一、數(shù)學(xué)的應(yīng)用

    什么是數(shù)學(xué)?數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué),。它的研究對象主要是“數(shù)”與“形”,。一百多年前，恩格斯就曾給數(shù)學(xué)下過一個定義：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué),?！币话俣嗄赀^去了，數(shù)學(xué)的發(fā)展使得數(shù)學(xué)的研究對象,，已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了“數(shù)”與“形”的范疇,，于是出現(xiàn)了一些其他定義。但是,，我依然認(rèn)為恩格斯的說法,，是對數(shù)學(xué)的較好概括。這是因?yàn)?，無論如何,，數(shù)學(xué)首要的和基本的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，恩格斯的說法明確地指出了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系,。

    伽利略說過：“大自然,，這部偉大的書，是用數(shù)學(xué)語言寫成的,?！弊匀唤缰械囊磺惺挛铮加小皵?shù)”與“形”兩個側(cè)面,。因此,，數(shù)學(xué)所描述的數(shù)量關(guān)系與空間形式，就自然成為物理學(xué),、力學(xué),、天文學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)的重要基礎(chǔ),，數(shù)學(xué)為這些科學(xué)提供了描述規(guī)律的語言和探索未知世界的一種工具,。

    回顧科學(xué)發(fā)展的歷史，就會發(fā)現(xiàn),，物理學(xué),、天文學(xué)、力學(xué)的任何重大發(fā)展無不與數(shù)學(xué)的進(jìn)步息息相關(guān),。比如,，牛頓力學(xué)，特別是萬有引力定律的發(fā)現(xiàn),，依賴于微積分創(chuàng)立,；而愛因斯坦的相對論則以黎曼幾何為其基礎(chǔ)。著名數(shù)學(xué)家黎曼曾經(jīng)指出：“只有在微積分創(chuàng)立之后,，物理才發(fā)展成為一門真正意義下的科學(xué),。”

    與其他基礎(chǔ)科學(xué)相比,，數(shù)學(xué)最重要的特征是其研究對象的抽象性,，它決定了數(shù)學(xué)的其他特征，并使它區(qū)別于自然科學(xué),。

    任何數(shù)字都是抽象的,，它舍棄了觀察對象的一切其他屬性，而只關(guān)注其數(shù)量,。數(shù)字“l(fā)”既可以代表一個蘋果,，也可以代表一只羊，或一座山,。數(shù)字“1”就是忽略了蘋果、羊,、山等事物的差異,，而只從數(shù)量上加以抽象。從具體數(shù)字再發(fā)展到一個代表量的文字“z”,，是進(jìn)一步的抽象,。至于函數(shù)y一廠(z)，則是更進(jìn)一步的抽象,。在幾何中的點(diǎn),、直線、圓,、平面同樣是對現(xiàn)實(shí)世界中事物的抽象,，同樣是人們?yōu)槊枋霈F(xiàn)實(shí)生活中某些事物而創(chuàng)造的一種語言。比如，在世界地圖上,，北京可以看成一個點(diǎn),，而在中國地圖中，天安門可以看成一點(diǎn),。因此,，數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”實(shí)際上就是我們所考察的事物位置的抽象，它沒有大小,，沒有面積,，只有位置的不同。

    數(shù)學(xué)研究對象的抽象性決定了它的應(yīng)用廣泛性,。1+1—2不僅適用于蘋果,、羊、山,，而且適用于一切事物,。一個函數(shù)y—Asin c衄可以代表電場的電流或電壓的變化規(guī)律，也可以代表某種波動的規(guī)律,。許多完全不同事物提出的問題可以歸結(jié)為同一個數(shù)學(xué)模型,。

    數(shù)學(xué)研究對象的抽象性又決定了數(shù)學(xué)的演繹性。在生物學(xué)中,，要斷言麻雀有胃并不難,，只要解剖幾個麻雀就足夠了，而在數(shù)學(xué)中,，要說明勾股定理成立,，不能只靠驗(yàn)證幾個直角三角形，而需要證明,。當(dāng)然,，數(shù)學(xué)研究中，在其探索階段或許會用到歸納的辦法,。但是,，歸納出來的結(jié)論，不能作為定論,，而只能作為一種猜測,，有待于將來的證明或者否定。這就是說,，數(shù)學(xué)中要確立一條規(guī)律只能依靠嚴(yán)格的邏輯推理,，而不能靠經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)，更不能靠人們的直覺或想當(dāng)然,。比如,，許多大于2的偶數(shù)都可以表成兩個奇素數(shù)之和,，但是不能因此而說一切偶數(shù)皆如此。又如,，我們測量了很多三角形的三個內(nèi)角之和等于180,。，但是不能因此而得出所有三角形都如此的結(jié)論,，需要嚴(yán)格證明,。

    數(shù)學(xué)的這種精神，早在2500多年之前就確定了——這是古希臘人的功勞,。它一直被作為數(shù)學(xué)的基本精神沿承至今,。古希臘人對數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)在于，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)中的每一個命題,，都要根據(jù)明白無誤的假定和事先給定的公理與公設(shè),，由形式邏輯推演出來。正是由于有了這種精神,，古希臘人才發(fā)現(xiàn)了無理數(shù),，并導(dǎo)致歐幾里得《幾何原本》的誕生，使得古希臘的數(shù)學(xué)成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了同時代的其他文明古國,。后來在歐洲文藝復(fù)興時期,，古希臘的這種精神在歐洲發(fā)揚(yáng)光大，并帶動了數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的發(fā)展,。比如,，微積分的創(chuàng)立、萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)等,。

    反映這種科學(xué)精神巨大成功的一個典型事例是非歐幾何的誕生,。歐幾里得《幾何原本》剛一誕生，人們就試圖用其他公設(shè)來證明歐幾里得第五公設(shè)即平行公設(shè),。相當(dāng)多的數(shù)學(xué)家投入這種努力,，然而統(tǒng)統(tǒng)都失敗了。兩千多年的失敗,，迫使人們放棄這種努力,，并從另一個角度考慮問題：放棄平行公設(shè)，并把一個與平行相反的命題作為新的公設(shè),，這就產(chǎn)生了非歐幾何。它從此打破了兩千多年來歐幾里得幾何的“一統(tǒng)天下”,，是人類對空間認(rèn)識的一場革命,。它的發(fā)展進(jìn)一步導(dǎo)致了黎曼幾何，而黎曼幾何成為愛因斯坦的廣義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),。

    從試圖證明平行公設(shè)開始,，到非歐幾何的誕生，再到廣義相對論，充分說明了古希臘人所確立的數(shù)學(xué)精神的巨大意義,。數(shù)學(xué)的這種精神,，使人類擺脫了狹隘經(jīng)驗(yàn)的束縛，促使人們理性地思考與認(rèn)識世界,，并頑強(qiáng)地追求理性的完美,。作為數(shù)學(xué)教育工作者，我們應(yīng)當(dāng)全面認(rèn)識數(shù)學(xué)科學(xué),，反對實(shí)用主義,。把數(shù)學(xué)分成“有用的數(shù)學(xué)”與“無用的數(shù)學(xué)”的提法，是完全錯誤的,。

    中國的古代在數(shù)學(xué)上有重要貢獻(xiàn),，但并沒有形成一個演繹系統(tǒng)。在我國,，人們認(rèn)識到科學(xué)以及科學(xué)精神的重要性,，是很晚的事——五四時期。那是在屢遭失敗并付出巨大代價之后得出的結(jié)論,。

    由于數(shù)學(xué)的結(jié)論是邏輯演繹的結(jié)果,，所以數(shù)學(xué)的結(jié)論是永恒的，不會隨時代變遷而改變,。數(shù)學(xué)是這樣一門科學(xué),，它的發(fā)展不是對于舊有理論的否定。非歐幾何并不是對歐氏幾何的否定．兩者都成立,，只不過是在不同的公理體系下而已,。

    人們或許會認(rèn)為，在歷史上數(shù)學(xué)是重要的,，但今天是高科技時代,，抽象數(shù)學(xué)已經(jīng)沒有那么重要了。恰恰相反,，高科技的發(fā)展的基石是數(shù)學(xué),，而且高科技的發(fā)展才使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用達(dá)到空前的廣泛。

    在高科技時代,，自然科學(xué)的各個研究領(lǐng)域都已進(jìn)入更深的層次和更廣的范疇,，這時就更加需要數(shù)學(xué)。在這種情況下,，一度被認(rèn)為沒有應(yīng)用價值的某些抽象的數(shù)學(xué)概念和理論,，出人意料地在其他領(lǐng)域中找到了它們的原型與應(yīng)用。數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的關(guān)系從來沒有像今天這樣密切,，恩格斯過去所說“數(shù)學(xué)在化學(xué)中的應(yīng)用是線性方程組,，而在生物學(xué)中的應(yīng)用是零”的狀況早已成為歷史,，數(shù)學(xué)中的許多高深理論與方法正在廣泛而深

人地滲透到自然科學(xué)研究的各個領(lǐng)域中去。例如,，分子生物學(xué)中DNA結(jié)構(gòu)的研究與數(shù)學(xué)中的扭結(jié)理論有關(guān),，而理論物理中的規(guī)范場論與微分幾何中的纖維叢理論緊密相關(guān)。至于現(xiàn)代理論物理則用到了許多當(dāng)代純數(shù)學(xué)理論,。20世紀(jì)80年代,，美國自然科學(xué)基金會曾經(jīng)指出，當(dāng)代自然科學(xué)的研究正在日益呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)化的趨勢,。

    現(xiàn)在,，我們要進(jìn)一步指出，數(shù)學(xué)是今天高科技的基礎(chǔ),。

20世紀(jì)最偉大的技術(shù)成就首推電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明與應(yīng)用,，它改變了人們的日常生活的方方面面，并使人類進(jìn)入信息時代,。然而,，大家公認(rèn)電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明應(yīng)歸功于數(shù)學(xué)家：圖靈和馮·諾依曼。在電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前,，數(shù)理邏輯中就有一種理想機(jī)(后來人稱圖靈機(jī)),，它實(shí)際上是電子計(jì)算機(jī)的雛形。   

今天,，IT技術(shù)已被廣泛地應(yīng)用于人類生活,，使我們無處不感到它的存在。然而,，享用這些成果的人們卻往往只看到技術(shù)成果,，而看不到這些技術(shù)背后起到關(guān)鍵作用的數(shù)學(xué)。

    這樣的例子很多,。醫(yī)學(xué)上的CT技術(shù),，中文印刷排版的自動化，波音777的計(jì)算機(jī)模擬設(shè)

計(jì),，指紋的識別,，石油地震勘探的數(shù)據(jù)處理，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)安全技術(shù)等,，在這些形形色色的成就背后,，數(shù)學(xué)都扮演著十分重要的不可缺少的角色。數(shù)學(xué)在這些領(lǐng)域內(nèi)不是一種可有可無的參考,，而常常是問題的關(guān)鍵,。

    1985年，美國國家研究委員會在一份報告中指出：數(shù)學(xué)是推動計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展和促進(jìn)這種技術(shù)在其他領(lǐng)域應(yīng)用的基礎(chǔ)科學(xué),，還強(qiáng)調(diào)指出,，數(shù)學(xué)是一個大有潛力的資源，有待人們?nèi)ゴ罅﹂_發(fā),。該委員會把數(shù)學(xué)與能源,、材料等并列為必須優(yōu)先發(fā)展的基礎(chǔ)研究領(lǐng)域。

    前美國總統(tǒng)科學(xué)顧問艾德華·大衛(wèi)說過一句重要的話：很少人認(rèn)識到當(dāng)今如此被廣泛稱頌的高技術(shù)在本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù),。這句話不是要否定各種硬件技術(shù)發(fā)展的意義,，而是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在高技術(shù)中的關(guān)鍵性，是要強(qiáng)調(diào)高技術(shù)中數(shù)學(xué)的不可或缺性,。從這個意義上講,，他的見解無疑是正確的，并且是富有遠(yuǎn)見的,。

    現(xiàn)在,，讓我們談?wù)剶?shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)及管理科學(xué)之間的聯(lián)系。用數(shù)學(xué)模型研究宏觀經(jīng)濟(jì)與微觀經(jīng)濟(jì),，用數(shù)學(xué)手段進(jìn)行市場調(diào)查與預(yù)測,，用數(shù)學(xué)理論進(jìn)行風(fēng)險分析和指導(dǎo)金融投資，在發(fā)達(dá)國家已被廣泛采用,，在我國也開始受到重視,。在數(shù)學(xué)中，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué),、優(yōu)化與決策,、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、隨機(jī)微分方程等,，都是專門針對這些問題的數(shù)學(xué)理論,。中國科學(xué)院從過去的一個數(shù)學(xué)研究所發(fā)展成現(xiàn)在的五個所，越來越多的數(shù)學(xué)工作者從事跟經(jīng)濟(jì),、管理,、金融有關(guān)的研究。他們在國家的糧食產(chǎn)量預(yù)報,、外匯管理等一系列問題上,，為國家的決策提出了重要參考意見。近年來,，我國的許多高等院校都增設(shè)統(tǒng)計(jì)系,，乃至金融數(shù)學(xué)系。這些現(xiàn)象都反映了數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué),、管理學(xué)的深刻聯(lián)系,，也反映了社會對于這方面的數(shù)學(xué)人才的需求。

    在經(jīng)濟(jì)與金融的理論研究上,，數(shù)學(xué)的地位更加特殊,。大家知道數(shù)學(xué)沒有諾貝爾獎,。但數(shù)學(xué)家卻從經(jīng)濟(jì)學(xué)獲得了諾貝爾獎。在諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的獲得者當(dāng)中,，數(shù)學(xué)家占了相當(dāng)大的比例(21世紀(jì)初的統(tǒng)計(jì)數(shù)字為17／27),。美國電影《美麗的心靈》就是描述了這樣一位數(shù)學(xué)家——納什。

二,、數(shù)學(xué)教育的價值

    下面讓我們談?wù)剶?shù)學(xué)教育的價值,，主要是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的價值。

    我認(rèn)為,，中學(xué)數(shù)學(xué)教育的目的有以下三個方面：傳授初等數(shù)學(xué)知識,；進(jìn)行邏輯推理訓(xùn)練；培育科學(xué)精神,。

    這里所謂的初等數(shù)學(xué),，是相對于高等數(shù)學(xué)而言的。通常,，人們把微積分以后的數(shù)學(xué)稱作高等數(shù)學(xué),，而把此前的數(shù)學(xué)稱作初等數(shù)學(xué)；其內(nèi)容應(yīng)當(dāng)主要是：初等代數(shù),，歐幾里得幾何,，三角函數(shù)，解析幾何初步等等,。目前,，許多國家在高中階段講一點(diǎn)微積分、概率與統(tǒng)計(jì),。盡管如此,，中學(xué)所講的數(shù)學(xué)基本上是以初等數(shù)學(xué)為主。

    中學(xué)所講的這些數(shù)學(xué)知識是學(xué)生在未來的工作與學(xué)習(xí)所必須的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識,，沒有一個堅(jiān)實(shí)的初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),，要學(xué)好高等數(shù)學(xué)是不可能的。而沒有高等數(shù)學(xué)知識,，又怎么學(xué)習(xí)近代的其他科學(xué)的知識呢?不用說理科與工科各個專業(yè),，就是一些文科專業(yè)，比如,，經(jīng)濟(jì)類各專業(yè),，統(tǒng)計(jì)專業(yè)，金融專業(yè),，以及經(jīng)濟(jì)管理專業(yè),，同樣需要較多高等數(shù)學(xué)的知識。我們應(yīng)該看到，用拍腦門的辦法制定政策的時代已經(jīng)結(jié)束,。一個正確的決定需要一個科學(xué)的定量分析,，這就不能沒有數(shù)學(xué)的參與，不論你愿不愿意,，都是如此,。在一些非理科專業(yè)工作的而數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的人們，在遇到數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)理論時,，往往束手無策。想要搞清這些概念,，為時已晚,。數(shù)學(xué)這門學(xué)科有一個特點(diǎn)，即知識的連續(xù)性很強(qiáng),。要想懂得高等數(shù)學(xué),，就得先學(xué)好初等數(shù)學(xué)。而初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要時日,，而且需要在少年時代學(xué)習(xí),，就像學(xué)語言一樣。過了一定的年齡,，再來學(xué)語言與算術(shù)已經(jīng)不成了,。沒有這樣的基礎(chǔ)的人就只能是一個“心中無數(shù)的”人，更談不上從事較高的專業(yè)性工作,。

    以上是從傳授知識層面而言的,。然而數(shù)學(xué)教育的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)不只是知識的傳授，更為重要的應(yīng)該是,，數(shù)學(xué)的訓(xùn)練對青少年的心智,、潛能的開發(fā)與提升，是深刻的,、長遠(yuǎn)的,，而且也是其他學(xué)科所不能替代的。

    說到這里,，我們需要專門講講歐幾里得幾何這門課,，因?yàn)樗亲钅艽頂?shù)學(xué)演繹精神和數(shù)學(xué)的教育意義的。大幅度削減幾何課的內(nèi)容與訓(xùn)練是目前實(shí)施的課程標(biāo)準(zhǔn)的一大缺失,。

    初中的平面幾何,，應(yīng)該是初中數(shù)學(xué)教育最重要的一門課。它在整個中等教育占有特殊的地位：在青少年時期,，歐氏幾何的學(xué)習(xí)對于一個人的推理能力的訓(xùn)練與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神的養(yǎng)成,，是必不可少的。如果一個人不懂得歐氏幾何,，很難說他懂得數(shù)學(xué),，也很難說他懂得什么是邏輯推理,，就更難說他懂得什么是科學(xué)。

    有人說,，世界各國大多不再講授歐氏幾何,，這根本不是事實(shí)，純屬誤解,。而應(yīng)當(dāng)說：用什么方式去講解歐氏幾何,，什么時候講，講多講少,，各國各有不同,。歐洲、日本,、美國都有自己的做法,，各不相同，但是無論如何不能認(rèn)為世界各國都不講歐氏幾何,。

    歐幾里得幾何的原型是歐幾里得所編的《幾何原本》,，出現(xiàn)在公元前270年左右，它是人類文明中的一座輝煌大廈,。歐幾里得在這本書中構(gòu)建了人類有史以來的第一個完整的邏輯體系,，它的完美、嚴(yán)密,、精巧令人贊嘆不已,。愛因斯坦說：“在邏輯推理上的這種令人驚嘆的勝利，使得人類為他們的未來成就獲得了必要的信心,?！?/FONT>