| 用建模思想指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) |
|
|
|
所謂數(shù)學(xué)模型,，是指針對(duì)或參照某種事物的特征或數(shù)量間的相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語言,，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),。凡一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系,、各種數(shù)學(xué)公式,、各種方程以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等等，都可以稱之為數(shù)學(xué)模型,。如自然數(shù)“1”是“1個(gè)人”,、“一件玩具”等抽象的結(jié)果，是反映這些事物共性的一個(gè)數(shù)學(xué)模型,；方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型等,。因此,，建立數(shù)學(xué)模型的過程就是“數(shù)學(xué)建模”,。
一,、小學(xué)“數(shù)學(xué)模型”構(gòu)建
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實(shí)驗(yàn)稿)倡導(dǎo)以“問題情境一建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展”作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的一種基本敘述模式,，并在教材中初步體現(xiàn),，這是數(shù)學(xué)新課程體系直接體現(xiàn)“問題解決”教學(xué)模式的反映。
(一)建模的策略
1．精選問題,，創(chuàng)設(shè)情境,，激發(fā)建模的興趣。
數(shù)學(xué)模型都具有現(xiàn)實(shí)的生活背景,，這是構(gòu)建模型的基礎(chǔ)和解決實(shí)際問題的需要,。如構(gòu)建“平均數(shù)”模型時(shí)，可以創(chuàng)設(shè)這樣的情境：4名男生一組,，5名女生一組,，進(jìn)行套圈游戲比賽，哪個(gè)組的套圈水平高一些?學(xué)生提出了一些解決的方法,，如比較每組的總分,、比較每組中的最好成績(jī)等，但都遭到了否決(初步建模失敗),。這時(shí)需要尋求一種新的策略,，于是構(gòu)建“平均數(shù)”的模型成為學(xué)生的需求，同時(shí)也揭示了模型存在的背景與適用,，的條件,。
2．充分感知，積累表象,，培育建模的基礎(chǔ),。
教師首先要給學(xué)生提供豐富的感性材料，多側(cè)面,、多維度,、全方位感知某類事物的特征或數(shù)量間的相依關(guān)系，為數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確構(gòu)建提供可能,。如“湊＋法”模型構(gòu)建的過程就是一個(gè)不斷感知,、積累的過程。首先學(xué)習(xí)“9加幾”的算法,，初步了解“湊十法”,；接著采取半扶半放的方式學(xué)習(xí)“8、7加幾”的算法，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生感知“湊十法”更廣的適用范圍,；最后學(xué)習(xí)“6,、5、4加幾”的算法,，運(yùn)用“湊十法”靈活解決相關(guān)的計(jì)算問題,。在此過程中，學(xué)生經(jīng)歷了觀察,、操作,、實(shí)踐等活動(dòng)，充分體驗(yàn)了“湊十法”的內(nèi)涵,，為形成“湊十法”的模型奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),。
3．組織躍進(jìn)，抽象本質(zhì),，完成模型的構(gòu)建,。
具體生動(dòng)的情境或問題只是為學(xué)生數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)提供了可能，如果忽視從具體到抽象的有效組織,。那就無法建模,。如“平行與相交”一課，如果只是讓學(xué)生感知火車鐵軌,、跑道線,、雙杠、五線譜等具體的素材,，而沒有透過現(xiàn)象看本質(zhì)的過程,，當(dāng)學(xué)生提取“平行線”的模型時(shí)，呈現(xiàn)出來的一定是形態(tài)各異的具體事物,，而不是具有一般意義的數(shù)學(xué)模型,。“平行”的數(shù)學(xué)本質(zhì)是“同一平面內(nèi)兩條直線間距離保持不變”,。因此,，教師應(yīng)將學(xué)生關(guān)注的目標(biāo)從具體上升為兩條直線間的距離,?？梢宰寣W(xué)生通過如下活動(dòng)來引導(dǎo)認(rèn)識(shí)過程：提出問題：為什么兩條直線永遠(yuǎn)不相交?動(dòng)手實(shí)驗(yàn)思考：①在兩條平行線間作垂線。②量一量這些垂線的長(zhǎng)度,，你發(fā)現(xiàn)了什么?③你知道工人師傅是通過什么辦法使兩條鐵軌始終保持平行的嗎?經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程,，學(xué)生對(duì)平行的理解必定走向半具體、半抽象的模型,，從而構(gòu)建起真正的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí),，完成從物理模型到直觀的數(shù)學(xué)模型再到抽象的數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程。
4．重視思想，提煉方法,，優(yōu)化建模的過程,。
不管是數(shù)學(xué)概念的建立、數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn),、數(shù)學(xué)問題的解決,，核心問題都在于數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，它是數(shù)學(xué)模型的靈魂,。如“圓柱的體積”一課教學(xué),，在建構(gòu)體積公式這一模型的過程中要突出與之相伴的數(shù)學(xué)思想方法：一是轉(zhuǎn)化，將未知轉(zhuǎn)化成已知,；二是極限思想,。重視數(shù)學(xué)思想方法的提煉與體驗(yàn)，可以催化數(shù)學(xué)模型的建構(gòu),，提升建構(gòu)的理性高度,。
5．回歸生活，變換情境,，拓展模型的外延,。
從具體的問題經(jīng)歷抽象提煉的過程，初步構(gòu)建起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,，還要組織學(xué)生將數(shù)學(xué)模型還原為具體的數(shù)學(xué)直觀或可感的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí),，使已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型不斷得以擴(kuò)充和提升。如“雞兔同籠”的問題模型,，是通過研究“雞”,、“兔”建立起來的，但建立模型的過程中不可能將所有的同類事物一一列舉,。因此,，教師要帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)擴(kuò)展考察的范圍，分析當(dāng)情境,、數(shù)據(jù)變化時(shí)模型的穩(wěn)定性,。可以出示如下問題讓學(xué)生分析：“9張桌子共26人,，正在進(jìn)行乒乓球單打,、雙打比賽，單打,、雙打的各幾張桌子?”“甲,、乙兩個(gè)車間共有126人，如果從甲車間每8人中選一名代表,，從乙車間每6人中選一名代表,，正好選出17名代表。甲、乙兩車間各有多少人?”這樣,，使模型的外延不斷得以豐富和拓展,。
(二)建模的途徑
開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng),，關(guān)注的是建模的過程,，而不僅僅是結(jié)果，更多的是培養(yǎng)思維能力,，特別是創(chuàng)造能力,。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,，教師要轉(zhuǎn)變觀念,，革新課堂教學(xué)模式，以“建?！钡囊暯莵硖幚斫虒W(xué)內(nèi)容,。
1．根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，開展建?；顒?dòng),。
教材中的一些內(nèi)容已經(jīng)按照建模的思路編排，教師要多從建模的角度解讀教材,，充分挖掘教材中蘊(yùn)含的建模思想,，精心設(shè)計(jì)和選擇列入教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)問題情境，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,，建立模型,，從而解決問題。
2．上好實(shí)踐活動(dòng)課,，為學(xué)生模仿建模甚至獨(dú)立建模提供有效指導(dǎo),。
可以結(jié)合教材內(nèi)容，整合各知識(shí)點(diǎn),，使之融進(jìn)生活背景,，產(chǎn)生好的“建模問題”作為實(shí)踐活動(dòng)課的內(nèi)容。如教材中安排了這樣的問題：“找10盒火柴,，先在小組里拼一拼,，看看把10盒火柴包裝成一包有哪些不同的方法。怎樣包裝最節(jié)省包裝紙?”
3．改編教材習(xí)題,，加強(qiáng)建模教學(xué),。
教材中有些問題需要改編，使其成為建模的有效素材,。如：“圖中正方形面積是8平方厘米，求圓的面積?！笨梢岳盟_展以下的建?；顒?dòng)：設(shè)圓的半徑是r，探討出圓的面積與正方形面積之間的關(guān)系后,，建立起關(guān)系模型,，進(jìn)而解決問題。也可以另辟蹊徑,，先通過“正方形面積是6平方厘米,，求圓的面積”這一問題的解決，建立關(guān)系模型“圓的面積是正方形面積的π倍”,，從而使原問題獲得解決,。
二、小學(xué)“數(shù)學(xué)模型”的應(yīng)用
活用“數(shù)學(xué)模型”可以在很大程度上幫助學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)所學(xué)知識(shí),，順利構(gòu)建數(shù)學(xué)體系,，從而大大提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，使學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)得以提升,。
1．用模型解題,。
要學(xué)會(huì)把復(fù)雜問題納入已有模式之中，使原有模型成為構(gòu)建和解決新問題的工具,。例如：“A,、B兩地相距220千米，甲從A,、乙從B同時(shí)相向而行,，甲每小時(shí)行40千米，乙每小時(shí)行50千米,。途中乙修車停了1小時(shí),。兩車從出發(fā)到相遇用了幾小時(shí)?”可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析：以前解決的問題中兩個(gè)物體從始到終都在運(yùn)動(dòng)，而上述這個(gè)問題發(fā)生了變化,。我們可把它變成以前學(xué)過的模型,，如“讓乙車再行1小時(shí)，兩車行的時(shí)間就一樣多’’或“甲先單獨(dú)行1小時(shí)后,，剩下的路程兩車同時(shí)行駛”等,，使之成為較為熟悉、較為簡(jiǎn)單的模式,。利用原認(rèn)知模型解題,，必須基于對(duì)教材各知識(shí)要素的全面把握，進(jìn)而能夠以原認(rèn)知模型的“不變”應(yīng)數(shù)學(xué)問題的“萬變”,。
2．用“舊模型”構(gòu)建“新模型”,。
數(shù)學(xué)的概念,、法則、關(guān)系等都是數(shù)學(xué)模型,，并且總是建立在其他數(shù)學(xué)模型的材料,、模型的應(yīng)用及體現(xiàn)在對(duì)新知的逐級(jí)構(gòu)建上。如“一個(gè)數(shù)乘一位數(shù)”法則是一個(gè)模型,，在教學(xué)“一個(gè)數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)可以放手讓學(xué)生自主探究,，在其過程中，舊模型被調(diào)用,，為構(gòu)建更高一級(jí)的法則模型發(fā)揮重要作用,。隨著知識(shí)的不斷更新，學(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷得到重組優(yōu)化,，舊模型往往被具有更“上位”的新模型所代替或統(tǒng)一,，使得數(shù)學(xué)模型更具有了概括性的特征。
數(shù)學(xué)從“關(guān)于數(shù)的科學(xué)”,、“關(guān)于數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”到“關(guān)于模式的科學(xué)”,，經(jīng)歷了不斷發(fā)展的過程。因此,，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要順應(yīng)發(fā)展的要求,，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)和能力。 |
|
