傳聞這世間存在一只妖,，它神通廣大,，善推演,，無(wú)所不知。

只要它愿意動(dòng)動(dòng)手指,，記錄下某一刻宇宙中每個(gè)原子確切的位置和動(dòng)量,，就能根據(jù)牛頓定律，瞬間算出宇宙的過(guò)去與未來(lái),。這就是大名鼎鼎的拉普拉斯妖,。

這只妖是宏觀經(jīng)典力學(xué)的守護(hù)者，也是牛頓理論的信仰者,，對(duì)于它來(lái)說(shuō),，過(guò)去和未來(lái)盡在它的掌控之中，沒(méi)有什么是不確定的,，一切都可以通過(guò)現(xiàn)在的狀態(tài)計(jì)算得知,。

然而，這樣一只科學(xué)神獸,，很快就被熱力學(xué)和量子力學(xué)聯(lián)合“掐死”在威斯特敏斯特大教堂牛頓的墳?zāi)骨?，而主刀的劊子手有個(gè)美麗的名字，叫作蝴蝶效應(yīng),。

根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，我們能精確地預(yù)言哈雷彗星每 76 年回歸地球一次,，那么,，對(duì)于未來(lái)的天氣預(yù)報(bào)，我們是否也能精準(zhǔn)預(yù)測(cè)呢,？

1961 年之前,，美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲認(rèn)為自己一定能找到一個(gè)精準(zhǔn)預(yù)測(cè)天氣變化的數(shù)學(xué)模型。為此,，他每日都待在計(jì)算機(jī)房里,，用那臺(tái)占滿整間實(shí)驗(yàn)室的龐然大物，模擬著影響氣象的大氣流,。這一過(guò)程耗時(shí)數(shù)月,，并且順利輸出了一系列數(shù)據(jù)，但為了確認(rèn)計(jì)算結(jié)果的精準(zhǔn),，洛倫茲決定再算一遍,。不過(guò)這次他在計(jì)算過(guò)程中偷了個(gè)小懶,，在輸入中間一個(gè)數(shù)據(jù)時(shí),，將原來(lái)的 0.506127 省略為 0.506。

沒(méi)想到這初始值的微小差別,，最終卻使計(jì)算結(jié)果千差萬(wàn)別,，如圖19-1 所示,。

圖 19-1 洛倫茲的兩次計(jì)算結(jié)果

實(shí)線和虛線分別代表了洛倫茲的兩次計(jì)算過(guò)程，如果初始值稍稍變化,，結(jié)果就會(huì)大相徑庭,。一個(gè)晴空萬(wàn)里，一個(gè)電閃雷鳴,，那這樣的預(yù)報(bào)還有實(shí)際意義嗎,？對(duì)此，洛倫茲感到挫敗不已,。畢竟根據(jù)經(jīng)典理論,，初始值偏離一點(diǎn)點(diǎn)，結(jié)果也只會(huì)偏離一點(diǎn)點(diǎn),。由此,，科學(xué)家才可以提前相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間預(yù)測(cè)極復(fù)雜的系統(tǒng)的行為。這一點(diǎn),，是拉普拉斯妖決定論的理論基礎(chǔ),，也是洛倫茲夢(mèng)想進(jìn)行長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)的根據(jù)。

為了走出困境,，洛倫茲決定深入研究他的微分方程組解的穩(wěn)定性,，也正是這個(gè)方程組，在后來(lái)成了歷史上第一次讓科學(xué)家從中認(rèn)識(shí)到混沌可能性的動(dòng)態(tài)體系：

這是一個(gè)不能用解析方法求解的非線性方程組,，是洛倫茲以其非凡的抽象能力,，將氣象預(yù)報(bào)模型里的上百個(gè)參數(shù)和方程簡(jiǎn)化成一個(gè)僅有三個(gè)變量和時(shí)間的系數(shù)的微分方程組。

方程組中的 x,、y,、z 并非運(yùn)動(dòng)粒子在三維空間的坐標(biāo)，而是三個(gè)變量,。這三個(gè)變量由氣象預(yù)報(bào)中的諸多物理量,，如流速、溫度,、壓力等簡(jiǎn)化而來(lái),。其中，μ 在流體力學(xué)中稱為瑞利數(shù) 1,，與流體的浮力及黏度等性質(zhì)有關(guān),。當(dāng) μ=28 時(shí)，利用計(jì)算機(jī)對(duì)變量 x,、y,、z 進(jìn)行反復(fù)迭代，模擬出來(lái)的三維圖形就宛若一只展翅欲飛的蝴蝶,，如圖 19-2所示,，這便是蝴蝶效應(yīng)的由來(lái),。

為什么模擬系統(tǒng)最終會(huì)出現(xiàn)這樣一幅奇妙而復(fù)雜的“洛倫茲吸引子 ”圖？正常來(lái)說(shuō),，大部分系統(tǒng)的“最后歸屬”,，即吸引子的形狀，可歸納為如圖 19-3 所示的三種經(jīng)典吸引子,。

圖 19-2 洛倫茲方程組三維模擬圖

例如,，任何一個(gè)鐘擺，如果不給它不斷地補(bǔ)充能量,，最終都會(huì)由于摩擦和阻力而停止下來(lái),。也就是說(shuō)，鐘擺系統(tǒng)的最后狀態(tài)會(huì)是相空間中的一個(gè)點(diǎn),。

圖 19-3 洛倫茲吸引子

有趣的是,，洛倫茲系統(tǒng)的吸引子卻無(wú)法歸類到任何一種經(jīng)典吸引子，只能被稱為奇異吸引子 ,。經(jīng)典吸引子對(duì)初始值都是穩(wěn)定的,，奇異吸引子表現(xiàn)出對(duì)初始值的敏感性，即初始狀態(tài)接近的軌跡之間的距離隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而指數(shù)增長(zhǎng),。

看著這個(gè)圖形,，洛倫茲愈發(fā)覺(jué)得這個(gè)系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為十分有趣。

在這個(gè)三維空間的雙重繞圖里,，軌線看起來(lái)是在繞著兩個(gè)中心點(diǎn)轉(zhuǎn)圈,，但又不是真正在轉(zhuǎn)圈，因?yàn)樗鼈冸m然被限制在兩翼邊界之內(nèi),，但決不與自身相交,。這意味著系統(tǒng)的狀態(tài)永不重復(fù)，是非周期性的,。也就是說(shuō),，這個(gè)具有確定系數(shù)、確定方程,、確定初始值的系統(tǒng)的解,，其外表呈現(xiàn)出規(guī)則而有序的兩翼蝴蝶形態(tài)，內(nèi)在卻包含了隨機(jī)而無(wú)序的混沌過(guò)程的復(fù)雜結(jié)構(gòu),。

當(dāng)時(shí),，史上最偉大的氣象員洛倫茲準(zhǔn)確地將此現(xiàn)象表述為“確定性非周期流”，并由此斷言：準(zhǔn)確地做出長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)是不可能的,。因?yàn)闅庀箢A(yù)報(bào)的初始條件是由極不穩(wěn)定的環(huán)球的大氣流所決定的,，這個(gè)初始條件的任何細(xì)微變化，都可能導(dǎo)致預(yù)報(bào)結(jié)果千差萬(wàn)別。

1963 年,，這篇論文被發(fā)表在《大氣科學(xué)》雜志上，洛倫茲形象地將這個(gè)結(jié)論稱為蝴蝶效應(yīng)：一只南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶,，偶爾扇動(dòng)幾下翅膀,，可以在兩周以后引起美國(guó)得克薩斯州的一場(chǎng)龍卷風(fēng)。

蝴蝶扇動(dòng)翅膀卻可以促使空氣系統(tǒng)發(fā)生變化,，并產(chǎn)生微弱的氣流運(yùn)動(dòng),。而微弱氣流的產(chǎn)生又會(huì)引起四周空氣或其他系統(tǒng)產(chǎn)生相應(yīng)的變化，由此引起一系列微妙連鎖反應(yīng),，最終導(dǎo)致系統(tǒng)的變化,。

混沌的一個(gè)重要特征：系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為對(duì)初始條件的敏感依賴性，初值的微小差別會(huì)導(dǎo)致未來(lái)的混沌軌道的巨大差別,。正如中國(guó)古人的智慧所言：“失之毫厘,，謬以千里?！?/span>

此后,，洛倫茲也因此被譽(yù)為“混沌理論之父”。

云朵不是球形的,，山巒不是錐形的，海岸線不是圓形的,，樹皮不是光滑的,，閃電也不是一條直線。

組成這個(gè)世界的大多數(shù)事物都是混沌的,，紛繁而復(fù)雜,，其整體或局部特征不是簡(jiǎn)單地用傳統(tǒng)的歐式幾何語(yǔ)言就可以表述的，處處顯現(xiàn)著不可預(yù)測(cè)性,。

當(dāng)你到海邊游玩時(shí),，你可曾想過(guò)是否能測(cè)出海岸線的長(zhǎng)度？其實(shí),，你永遠(yuǎn)測(cè)不出它的長(zhǎng)度,。盡管維基百科告訴你：“中國(guó)有32000km 長(zhǎng)的海岸線?！钡珡奈锢淼慕嵌葋?lái)看,，海岸線實(shí)際是不可測(cè)量的，最多只能說(shuō)：中國(guó)海岸線“輪廓”的長(zhǎng)度是多少千米,。1940年,，英國(guó)政府就曾試圖對(duì)自己國(guó)土的海岸線長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果發(fā)現(xiàn)使用的度量尺寸越精確，得出的數(shù)據(jù)就越長(zhǎng),，最后導(dǎo)致最新數(shù)據(jù)總與已有的任何數(shù)據(jù)差別很大,。

所以，我們究竟要怎樣去描述海岸線及這個(gè)世界的不規(guī)則,？這個(gè)問(wèn)題過(guò)去了很久都沒(méi)有得到解決,。

直到 1967 年，本華·曼德勃羅找到了混沌背后的法則 —— 分形,。

在美國(guó)權(quán)威雜志《科學(xué)》上,，本華·曼德勃羅發(fā)表了一篇題為“英國(guó)的海岸線到底有多長(zhǎng)”的劃時(shí)代論文，該文標(biāo)志著分形萌芽的出現(xiàn),，證明了在一定意義上任何海岸線都是無(wú)限長(zhǎng)的,，因?yàn)楹澈桶?/span>島會(huì)顯露出越來(lái)越小的子海灣和子半島，如圖 19-4 所示,。

圖 19-4 曼德勃羅“海岸線分形”示意圖

曼德勃羅將這種部分與整體的某種相似稱為自相似性,，它是一種特殊的跨越不同尺度的對(duì)稱性，意味著圖案之中遞歸地套著圖案,。

事實(shí)上,，具有自相似性的現(xiàn)象廣泛存在于自然界中，這些現(xiàn)象包括連綿起伏的山川,，自由飄浮的云彩,，以及花菜、樹冠,，甚至人體的大腦皮層和各種器官,。

這種現(xiàn)象最終被曼德勃羅抽象為分形，從而建立起了有關(guān)斑痕,、麻點(diǎn),、破碎、纏繞,、扭曲的幾何學(xué),。這種幾何學(xué)的維數(shù)可以不是整數(shù)，如英國(guó)的海岸線是 1.25 維的分形,，眾多山川地形的表面是 2.2 維的分形,，洛倫茲吸引子的分形維數(shù)則在 2.06 左右。

更有意思的是,，曼德勃羅發(fā)現(xiàn)從數(shù)學(xué)上來(lái)看,，分形大多數(shù)是用非線性迭代法產(chǎn)生的，可由一個(gè)簡(jiǎn)單的非線性迭代公式描述：Z(n+1)=Z(n)^2+C,。

式中,，Z(n+1) 和 Z(n) 都是復(fù)變量 ，而 C 是復(fù)參數(shù)。對(duì)于某些參數(shù)值 C,，迭代會(huì)在復(fù)平面上的某幾點(diǎn)之間循環(huán)反復(fù),；而對(duì)另一些參數(shù)值 C，迭代結(jié)果卻毫無(wú)規(guī)則可言,。前一種參數(shù)值稱為吸引子,，后一種所對(duì)應(yīng)的現(xiàn)象稱為混沌，而所有吸引子構(gòu)成的復(fù)平面子集則稱為曼德勃羅集,，如圖 19-5 所示,。

圖 19-5 曼德勃羅集

由此,，曼德勃羅曾經(jīng)留下了迄今為止最奇異,、魔幻的幾何圖形 —— 曼德勃羅集，史稱“上帝的指紋”和“魔鬼的聚合物”,。

透過(guò)它,，人們驚嘆地發(fā)現(xiàn)許多復(fù)雜瑰麗的圖形背后原來(lái)都是由這么一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形所構(gòu)成，都可由這么一個(gè)簡(jiǎn)單的非線性迭代公式來(lái)描述,。

而混沌也并非純粹的無(wú)序,，其所呈現(xiàn)的無(wú)規(guī)行為或無(wú)秩序只是一種表面現(xiàn)象，若是深入它的內(nèi)心,，就能發(fā)現(xiàn)其深刻的規(guī)律性 —— 分形,。

我們把混沌和分形各自分開來(lái)看，前者儼如魔鬼,，阻撓著人們對(duì)真理的探索,，帶來(lái)混亂與挑戰(zhàn)；后者儼然是宇宙中的天使,，為萬(wàn)物奠定秩序和生機(jī),。

但實(shí)際上，它們密不可分,，混沌是時(shí)間上的分形,，而分形是空間上的混沌。

它們共同組成了我們的混沌世界,，體現(xiàn)著這個(gè)非線性系統(tǒng)的兩個(gè)主要特性：初值敏感性和非規(guī)則的有序性,。

南美洲亞馬孫河流域的那只蝴蝶的行為雖然充滿了隨機(jī)不確定性，但它的內(nèi)心同樣遵循著秩序,。美妙的洛倫茲吸引子,，實(shí)際就是一個(gè)具有無(wú)窮結(jié)構(gòu)的分形，它是混沌和分形的橋梁,，提供了混沌從無(wú)序邁向有序的鐵證,。

所以，自然界實(shí)際既有規(guī)律又無(wú)規(guī)律，混沌理論神奇地將有序與無(wú)序統(tǒng)一在一起,，將確定性與隨機(jī)性統(tǒng)一在一起,，深刻地為我們揭示了這個(gè)世界的本質(zhì)；同時(shí)也使科學(xué)界長(zhǎng)期對(duì)立,、互不相容的兩大體系 —— 決定論和概率論之間的鴻溝正在逐步消除,。

20 世紀(jì) 90 年代，混沌理論開始走向應(yīng)用階段,。雖然我們無(wú)法對(duì)系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為進(jìn)行預(yù)測(cè),，但我們完全可以利用混沌的規(guī)律對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行短期的行為預(yù)測(cè)，這比傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法有效,。

如今,，不管是在天氣預(yù)報(bào)、股票市場(chǎng),、語(yǔ)言研究,，還是工程技術(shù)、生物醫(yī)藥,、計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域,，我們隨處可見混沌理論的身影。例如,，經(jīng)濟(jì)學(xué)家就建立了各種非線性方程模型來(lái)研究經(jīng)濟(jì)金融市場(chǎng)的各種運(yùn)動(dòng),，其中典型的有證券市場(chǎng)股價(jià)指數(shù)、匯率變化等,。匯率不是由簡(jiǎn)單的確定性過(guò)程形成的,，經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)匯率的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)建模。經(jīng)濟(jì)學(xué)離不開各種假設(shè),，他們假設(shè)匯率以一種線性的方式回應(yīng)決定性變量（自變量）的變化來(lái)建立各種模型進(jìn)行分析,，這是經(jīng)濟(jì)金融學(xué)中常見的線性回歸分析，也是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的主要內(nèi)容,，主流的認(rèn)識(shí)是匯率運(yùn)動(dòng)由白噪聲支配,，潛在趨勢(shì)是存在的，并且是隨機(jī)誤差的,。

假定一個(gè)完全市場(chǎng)化的自由股票市場(chǎng),，它是一個(gè)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，受到多種人為及非人為因素的影響,，各因素間存在著大量的非線性相互作用,。股市具有自相似性，其混沌系統(tǒng)出在現(xiàn)象,、表層,、形式上的無(wú)序,，而在本質(zhì)、深層,、內(nèi)容上是有序的,。通過(guò)建立有關(guān)股票市場(chǎng)行為的非線性模型，混沌理論為理解股票市場(chǎng)的動(dòng)態(tài)變化提供了新的方法論指導(dǎo),。

再如,，混沌控制的最早成就之一是僅用衛(wèi)星上遺留的極少量肼使一顆“死”衛(wèi)星改變軌道，而與一顆小行星相碰撞,。美國(guó)國(guó)家航空與航天管理局利用蝴蝶效應(yīng),，“操縱”了這顆衛(wèi)星圍繞月球旋轉(zhuǎn)五圈，每一圈用射出的少許肼將衛(wèi)星輕推一下,，最后實(shí)現(xiàn)了碰撞,。

20 世紀(jì)初期，相對(duì)論和量子物理的發(fā)展打亂了經(jīng)典力學(xué)建立的秩序,。

相對(duì)論挑戰(zhàn)了牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀,，量子力學(xué)則質(zhì)疑微觀世界的因果律,。

然而,，直接挑戰(zhàn)牛頓定律的，還要屬南美洲的這只蝴蝶,。

蝴蝶扇一扇翅膀,，即刻在科學(xué)界刮起了一場(chǎng)颶風(fēng)。相比起量子力學(xué)只揭示了微觀世界的不可預(yù)測(cè)性,，混沌理論在遵循牛頓定律的常規(guī)尺度下,，就直指確定論系統(tǒng)本身也普遍具有內(nèi)在的隨機(jī)性。

這使拉普拉斯妖無(wú)處遁形,，最終只能倉(cāng)皇逃竄,。

混沌理論也由此被譽(yù)為 20 世紀(jì)自然科學(xué)的重要發(fā)現(xiàn)。在此之后,，人類進(jìn)一步觸及了世界的本質(zhì) —— 混沌,，開始為無(wú)常的命運(yùn)把脈，并且逐步掌握大自然的一把重要密鑰,。