別”命名為手性，并分別稱它們?yōu)橛倚妥笮?，二者互為鏡像(圖1),。

圖1 手性不同的費(fèi)米子

狄拉克方程居然給出了一種新粒子，這當(dāng)然讓物理學(xué)家們激動不已,。但是近百年過去了,，在各類針對標(biāo)準(zhǔn)模型的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中，物理學(xué)家都沒能發(fā)現(xiàn)Weyl 費(fèi)米子,。難道它真的只是數(shù)學(xué)上的幽靈,？

2 凝聚態(tài)物理：材料宇宙中的粒子世界

雖然在真空中人們沒能找到Weyl 費(fèi)米子的實(shí)例，但是令人驚奇的是,，如果我們在真空中加上特定的周期性勢場和對稱性,，就能制造出想要的Weyl 費(fèi)米子。這立刻讓物理學(xué)家們想到了固體材料,。這聽起來像天方夜譚：一個實(shí)際上不存在的粒子怎么會在固體中出現(xiàn),？其實(shí)，此“Weyl 費(fèi)米子”非彼“Weyl 費(fèi)米子”,。在固體中,，電子受到原子核的作用，其運(yùn)動性質(zhì)和自由電子不同,，被稱為“準(zhǔn)粒子”,。真空中自由電子和固體中準(zhǔn)粒子的區(qū)別就好比走路的人和水里游泳的人對“重力”感受的不同(圖2)。游泳時人們會發(fā)現(xiàn)自己的身體變得很輕,，抬腿很容易,。這并不是質(zhì)量真的減少了，而是水的浮力和自身重力同時對身體發(fā)生作用的結(jié)果,。人們在路上和水里不同的“行走”方式使得對應(yīng)運(yùn)動模式也不太一樣,。同樣，電子在晶格中“行走”方式與真空中也不太一樣,。在物理學(xué)家看來,，由于某些特殊的晶體結(jié)構(gòu)對電子的作用，固體中出現(xiàn)了某些特定的“準(zhǔn)粒子”,，而這些準(zhǔn)粒子的行為與前面提到的Weyl 費(fèi)米子別無二致,。

圖2 受浮力的影響，行走的人和游泳的人感受到的“重力”會不同

看到這里可能會引起一些困惑：電子怎么能算Weyl 費(fèi)米子,？其實(shí)在材料中的準(zhǔn)粒子和真空中“Weyl 費(fèi)米子”有著完全一樣的地位,，它只不過和真空中的Weyl 費(fèi)米子活在了不同的“宇宙”中。不同的是,，真空這個宇宙是一種晶格周期性無限長,、能隙無限大的絕緣體而已,。

3 Weyl 半金屬：Weyl 費(fèi)米子的宇宙

前面說到，Weyl 費(fèi)米子有左旋和右旋兩種手性,，如果我們能夠在材料中不斷地產(chǎn)生其中某一種手性的Weyl 費(fèi)米子,，那恐怕狄拉克先生能夠高興地活過來(具體原因請看下文)。但是這件事已經(jīng)被證明是不可能的(著名的no-go theorem),。這意味著不同手性的Weyl 費(fèi)米子只能同時被產(chǎn)生和消滅,。如果不同手性的費(fèi)米子在動量空間的同一點(diǎn)產(chǎn)生，那么這就是拓?fù)銬irac 半金屬,。然而期待著新奇物態(tài)的物理學(xué)家們肯定不會滿足于此,，是否有可能把不同手性的Weyl 費(fèi)米子分開呢？物理學(xué)家們發(fā)現(xiàn),，確實(shí)存在一些非中心對稱的材料,。由于反演中心被破壞，不同手性的Weyl 費(fèi)米子在這些材料中會被分離開,。這類特殊的材料就是Weyl 半金屬,，也就是Weyl 費(fèi)米子可以存在的“宇宙”(例如，中國科學(xué)院物理研究所發(fā)現(xiàn)的TaAs化合物),。

4 Weyl 半金屬的DNA：能帶

如同前面所說,，固體材料和真空是有區(qū)別的。最主要的區(qū)別是,，材料的周期性結(jié)構(gòu)會導(dǎo)致電子在運(yùn)動時受到這種周期性晶格的調(diào)制,。在真空中，經(jīng)典粒子能量和動量的關(guān)系是連續(xù)的二次函數(shù)： E = P²/2M,，而在有周期性結(jié)構(gòu)的固體中,，其能量與動量的關(guān)系不再像真空中那樣是連續(xù)的，而是存在一定的色散關(guān)系(E(k)),，并且會在某些特殊的地方“斷開”,。這種能量—動量的色散關(guān)系就是我們所知道的能帶，而中間斷開的部分,，意味著這種能量的電子“不允許存在”,，也就是我們所說的“禁帶”或者能隙。

盡管到這一步能帶并未表現(xiàn)出特殊的物理意義,，但是如果我們考慮真空中自由電子的能譜E = P²/2M,，不同的質(zhì)量就意味著能帶的不同。如果給它們再加上一個作用勢能V(比如前面所討論的晶格中的周期勢場),，則E = P²/2M+ V ，又會再次導(dǎo)致能帶的變化,?？梢娫诠腆w中,，不同的能帶結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了不同的材料性質(zhì)。電子會按照順序從能量較低的能帶逐漸填充至能量較高的能帶,。固體中能量最高(稱為費(fèi)米能)的電子構(gòu)成了費(fèi)米面,，它就像水平面，處于費(fèi)米面下的能帶會被電子充滿,，而費(fèi)米面上的能帶一般稱為空帶(圖3(a)),。

簡單來說，金屬的費(fèi)米面位于能帶中,，因而導(dǎo)帶中存在自由電子,，使得材料可以導(dǎo)電。而半導(dǎo)體和絕緣體的費(fèi)米面位于禁帶中,，它們的導(dǎo)帶中沒有自由電子不能導(dǎo)電,。但是半導(dǎo)體的能隙寬度較小，在一定溫度下可以通過熱運(yùn)動將下層價帶中的電子激發(fā)到上層導(dǎo)帶中,，使其可以導(dǎo)電(圖3(b)),。

圖3 (a)固體中能帶結(jié)構(gòu)；(b)不同材料的能帶示意圖

不同的元素及不同的晶格對稱性導(dǎo)致了不同的能帶結(jié)構(gòu),。實(shí)際上,，能帶結(jié)構(gòu)決定了一種材料幾乎所有的主要特性，就像生物體的DNA決定了生物的特性一樣,。從這個角度來看,，能帶扮演著“材料DNA”的作用，物理學(xué)家和材料學(xué)家通過研究它便能確定材料的各種屬性,，比如我們這里關(guān)注的拓?fù)淞孔訉傩?。最近十年，物理學(xué)家們借助一些實(shí)驗(yàn)手段,，如角分辨光電子能譜,，揭示了許多以前未被發(fā)現(xiàn)的量子物態(tài)和拓?fù)淠軒ЫY(jié)構(gòu)，如拓?fù)浣^緣體和拓?fù)浒虢饘佟?/p>

5 第一類Weyl 半金屬：沙漏中的粒子

前面說到,，材料中的電子由于受到材料中周期性晶格的調(diào)制作用產(chǎn)生了能帶結(jié)構(gòu),。而材料的能帶結(jié)構(gòu)就是它的“DNA”，決定了材料的特有屬性,。今天我們討論的Weyl 半金屬的能帶結(jié)構(gòu)非常奇異,。前面說過，Weyl 費(fèi)米子是一種質(zhì)量為零的滿足狄拉克方程的粒子,，讓我們回顧一下狄拉克方程中的哈密頓量H= √(p²+m²) = αp + βm ,。如果我們令m=0，就會發(fā)現(xiàn),，代表能量的哈密頓量H= αp ,，也就是說,，能量和動量成線性關(guān)系！(當(dāng)然,，這里的α 和p 分別是矩陣和矢量,，所以形成的能帶實(shí)際上是個四維空間中的錐。) 當(dāng)我們畫出能量和動量的對應(yīng)關(guān)系,，類似Dirac 半金屬,，Weyl 半金屬的體能帶也是線性的圓錐，好比一個“直立的”沙漏,。圓錐的頂點(diǎn)(稱為Weyl 點(diǎn))就代表Weyl 費(fèi)米子,。不同手性的Weyl 費(fèi)米子只能同時產(chǎn)生或者消失。在這個點(diǎn)的附近,，材料體內(nèi)作為準(zhǔn)粒子的電子具有與無質(zhì)量Weyl 費(fèi)米子相同的運(yùn)動特性,。Weyl 點(diǎn)的另一個意義是，它其實(shí)是動量空間的“時空奇點(diǎn)”,。我們可以把它形象地類比于時空隧道,，就像物理中所描述的蟲洞。這些特殊的奇點(diǎn)對材料表面上電子有很強(qiáng)的影響,，比如當(dāng)表面電子沿某些特定方向運(yùn)動并達(dá)到特定速度時,，會突然從表面消失，進(jìn)入材料體內(nèi),，并立刻從材料的另一個表面穿出,，就像是一艘經(jīng)歷了“蟲洞”旅行的宇宙飛船。更進(jìn)一步,，不同手性的Weyl 點(diǎn)會在表面的電子態(tài)中形成一些非閉合的曲線,，使Weyl 點(diǎn)彼此互相連接，這就是費(fèi)米弧,。由于這類半金屬是受到拓?fù)浔Ｗo(hù)的,，所以這個費(fèi)米弧也叫拓?fù)滟M(fèi)米弧。不僅如此,，Weyl 半金屬還有另一個令人興奮的性質(zhì)：負(fù)磁阻效應(yīng),。當(dāng)外加平行的電場和磁場時，動量空間中左旋的Weyl 點(diǎn)和右旋Weyl 點(diǎn)會分離開,，而Weyl 費(fèi)米子可以從右旋的Weyl 點(diǎn)出發(fā)被發(fā)射到左旋的Weyl 點(diǎn)去,，就好比金屬中的電子產(chǎn)生定向運(yùn)動時會有電流。隨著磁場的增加,，越來越多的Weyl 費(fèi)米子參與到輸運(yùn)中,，使得材料的電阻降低。磁場在這里猶如水泵般將電子“泵”出來,，實(shí)際中產(chǎn)生的效應(yīng)就是“負(fù)磁阻”效應(yīng),。

6 第二類Weyl 半金屬：傾斜的沙漏

前面介紹了一般Weyl 半金屬的一些性質(zhì),，也就是第一類Weyl 半金屬。而這里我們的主角：第二類Weyl 半金屬,，終于要登場了。電子既有自己的自旋,，又要圍繞著原子核做圓周運(yùn)動,。而我們知道任何電荷的運(yùn)動都會產(chǎn)生磁場，磁場又和自身的自旋發(fā)生作用,，這個效應(yīng)就叫自旋—軌道耦合,。在一些特定材料中，這種耦合作用尤其顯著,，以至于電子的能量—動量關(guān)系會發(fā)生比較明顯的變化,。簡單地說，也就是“沙漏”轉(zhuǎn)動了一個角度(圖4),。沙漏是“直立”的時候,，任何方向?qū)τ谒际堑葍r的。如果沙漏的轉(zhuǎn)動角度太大,，當(dāng)有一條邊穿過了水平面時,，Weyl 半金屬的性質(zhì)會發(fā)生巨大的改變，出現(xiàn)明顯的各向異性：在一些方向上呈現(xiàn)出隨著磁場增大而電阻減小的“負(fù)磁阻”特征,；而在另一些方向上,，加大磁場會導(dǎo)致電阻一直增大。這種嚴(yán)重傾斜的錐破壞了外爾費(fèi)米子的洛倫茲不變性,，因此第二類外爾費(fèi)米子在高能物理中不能存在,。然而，由于固體材料并不需要滿足洛倫茲不變性,，第二類外爾費(fèi)米子可以在固體材料中實(shí)現(xiàn),。

圖4 第一類Weyl 費(fèi)米子中“直立”的沙漏與第二類Weyl費(fèi)米子中“傾斜”的沙漏

7 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：第二類Weyl 半金屬的費(fèi)米弧

第二類Weyl 半金屬的幾種候選材料在理論上被提出后立即引起了很多物理學(xué)家的興趣。然而,，確認(rèn)第二類Weyl 半金屬依然有一些實(shí)驗(yàn)上的挑戰(zhàn),。證明一個材料是不是Weyl 半金屬，首先需要直接檢查材料的DNA——能帶,。而利用角分辨光電子能譜,，科學(xué)家們可以直接觀察到能量和動量的函數(shù)關(guān)系，也就是能帶,。一個可能的第二類Weyl 半金屬候選者是WTe₂,，但理論預(yù)言其費(fèi)米弧的尺度僅僅只有布里淵區(qū)(可以理解為能帶的范圍)的千分之七，遠(yuǎn)小于當(dāng)前實(shí)驗(yàn)的分辨率,。

清華大學(xué)物理系的的研究者采用了實(shí)驗(yàn)上更加可行的MoTe₂,，利用角分辨光電子能譜(Angle-resolved Photoemission Spectroscopy) 和掃描隧道譜(Scanning Tunneling Spectroscopy) 兩種互補(bǔ)的表面敏感實(shí)驗(yàn)技術(shù),，結(jié)合第一性原理計算結(jié)果，成功驗(yàn)證了MoTe₂作為第二類外爾半金屬的基本特征——嚴(yán)重傾斜的狄拉克錐和存在于電子和空穴縫隙中的來自于拓?fù)浔砻鎽B(tài)的非閉合費(fèi)米弧(圖5(b)),，首次確認(rèn)了低溫下的MoTe₂正是理論預(yù)言的第二類Weyl 半金屬,。在對稱性方面，非中心對稱晶格結(jié)構(gòu)是實(shí)現(xiàn)外爾費(fèi)米子的必要條件,。目前有關(guān)MoTe₂的外爾費(fèi)米子的理解都基于它的低溫相是與WTe₂相同的Td相的假設(shè),。最近，詳細(xì)的變溫拉曼實(shí)驗(yàn)提供了MoTe₂的低溫相是缺乏中心對稱的Td相的確切實(shí)驗(yàn)證據(jù),，并且指出該體系是一個研究高溫相的非拓?fù)鋺B(tài)至低溫相的拓?fù)鋺B(tài)相變的理想材料體系,。

圖5 (a)第一類和(b)第二類半金屬電子結(jié)構(gòu)示意圖

第二類Weyl 半金屬的發(fā)現(xiàn)不僅拓寬了人們對物理世界的認(rèn)識，建立了粒子物理和凝聚態(tài)之間的紐帶,，更有可能帶來新的應(yīng)用,。比如，在現(xiàn)有的電子器件中,，電子在不同成分的材料界面上會因?yàn)樯⑸涠鴮?dǎo)致很大的損耗,，這一度成為困擾電子器件發(fā)展的瓶頸。第二類Weyl 半金屬在不同方向上對磁場存在不同的響應(yīng),，因此我們有可能做到在同一成分的材料上沿不同方向體現(xiàn)出不同的輸運(yùn)特性,，從而有望為拓?fù)淞孔与娮訉W(xué)的發(fā)展帶來新機(jī)遇。

致謝感謝清華—富士康納米科技研究中心吳揚(yáng)博士,、清華高等研究院姚宏研究員和清華大學(xué)物理系陳曦教授在本文寫作中提供幫助,。

本文選自《物理》2016年第10期