我現(xiàn)在問朋友們一個(gè)問題：我們什么時(shí)候開始接觸數(shù)學(xué)建模的,？如果我說,，凡是上過一點(diǎn)學(xué)的人都或多或少地學(xué)過數(shù)學(xué)建模，你信嗎,？想一想,，我們上小學(xué)時(shí),，在做稍稍復(fù)雜一點(diǎn)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí),，例如,，著名的“雞兔同籠”問題，就得通過較為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模來求解,。到了中學(xué),，這樣的例子就更多了。所以,，我們對(duì)數(shù)學(xué)建模不必有神秘感?，F(xiàn)在國(guó)內(nèi)每年要舉行各種數(shù)學(xué)建模比賽，也使這種神秘感大大減少,。目前欠缺的是：在本科和研究生教學(xué)中,，老師對(duì)數(shù)學(xué)建模的關(guān)注和引導(dǎo)不足。

這里,，引述錢偉長(zhǎng)先生的一段話：“教學(xué)的過程,，就在于讓學(xué)生搞清‘模型’的意義。因?yàn)?/span>‘模型’反映的是事物的本質(zhì),，是對(duì)客觀事物的近似描述,。我們要引導(dǎo)學(xué)生提出‘模型’，通過抓‘模型’,，教給學(xué)生一種提出問題,、分析問題、解決問題的方法,。”（錢偉長(zhǎng),，跨越世紀(jì)，上海大學(xué)出版社,，2002,，165頁）

隨著現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展，各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域相互交叉,、融合,，特別是數(shù)理科學(xué)不斷滲透到化學(xué)、生物學(xué)領(lǐng)域,，科研中的建模顯得越來越重要,。

昨天的博文中，概略地講述了自然科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)建模問題,。今天想舉一個(gè)實(shí)際例子,，來體會(huì)數(shù)學(xué)建模的過程。應(yīng)博友的要求,，試圖簡(jiǎn)述流體力學(xué)中的基本方程——納維-斯托克斯（以下簡(jiǎn)稱為NS方程）的導(dǎo)出過程,，這一過程本身就是一個(gè)絕好的建模過程。我瀏覽過不少流體力學(xué)教材，尤其是一些工程流體力學(xué)的教科書,，其中往往把這一過程略過不提,，或者未做重點(diǎn)介紹，這實(shí)際上是放棄了一個(gè)進(jìn)行建模教學(xué)的良好機(jī)會(huì),，也會(huì)使學(xué)生難以掌握流體力學(xué)的精髓,，更糟糕的是養(yǎng)成 “知其然，不知其所以然”的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣,。

大體說來,，推導(dǎo)NS方程可采取宏觀演繹方法和微觀-介觀演繹方法，前者采用連續(xù)介質(zhì)假設(shè),，通過控制體積或流體微團(tuán)的分析,，建立一個(gè)完整的體系；微觀-介觀演繹方法采用統(tǒng)計(jì)物理手段,，從速度分布密度所滿足的波耳茲曼方程,，通過對(duì)這一方程的各種形式的取矩來導(dǎo)得NS方程。本文主要討論前者,。

NS方程的孕育

我們先來簡(jiǎn)要地回顧流體力學(xué)的發(fā)展史,，主要為了了解NS方程的孕育過程。

公元前3世紀(jì),，阿基米德（287－212BC）發(fā)現(xiàn)浮力定律（阿基米德原理）,，標(biāo)志著流體靜力學(xué)的發(fā)端；1644年托里拆里（E. Torricell,，1608-1647）制成氣壓計(jì),；導(dǎo)出小孔出流公式；1650年帕斯卡（B. Pascal,，1623-1662）提出液體中壓力傳遞的帕斯卡原理,；1668年，馬略特（E. Mariotte,，1620－1684）,，出版專著《論水和其它流體的運(yùn)動(dòng)》奠定流體靜力學(xué)和流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)。

這時(shí),，社會(huì)發(fā)展產(chǎn)生了發(fā)展流體動(dòng)力學(xué)的需求,。馬略特首次研究了流體產(chǎn)生的阻力；接著,，1678年,，牛頓（I. Newton，1642-1727）研究在流體中運(yùn)動(dòng)物體所受的阻力,，并建立牛頓粘性定律,；1738年,，丹尼爾·伯努利（D. Bernoulli， 1700-1782）出版《流體動(dòng)力學(xué)》,，將力學(xué)中的活力（能量）守恒原理引入流體力學(xué),，建立伯努利定理（伯努利方程）；1752年,，達(dá)朗貝爾（J. le R. D′Alembert，1717-1783）提出理想流體運(yùn)動(dòng)的達(dá)朗貝爾佯謬（即在無粘性流體中運(yùn)動(dòng)的物體不受阻力,；1755年,，歐拉（L. Euler，1707-1783）導(dǎo)出流體平衡方程和無粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程,，即歐拉方程,，從而建立了理想流體動(dòng)力學(xué)。此時(shí),，粘性流體動(dòng)力學(xué)已呼之欲出,。

1763年，玻爾達(dá)（J-C. Borda,，1733-1799）進(jìn)行流體阻力試驗(yàn),，給出阻力公式，開了粘性流體動(dòng)力學(xué)研究的先河,；1777年玻素（C. Bossut,，1730-1814）等完成第一個(gè)船池模型試驗(yàn)，完全確認(rèn)了流體中運(yùn)動(dòng)物體與速度的平方成正比的結(jié)論,；接著,，迪比阿（P. L. G. Du Buat，1734-1809）做了更細(xì)致的研究,，寫成《水力學(xué)原理》,。

以上工作為NS方程的導(dǎo)出在實(shí)驗(yàn)上和理論上奠定了基礎(chǔ)。1822年,，納維（C-L-M-H. Navier,，1785-1836）引進(jìn)連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，采用流體分子運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn),，考慮了分子間的相互作用（宏觀地表現(xiàn)為粘性）,，導(dǎo)出粘性流體動(dòng)力學(xué)的動(dòng)量方程；1845年,，斯托克斯（G. G. Stokes,，1819-1903）建立了更為準(zhǔn)確的粘性流體的連續(xù)介質(zhì)模型，引進(jìn)了兩個(gè)粘性系數(shù),，更簡(jiǎn)潔嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貙?dǎo)出粘性流體動(dòng)力學(xué)的動(dòng)量方程（納維－斯托克斯方程）?，F(xiàn)今的流體力學(xué)教科書就基本上采用了斯托克斯的表述形式,。

有關(guān)上述歷史的詳情可參看武際可：《力學(xué)史》（上海辭書出版社，2010,，231～244頁）,。

導(dǎo)出NS方程的基本假設(shè)

經(jīng)過梳理之后，我們知道,，導(dǎo)出NS方程采用了如下基本假設(shè)：

1）                牛頓力學(xué)假設(shè)成立,。只討論流速遠(yuǎn)小于光速和特征長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于原子尺度的情形（Einstein數(shù) 遠(yuǎn)小于1，V為特征速度,，c為真空中的光速）,，即不考慮相對(duì)論效應(yīng)和量子效應(yīng)；相對(duì)論流體力學(xué)和量子流體力學(xué)分別計(jì)及這兩種效應(yīng),，不在這里討論,；

2）                連續(xù)介質(zhì)假設(shè)成立。僅考慮Knudsen數(shù)（即流體的分子平均自由程遠(yuǎn)與問題的特征長(zhǎng)度之比）遠(yuǎn)小于1的情形,，每一宏觀小,、微觀大的流體微團(tuán)里含有足夠多的流體分子，微團(tuán)緊密地排列著,。稀薄氣體動(dòng)力學(xué)考慮Knudsen數(shù)近于或大于1的情形,；在微流動(dòng)問題中也會(huì)出現(xiàn)這一問題；這里不予研究,。

3）                熱動(dòng)平衡假設(shè)成立,。認(rèn)為運(yùn)動(dòng)的流體微團(tuán)處于熱平衡，即分子運(yùn)動(dòng)趨于平衡的弛豫時(shí)間遠(yuǎn)小于問題的特征時(shí)間,；

4）                熱力學(xué)第一,、第二定律成立（即能量守恒律和熵增定律成立）；

5）                Helmboltz速度分解定理成立（速度=平動(dòng)速度+轉(zhuǎn)動(dòng)速度+變形速度）,；

6）                廣義牛頓粘性定律成立,。假設(shè)運(yùn)動(dòng)流體中的剪切應(yīng)力等于流體應(yīng)變率分量的齊次線性組合（含廣義粘性系數(shù)81個(gè)）?？紤]此定律不成立的情形屬于非牛頓流體力學(xué)范疇,；

7）                流體各向同性假設(shè)成立。于是,，廣義粘性系數(shù)從81個(gè)縮減為2個(gè),；

8）                Stokes假設(shè)成立。即假設(shè)流體的第二粘性系數(shù)（體積粘性系數(shù)）為零,，不考慮流體壓縮或膨脹中的粘性阻滯效應(yīng),；

9）                運(yùn)動(dòng)流體中溫度不是很高且無急劇變化?？山频卣J(rèn)為流體的粘性系數(shù)與溫度無關(guān),?？梢哉J(rèn)為溫度不太高，不會(huì)產(chǎn)生電離和離解現(xiàn)象,；

10）            流體均質(zhì)假設(shè)成立,。不考慮分層流體、異重流及隨之而來的浮力等效應(yīng),。

以上各假設(shè)中,，前五個(gè)是本質(zhì)的，第六,、七個(gè)假設(shè)經(jīng)常是必需的,，后三個(gè)假設(shè)則是非本質(zhì)的，視情況需要,，可以丟掉（即存在體積膨脹,、存在高溫區(qū)或電離區(qū),、流體非均質(zhì)——分層流體）,。一言以蔽之，納維-斯托克斯方程適用于非相對(duì)論性的,、密度足夠高的,、各向同性牛頓流體運(yùn)動(dòng)的描述。在忽略體積粘性系數(shù),，假定溫度無劇變（即可假定粘性系數(shù)為常數(shù)）且流體為均質(zhì)時(shí),，方程的形式較為簡(jiǎn)單。

因此,，我們?cè)诳蒲兄幸獞?yīng)用NS方程時(shí),，首先應(yīng)考慮其成立的假設(shè)是否成立。比方說,，在研究微電子器件相關(guān)的流體力學(xué)問題,，就需要慎之又慎。

還應(yīng)注意,，狹義地說,，NS方程指的是粘性流體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量方程；廣義地說,，也可包括質(zhì)量守恒方程（連續(xù)性方程）,、能量守恒方程（能量方程），這里采用廣義說法,，實(shí)際上討論的是流體動(dòng)力學(xué)的基本方程,。

NS方程的宏觀推導(dǎo)

我們應(yīng)該知道，推導(dǎo)NS方程的出發(fā)點(diǎn)是物質(zhì)的基本守恒律——質(zhì)量守恒,、動(dòng)量守恒,、能量守恒定律,；為了使方程簡(jiǎn)約、可解,，還必須輔以流體的本構(gòu)方程,，NS方程通常采用廣義牛頓粘性定律為本構(gòu)方程，這是基于實(shí)驗(yàn)的牛頓粘性定律的推廣形式,。當(dāng)然,，為了使方程組有封閉形式，還要輔以熱力學(xué)中關(guān)于流體的狀態(tài)方程,。這里只談連續(xù)性方程,、動(dòng)量方程和能量方程的宏觀推導(dǎo)。

如所周知,，科學(xué)方法論中的推理形式主要有兩種：歸納推理和演繹推理,。前者從特殊到一般，后者從一般到特殊,。力學(xué)工作者更習(xí)慣于歸納推理,。

先說歸納推理形式?；舅悸肥牵簭牧黧w某個(gè)體積中質(zhì)量,、力和能量的動(dòng)平衡。當(dāng)這一體積很小時(shí)（即取為體積元時(shí)）,，相應(yīng)的方法就是微元法,；當(dāng)這一體積為有限大小時(shí)，相應(yīng)的方法就是控制體積法,。若所取的體積是固定的,，就對(duì)應(yīng)于流體力學(xué)中的歐拉表述思路；若所取的體積隨流體運(yùn)動(dòng)時(shí),，就對(duì)應(yīng)于流體力學(xué)中的拉格朗日描述,。因此，每個(gè)方程有四種推導(dǎo)方法,。

在寫得好的工程流體力學(xué)教科書中,，通常采用與直角坐標(biāo)的坐標(biāo)面平行的小立方體做體積元。以推導(dǎo)動(dòng)量方程為例,。采用如下的動(dòng)平衡方程：

體積元內(nèi)的動(dòng)量變化率＝從各個(gè)表面流出的動(dòng)量＋體積力＋面力（壓力梯度與剪切應(yīng)力）

這是流體力學(xué)中運(yùn)用牛頓第二定律的表示,。

按上述思路，可以導(dǎo)出連續(xù)性方程,、動(dòng)量方程和能量方程,。它可以有微分形式和積分形式；可以在直角坐標(biāo)來表示,，也可用曲線坐標(biāo)來表示,。（詳見吳望一：《流體力學(xué)》（上冊(cè)）,，北大出版社，1989）,。

再說演繹推理形式,。先建立一個(gè)抽象的量在某個(gè)運(yùn)動(dòng)體積的變化和輸運(yùn)過程，建立一個(gè)一般的定理,，現(xiàn)在通稱為雷諾輸運(yùn)定理,，然后以單位體積的質(zhì)量（即密度）、動(dòng)量和能量代入,，分別導(dǎo)出各個(gè)守恒方程,。（詳見劉應(yīng)中、繆國(guó)平：《高等流體力學(xué)》,，上海交大出版社,，2002，第一章）,。

進(jìn)一步建模的“減法”和“加法”

有了NS方程或流體力學(xué)基本方程組之后,，若碰到更簡(jiǎn)單的情況，就可采取“減法”來建模,。例如,，NS方程中去掉粘性項(xiàng)之后,，就成了歐拉方程,。如此等等。

如果碰到更復(fù)雜的情況,，則采用“加法”,，例如，要研究地球流體力學(xué)問題,，考慮到地球是一個(gè)非慣性系,，必須在動(dòng)量方程中加上科氏力項(xiàng)；再如,，若要研究湍流,，由于存在脈動(dòng)項(xiàng)，經(jīng)過雷諾平均后,，就可導(dǎo)得RANS方程,。這時(shí)出現(xiàn)了方程不封閉性問題，就得引入別的假設(shè)和方程實(shí)質(zhì)封閉,。

從NS方程導(dǎo)出得到的啟示

限于篇幅,，這里無法涉及細(xì)節(jié)，甚至來不及說到NS方程的微觀-介觀推導(dǎo),，不過我們已可得到一些啟示：

——數(shù)學(xué)建模應(yīng)建立在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上,；

——建模須從第一原理出發(fā),；

——對(duì)于復(fù)雜問題的建模必須提出合理的假設(shè)，這些假設(shè)大多有可靠的實(shí)驗(yàn)和理論依據(jù),；

——可以采用多種推理凡是和數(shù)學(xué)形式來建模,。

這篇博文的內(nèi)容稍稍專業(yè)一點(diǎn)?？床欢矝]有關(guān)系,，可以略過不讀。

我注意到,，這一系列博文的讀者中不僅有青年朋友,，而且有一些資深學(xué)者，歡迎大家補(bǔ)充,、指正,。

寫于2010年10月4日