在回歸分析中,，當(dāng)自變量和因變量間的關(guān)系不能簡單地表示為線性方程,，或者不能表示為可化為線性方程的時(shí)侯,，可采用非線性估計(jì)來建立回歸模型。

SPSS提供了非線性回歸“Nonlinear”過程,，下面就以實(shí)例來介紹非線性擬合“Nonlinear”過程的基本步驟和使用方法,。

應(yīng)用實(shí)例

研究了南美斑潛蠅幼蟲在不同溫度條件下的發(fā)育速率，得到試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：

表5-1 南美斑潛蠅幼蟲在不同溫度條件下的發(fā)育速率

17.5

20

22.5

25

27.5

30

35

發(fā)育速率

0.0638

0.0826

0.1100

0.1327

0.1667

0.1859

0.1572

根據(jù)以上數(shù)據(jù)擬合邏輯斯蒂模型：

本例子數(shù)據(jù)保存在DATA6-4.SAV,。

1）準(zhǔn)備分析數(shù)據(jù)

在SPSS數(shù)據(jù)編輯窗口建立變量“t”和“v”兩個(gè)變量,，把表6-14中的數(shù)據(jù)分別輸入“溫度”和“發(fā)育速率”對(duì)應(yīng)的變量中。

或者打開已經(jīng)存在的數(shù)據(jù)文件（DATA6-4.SAV）,。

2）啟動(dòng)線性回歸過程

單擊SPSS主菜單的“Analyze”下的“Regression”中“Nonlinear”項(xiàng)，將打開如圖5-1所示的線回歸對(duì)話窗口,。

圖5-1 Nonlinear非線性回歸對(duì)話窗口

3) 設(shè)置分析變量

設(shè)置因變量：從左側(cè)的變量列表框中選擇一個(gè)因變量進(jìn)入“Dependent(s)”框,。本例子選“發(fā)育速率[v]”變量為因變量。

4) 設(shè)置參數(shù)變量和初始值

單擊“Parameters”按鈕,，將打開如圖6-14所示的對(duì)話框,。該對(duì)話框用于設(shè)置參數(shù)的初始值。

圖5-2 設(shè)置參數(shù)初始值

“Name”框用于輸入?yún)?shù)名稱,。

“Starting”框用于輸入?yún)?shù)的初始值,。

輸入完參數(shù)名和初始值后，單擊“Add”按鈕,，則定義的變量及其初始值將顯示在下方的參數(shù)框中,。需要修改已經(jīng)定義的參數(shù)變量，先用將其選中,，然后在“Name”和“Starting”欄里進(jìn)行修改,，完成后點(diǎn)擊“Change”按鈕確認(rèn)修改。要?jiǎng)h除已經(jīng)定義的參數(shù)變量,，先用將其選中,，然后點(diǎn)擊“Bemove”按鈕刪除。

在本例邏輯斯蒂模型中估計(jì)的參數(shù)有“K”,、“a”和“b”三個(gè)參數(shù)變量,。設(shè)置初始值為：K=0.1；a=3,；b=0.1,。

參數(shù)的初始值可根據(jù)給定模型中參數(shù)定義范圍情況而定。輸入后的“Nonlinear”對(duì)話窗口如下圖,。

圖5-3 設(shè)置參數(shù)初始值后的對(duì)話框

完成后點(diǎn)擊“Continue”按鈕,。

5）輸入方程式

在“Model Expression”框中輸入需要擬合的方程式，在該方程中包含自變量,、參數(shù)變量和常數(shù)等,。自變量和參數(shù)變量可以從左邊的列表框和“Parameters”框里選入,。

方程中的函數(shù)可以從“Function”框里選入；運(yùn)算符號(hào)和常數(shù)可以用鼠標(biāo)從窗口“數(shù)字符號(hào)”顯示區(qū)中點(diǎn)擊輸入,。

本例輸入的邏輯斯蒂模型是： K/(1+EXP(a-b*t)),。輸入后的窗口顯示如下圖。

圖5-4 設(shè)置后的非線性回歸對(duì)話窗口

6) 迭代條件

在主對(duì)話框中單擊“Loss”按鈕,，將打開如圖5-5所示的對(duì)話框,。

圖5-5 Loss 對(duì)話框

        Sum of squared residuals”項(xiàng)，殘差平方和最小值,，系統(tǒng)默認(rèn),。本例選該項(xiàng)。
        “User-defined loss function”自定義選項(xiàng),。設(shè)置其他統(tǒng)計(jì)量為迭代條件,，在下邊輸入框中輸入相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)
             量的表達(dá)式，稱為損失函數(shù),。在左上角的變量列表框中,，“RESID”代表所選變量的殘差；“PRED_”代表預(yù)測(cè)
               值,?？梢詮淖笙陆强蛑羞x擇已定義的參數(shù)進(jìn)入損失函。

7）參數(shù)取值范圍

在主對(duì)話框中單擊“Constraints”按鈕,，將打開如圖5-6所示的對(duì)話框,。在該對(duì)話框中設(shè)置回歸方程中參數(shù)的取值范圍。

選中“Define parameter constraint”項(xiàng),，即可對(duì)選定的參數(shù)變量設(shè)置取值范圍,。參數(shù)的取值范圍，用不等式“=,<=,>=”來定義,。

例如,，在本例邏輯斯蒂模型中K參數(shù)應(yīng)該小于1。應(yīng)該定義如下：k<=0.9999

定義后會(huì)提示：是否復(fù)制現(xiàn)有的變量名,，回答“確定”,。

圖5-6 參數(shù)取值范圍對(duì)話框

8) 保存分析數(shù)據(jù)

在主對(duì)話框中單擊“Save”按鈕將打開如圖5-7所示的對(duì)話框，選擇要保存到數(shù)據(jù)文件中的統(tǒng)計(jì)量,。

圖 5-7 Save對(duì)話框

其中各項(xiàng)分別為：

       “Predicted values”因變量的預(yù)測(cè)值,。
       “Residuals”因變量的殘差。
       “Derivatives”派生數(shù),。
       “Loss function values”損失函數(shù)值,。

9) 迭代方法

主對(duì)話框中單擊“Options”按鈕，將打開如圖5-8所示的對(duì)話框,。

圖5-8 迭代方法對(duì)話框

“Bootstrap estimates of standard error”項(xiàng),，將采用樣本重復(fù)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤,。樣本重復(fù)法需要順序二次規(guī)劃算法的支持。當(dāng)選中該項(xiàng)時(shí),，SPSS將自動(dòng)選中“Sequential quadratic Programming”項(xiàng),。

“Estimation Method”框中列出了參數(shù)的兩種估計(jì)方法：

“Sequential Quadratic Programming”項(xiàng)為順序二次規(guī)劃算法。該方法要求輸入的參數(shù)為：

“Maximum”最大迭代步數(shù),。
“Step Iimit”最大步長,。
“Optimality”目標(biāo)函數(shù)的迭代誤差限。
“Function”函數(shù)精度,，應(yīng)比目標(biāo)函數(shù)的迭代誤差限小,。
“Infinite step”當(dāng)一次迭代中參數(shù)值的變化大于設(shè)置值，則迭代停止,。

“Levenberg-Marquardt”項(xiàng),，采用麥夸爾迭代法)，系統(tǒng)缺省設(shè)置,。該法要求輸入的參數(shù)為：

“Maximum iterations”最大迭代步數(shù)。
“Sum-of-squares convergence”在一步迭代中目標(biāo)函數(shù)殘差平方和的變化比例小于設(shè)置的值時(shí),，
                        迭代停止,。
“Parameter convergence”在一步迭代中參數(shù)的變化比例小于設(shè)置值時(shí)，迭代停止,。

本例選“Levenberg-Marquardt”項(xiàng),，最大迭代步數(shù)100，殘差平方和的變化比例小于1E-8,，參數(shù)的變化比例小于1E-8,。

10）提交執(zhí)行

所有的設(shè)置完成后，在主對(duì)話框中點(diǎn)擊“OK”按鈕提交所有設(shè)置,，SPSS執(zhí)行過程后輸出結(jié)果顯示在輸出窗口中,。

11) 結(jié)果分析

結(jié)果:

<img height="734" alt="文本框: All the derivatives will be calculated numerically. Iteration Residual SS K A B 1 .0625076405 .100000000 3.00000000 .100000000 1.1 2.564768220 -.47546915 3.69314164 .675071407 1.2 .0050867657 .157709706 1.90159327 .141778778 2 .0050867657 .157709706 1.90159327 .141778778 : : : : 16 .0009331870 .177359068 5.70621767 .281983521 16.1 .0009331870 .177360878 5.70599385 .281971271 Run stopped after 33 model evaluations and 16 derivative evaluations. Iterations have been stopped because the relative reduction between successive residual sums of squares is at most SSCON = 1.000E-08 Nonlinear Regression Summary Statistics Dependent Variable V Source DF Sum of Squares Mean Square Regression 3 .12673 .04224 Residual 4 9.331870E-04 2.332968E-04 Uncorrected Total 7 .12766 (Corrected Total) 6 .01223 R squared = 1 - Residual SS / Corrected SS = .92370 Asymptotic 95 % Asymptotic Confidence Interval Parameter Estimate Std. Error Lower Upper (參數(shù)名 估計(jì)參數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)誤 95%置信限 ) K .177360878 .015726528 .133697035 .221024720 A 5.705993848 1.793759786 .725718271 10.686269425 B .281971271 .092934086 .023944884 .539997658 Asymptotic Correlation Matrix of the Parameter Estimates （參數(shù)相關(guān)矩陣） K A B K 1.0000 -.6624 -.7401 A -.6624 1.0000 .9889 B -.7401 .9889 1.0000 " src="http://zhibao./epcl/spss/Regression/images/5_clip_image001.gif" width="546" />

根據(jù)以上輸出結(jié)果得到K的參數(shù)估計(jì)值是0.177360878；a的參數(shù)估計(jì)值是5.705993848,；b的參數(shù)估計(jì)值是0.281971271,。其擬合的邏輯斯蒂發(fā)育速率模型為：

殘差平方和（Q）為0.0009331870；擬合優(yōu)度系數(shù)（R2）為0.92370,。