一．     數(shù)學(xué)的重要性：
學(xué)了這么多年的書,，感覺最有用的就是數(shù)學(xué)課了,，相信還是有很多人和我一樣的想法的
。 大家回想一下：有什么課自始至終都用到,？我想了一下只有數(shù)學(xué)了,，當(dāng)然還有英語。
特別到了大學(xué),，學(xué)信號(hào)處理和通信方面的課時(shí),，更是感到了數(shù)學(xué)課的重要性。計(jì)算機(jī)：
數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),，編程算法....哪個(gè)不需要數(shù)學(xué)知識(shí)和思想,。有這樣的說法,，數(shù)學(xué)系的人學(xué)計(jì)
算機(jī)才是最牛的。信號(hào)與系統(tǒng)：這個(gè)變換那個(gè)變換的,。通信：此編碼彼編碼的,。數(shù)字圖
像與模式識(shí)別：這個(gè)概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)到處都是。線性代數(shù)和矩陣論也是經(jīng)常出現(xiàn),。
二．     數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法：
最重要的是遇到問題首先不畏懼,，然后知道類似的問題別人是如何處理，我們是否可以
借鑒,，然后再比較我們的問題和已有的問題有何異同,，已有的方法有什么不足，我們應(yīng)
從哪里著手考慮新方法,。思考路線比具體推導(dǎo)更重要,。數(shù)學(xué)并非說得越玄乎越顯水平。
真正的理解在于抓住實(shí)質(zhì),，"如果你還覺得某個(gè)東西很難,、很繁、很難記住,，說明你還沉
迷于細(xì)節(jié),，沒有抓住實(shí)質(zhì)，抓住了實(shí)質(zhì),，一切都是簡單的,。"這是概率之父Kolmogorov的
名言,。我們平時(shí)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí),，也時(shí)刻問自己，能不能向一個(gè)外行講清楚這是怎么回事
,，如果不能,，說明我們自己還沒有真正理解。數(shù)學(xué)推導(dǎo)的功夫應(yīng)該是在課下通過大量的
練習(xí)得到的,，在課下花的時(shí)間要遠(yuǎn)大于課上的時(shí)間,。
三．     數(shù)學(xué)軟件介紹：
在當(dāng)今30多個(gè)數(shù)學(xué)類（為區(qū)別于文字處理和作圖類而加的修飾詞）科技應(yīng)用軟件中，就
軟件數(shù)學(xué)處理的原始內(nèi)核而言,，可分為兩大類,。一類是數(shù)值計(jì)算（Number Crunching）
）型軟件，如Matlab,， Xmath,，MLAB等。這類軟件對(duì)大批數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的管理,、計(jì)算和
可視化能力,，運(yùn)行效率高,。另一類是數(shù)學(xué)分析（Math Analysis）型軟件，如Mathemati
ca,、Maple,，Macsyma等。它們以符號(hào)計(jì)算見長,，并可得到解析符號(hào)解和任意精度解,，但
處理大量量數(shù)據(jù)時(shí)運(yùn)行效率較低。經(jīng)過多年的國際競爭,，MATLAB已經(jīng)占據(jù)了數(shù)值型軟件
市場的主導(dǎo)地位,，處于其后的是Xmath;而Maple，Mathematica,，Macsyma位居符號(hào)軟件的
前三名（見IEEE Spectrum）,。 在國際流行的科技應(yīng)用軟件中，Mathcad 別具特色,。該
軟件的開發(fā)商Mathsoft公司一開始就把面向教學(xué)和辦公作為Mathcad的市場目標(biāo),。在對(duì)待
數(shù)值計(jì)算、符號(hào)分析,、文字處理,、圖形能力的開發(fā)商，不以專業(yè)水準(zhǔn)為追求,，而盡力集
各種功能于一體,。MathWorks公司順應(yīng)多功能需求之潮流，在其卓越數(shù)值計(jì)算和圖視能力
的基礎(chǔ)商,，又率先在專業(yè)水平上開拓其符號(hào)計(jì)算,，文字處理，可視化建模仿真和實(shí)時(shí)控
制能力,，精心營造適合多學(xué)科,、多部門要求的新一代科技應(yīng)用軟件MATLAB。
對(duì)電子系同學(xué)最常用的軟件而且基本上唯一使用的數(shù)學(xué)軟件就是matlab了,。Matlab 5.3
版本（最新版本6.0版）完全安裝,，包括幫助、以及各種工具箱一共竟需要1G多硬盤空間
,。當(dāng)然,，這一個(gè)G的容量并不是被各種垃圾文件所充斥，相反的,，它是由無數(shù)在Matlab系
統(tǒng)上運(yùn)行的函數(shù)文件所占據(jù),。由此可以看出Matlab的功能是多么的全面。1984年,，計(jì)算
數(shù)學(xué)家Steve Bangert,、Steve Kleiman,、John Little、Cleve Morer在原來 FORTRAN程
序的基礎(chǔ)上開發(fā)了一個(gè)解決線性系統(tǒng)計(jì)算問題的C語言程序,，他們給它起了個(gè)響亮的名字
Matlab(Matrix Laboratory),。從此以后，Matlab系統(tǒng)便一發(fā)而不可收拾,，成千上萬的軟
件工程師,、計(jì)算科學(xué)家、和各種應(yīng)用領(lǐng)域的科技工作人員加入了Matlab的開發(fā)者的行列
,。他們把各自科研,、應(yīng)用領(lǐng)域中的常用算法用Matlab系統(tǒng)提供的編程語言做成程序集，
于是就產(chǎn)生了Matlab的特色之一："工具箱系統(tǒng)"(Toolbox),。在Matlab5.3 中大約有幾十
個(gè)工具箱,，其中包括通信，信號(hào)系統(tǒng)分析,、離散信號(hào)分析,、優(yōu)化、偏微分方程,、小波變
換,、地圖、財(cái)經(jīng),、電力系統(tǒng),、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，數(shù)值計(jì)算等等,。工具箱中每一個(gè)函數(shù)都是采用
了該領(lǐng)域中最先進(jìn)的高效算法,，無數(shù)這樣的函數(shù)文本文件組成了Matlab這個(gè)巨無霸，由
此可見,，Matlab對(duì)于解決工程問題是極其具有優(yōu)越性的,。是我們電子系學(xué)生的最愛,。上
面介紹了Matlab的主要特色之一：工具箱,。下面來談?wù)勊牧硪粋€(gè)特色，就是與其他語
言和編譯器之間的接口,。這個(gè)問題一直是關(guān)于Matlab的最熱門的話題,。原因很簡單，1.
Matlab如此全面高效的算法和功能都是建立在Matlab提供的平臺(tái)上才能運(yùn)行,，這樣限制
了這些程序的使用范圍,，即如果想應(yīng)用這些程序，你首先必需在你的計(jì)算機(jī)上安裝一個(gè)
多達(dá)幾百兆的Matlab,，給使用帶來了不便,。另外,，由于Matlab采用的是逐行解釋的方式
來執(zhí)行代碼，因此運(yùn)行速度比編譯為exe 的二進(jìn)制文件要慢,，因此,，利用編譯器，把m文
件變?yōu)槎M(jìn)制的exe或dll文件,，會(huì)大大縮短計(jì)算時(shí)間. 盡管Matlab是一個(gè)完善的系統(tǒng),，
但畢竟術(shù)業(yè)有專攻，各種語言的可視化編程環(huán)境(如VC,，C++Builder,，Delphi等)在用戶
界面設(shè)計(jì)和其他系統(tǒng)功能方面具有Matlab不能比擬的快捷和高效，因此,，如何把Matlab
強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能與可視編程集成環(huán)境IDE結(jié)合起來,，開發(fā)用戶操作方便、計(jì)算功能完
備,、運(yùn)行快捷的應(yīng)用程序便成為程序開發(fā)者的最大愿望,。Matlab中包含了大量的矩陣運(yùn)
算、數(shù)值運(yùn)算函數(shù),、圖形操作函數(shù),、用戶圖形界面函數(shù)等等，用他可以象C語言一樣書寫
函數(shù)流程,，而且開發(fā)WIN圖形界面的用戶程序,。Matlab強(qiáng)大的功能、方便的操作給它贏得
了世界上最流行的數(shù)學(xué)軟件的桂冠,。難怪在網(wǎng)上大家奔走相告"出國前一定要把Matlab學(xué)
好",。
四．     其他數(shù)學(xué)軟件簡介（也算開開眼界盡管基本上不用（除了第一個(gè)外））：
1．      Matcom：Matcom是MathTools開發(fā)的一個(gè)m文件解釋器（即將Matlab中的編程語
言解
釋為C語言），不僅可以把m文件編譯為可以獨(dú)立執(zhí)行的exe或dll文件,，而且可以自動(dòng)產(chǎn)
生C源代碼,，供其他高級(jí)語言編譯器使用。Matcom所實(shí)現(xiàn)的在C語言中直接書寫類似于ma
tlab語句的功能,，帶來了以下幾個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)：一,，是利用Matcom編制的程序可以在任
何不安裝 Matlab系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)上運(yùn)行; 二是運(yùn)行速度比m文件快了數(shù)倍；三是實(shí)現(xiàn)了Ma
tlab強(qiáng)大的計(jì)算功能與各種C編譯器界面設(shè)計(jì) 的完美組合,。我現(xiàn)在最喜歡用的就是在vc
上作界面來方便用戶操作,，用Matcom庫實(shí)現(xiàn)算法計(jì)算，這樣相得益彰,，用這種方法編成
的程序,，操作方便簡潔，計(jì)算圖形功能強(qiáng)大,，速度快,。
2．      Mathmatica：最令人著迷的是它的完美的符號(hào)運(yùn)算功能,。所謂符號(hào)運(yùn)算是指它
所處
理的對(duì)象不僅僅是常見的數(shù)字（如12或3.14），而是一些帶有代數(shù)符號(hào)的表達(dá)式,，我們
在代數(shù)中曾經(jīng)學(xué)過運(yùn)用代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則,，對(duì)一個(gè)含有符號(hào)的表達(dá)式進(jìn)行恒等變換，一個(gè)
函數(shù)就是一種規(guī)則或者說映射,，比如定義如下一個(gè)規(guī)則,，我們就可以運(yùn)用這法則將下式
變換。而Mathematica正是具有這種類似人類思維的功能,，它能不斷學(xué)會(huì)并記憶各種變化
規(guī)則,，并把這些各式各樣的變化應(yīng)用到各種表達(dá)式上，無論形式多么復(fù)雜,，總能得到我
們想得到的帶有代數(shù)符號(hào)的結(jié)果,。而在C語言或其他編程語言中，對(duì)于一個(gè)符號(hào),，必須先
聲明,，然后賦值才能使用。因此它所表達(dá)的含意是有限的,，而Mathematica完全拋開了這
種限制,，一個(gè)符號(hào)可以表示任意對(duì)象，沒有類型限制,，真正實(shí)現(xiàn)了"代數(shù)"中的"代"字,。
Mathematica象一個(gè)不知疲倦的公式推導(dǎo)家，它能在一秒鐘之內(nèi)將一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系復(fù)
合上萬次,，它能在各種復(fù)雜表達(dá)式形式中找到最簡單的,。Mathematica對(duì)于大一、大二的
同學(xué)可能是一個(gè)福音,，對(duì)于大家在高等數(shù)學(xué),、線性代數(shù)中常碰到的對(duì)表達(dá)式求極限、微
分,、定積分,、不定積分、級(jí)數(shù),、向量代數(shù)等內(nèi)容在Mathematica都有內(nèi)部函數(shù)來直接計(jì)算
結(jié)果,。當(dāng)然,，希望大家還是自己動(dòng)手練一練公式推導(dǎo)的基本功,，把Mathematica當(dāng)作一個(gè)
檢驗(yàn)工具是無可厚非。Mathematica4.0中,， 系統(tǒng)函數(shù)涵蓋了微積分,、線性代數(shù),、概率、
幾何,、圖論,、組合數(shù)學(xué)、數(shù)論數(shù)學(xué),、特殊函數(shù)等絕大多數(shù)常用數(shù)學(xué)分支,。
3．      Mathcad 8.0，Maple 5： 著名的符號(hào)運(yùn)算數(shù)學(xué)軟件,，與Mathematica 類似,，內(nèi)
存管
理較好，SAS 6.12 統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)軟件,，壓縮文件100多M（最權(quán)威的統(tǒng)計(jì)軟件）,。
4．      其他：SPSS 8.0 社會(huì)科學(xué)統(tǒng)計(jì)軟件包；Lindo/Lingo 50線性,、非線性規(guī)劃軟件
,；A
nsys 5.4 權(quán)威的有限元法（FEM）計(jì)算軟件，安裝文件約200~300M ,；Algo 有限元法軟
件包,；Statistics 統(tǒng)計(jì)軟件 ；Datafit 數(shù)值擬合專業(yè)軟件 ,；Origin 6.0   微軟的數(shù)據(jù)
分析繪圖軟件,，可以與Excel數(shù)據(jù)庫通訊；Netlib 網(wǎng)絡(luò)并行計(jì)算庫 ,；Isoft 電磁仿真軟
件 ,；Auto 非線性動(dòng)力系統(tǒng)計(jì)算軟件 ；Flexpde 2.10 求解偏微分方程的數(shù)值軟件,；Te
cplot 8.0流速與值線流體力學(xué) ,；RATS 數(shù)值分析軟件。
一,、是數(shù)學(xué)建模競賽
數(shù)學(xué)建模競賽就是這樣,。它名曰數(shù)學(xué)，當(dāng)然要用到數(shù)學(xué)知識(shí),，但卻與以往所說的那種數(shù)
學(xué)競賽(那種純數(shù)學(xué)競賽)不同,。它要用到計(jì)算機(jī)，甚至離不開計(jì)算機(jī),，但卻不是純粹的
計(jì)算機(jī)競賽,，它涉及物理，化學(xué)，生物,，電子,，農(nóng)業(yè)，管理等各學(xué)科,，各領(lǐng)域的知識(shí),，
但也不是這些學(xué)科領(lǐng)域里的純知識(shí)競賽。它涉及各學(xué)科,，各領(lǐng)域,，但又不受任何一個(gè)具
體的學(xué)科，領(lǐng)域的局限,。它要用到各方面的綜合的知識(shí),，但還不限此。選手們不只是要
有各方面的知識(shí),，還要有駕域這些知識(shí),，應(yīng)用這些知識(shí)處理實(shí)際問題的能力。知識(shí)是無
止境的,，你還必須有善于獲得新的知識(shí)的能力,。總之,，數(shù)學(xué)建模競賽,，即要比賽各方面
的綜合知識(shí)，也比賽各方面的綜合能力,。它的特點(diǎn)就是綜合,，它的優(yōu)點(diǎn)也是綜合。在這
個(gè)意義上看,，它與任何一個(gè)學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)的知識(shí)競賽都不相同的特點(diǎn)就是不純,，它的優(yōu)點(diǎn)
也就是不純，綜合就是不純,。純數(shù)學(xué)競賽,，如中學(xué)生的國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽，或美國
大學(xué)生的普特南數(shù)學(xué)競賽,，已經(jīng)有很長的歷史,，也為大家所熟悉。特別是近若干年來我
國選手在國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽中年年取得好成績,，更使這項(xiàng)競賽在我國有很高的知名
度,，在全國各地的質(zhì)量教高的中學(xué)中廣泛開展。純數(shù)學(xué)競賽主要考核選手對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知
識(shí)的掌握情況邏輯推理及證明的能力和技巧思維是否敏捷,，計(jì)算能力的強(qiáng)弱等,。試題都
是純數(shù)學(xué)問題，考試方式是閉卷考試。參賽學(xué)生在規(guī)定的時(shí)間(一般每次為三小時(shí))內(nèi)獨(dú)
立做題,，不準(zhǔn)交頭接耳相互討論,，不準(zhǔn)看任何書籍和參考資料,，不準(zhǔn)用計(jì)算機(jī)(器) ,。考
題都有標(biāo)準(zhǔn)答案,。當(dāng)然,，選手的解答方法可以與標(biāo)準(zhǔn)答案不同，但其解答方法的正確與
否也是絕對(duì)的,，特別是計(jì)算題的得數(shù)一定要與標(biāo)準(zhǔn)答案相同,。考試結(jié)果,，對(duì)每個(gè)選手的
答案給出分?jǐn)?shù),，按分?jǐn)?shù)高低來判定優(yōu)劣。 盡管也要對(duì)參賽的團(tuán)體(代表一個(gè)國家,，地區(qū)
或?qū)W校)計(jì)算團(tuán)體總分,，但這個(gè)團(tuán)體總分也是將每個(gè)團(tuán)體的選手得分加起來得到的，在比
賽過程中同一團(tuán)體的選手們絕對(duì)不能互相幫助,。因此,，這樣的競賽從本質(zhì)上說是個(gè)人賽
而不相幫助。因此,，這樣的競賽從本質(zhì)上說是個(gè)人賽而不是團(tuán)體賽,。團(tuán)體要獲勝主要靠
每名選手個(gè)自的水平高低而不存在互相配合的問題(當(dāng)然在訓(xùn)練過程中可以互相幫助)。
這樣的競賽,，對(duì)于吸引青年人熱愛數(shù)學(xué)從而走上數(shù)學(xué)研究的道路,，對(duì)于培養(yǎng)數(shù)學(xué)家和數(shù)
學(xué)專門人才，起了很大的作用,。
隨著社會(huì)的發(fā)展,，數(shù)學(xué)在社會(huì)各領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越廣泛，作用越來越大,，不但運(yùn)用于
自然科學(xué)各個(gè)領(lǐng)域,，各學(xué)科，而且滲透到經(jīng)濟(jì),，軍事,，管理以至于社會(huì)科學(xué)和社會(huì)活動(dòng)
的各個(gè)領(lǐng)域。但是,，社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的需求并不只是需要在各部門中從事實(shí)際工作的人善于
運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)大思維放法來解決他們每天面臨的大量的實(shí)際問題,，取得經(jīng)濟(jì)效益
和社會(huì)效益。他們不是為了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)而尋找實(shí)際問題(就象在學(xué)校里做數(shù)學(xué)應(yīng)用題)
，而是為了解決實(shí)際問題而需要用到數(shù)學(xué),。而且不止是要用到數(shù)學(xué),，很可能還要用到別
的學(xué)科，領(lǐng)域的知識(shí),，要用到工作經(jīng)驗(yàn)和常識(shí),。特別是在現(xiàn)代社會(huì)，要真正解決一個(gè)實(shí)
際問題幾乎都離不開計(jì)算機(jī),?？梢赃@樣說，在實(shí)際工作中遇到的問題,，完全純粹的只用
現(xiàn)成的數(shù)學(xué)知識(shí)就能解決的問題幾乎是沒有的,。你所能遇到的都是數(shù)學(xué)和其他東西混雜
在一起的問題，不是"干凈的"數(shù)學(xué),，而是"臟"的數(shù)學(xué),。其中的數(shù)學(xué)奧妙不是明擺在那里
等著你去解決，而是暗藏在深處等著你去發(fā)現(xiàn),。也就是說,，你要對(duì)復(fù)雜的問題進(jìn)行分析
，發(fā)現(xiàn)其中的可用數(shù)學(xué)語來描述的關(guān)系或規(guī)律,，把這個(gè)實(shí)際問題化成一個(gè)數(shù)學(xué)問題,，這
就稱為數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的這個(gè)過程就稱為數(shù)學(xué)建模,。模型這個(gè)詞對(duì)我們來說并
不陌生,，它可以說是對(duì)某種事物的一種仿制品。比如飛機(jī)模型,，就是模仿飛機(jī)造出來的
,。既然是仿造，就不是真的,，只能是"假冒",，但不能是"偽劣"，必須真實(shí)地反映所模仿
的對(duì)象的某一方面的屬性,。如果只是模仿飛機(jī)的模樣,，這樣的飛機(jī)模型只要看起像飛機(jī)
就行了，可以擺在展覽館供人參觀,，照相,，但不能飛。如果要模仿飛機(jī)的飛行原理,，就
得造一個(gè)能飛起來的飛機(jī)模型,，比如航空模型比賽的作品,，它在空氣中的飛行原理與飛
機(jī)有相同之處。但當(dāng)然不像飛機(jī)那樣靠燒燃料來飛行,，外觀上也不必那么像飛機(jī),，可見
，模型所模仿的都只是真實(shí)事物的某一方面的屬性,。而數(shù)學(xué)模型,，就是用數(shù)學(xué)語言(可能
包括數(shù)學(xué)公式)去描述和模仿實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，空間形式等,。這種模仿當(dāng)然是近似
的,，但又要盡可能的逼真,。實(shí)際問題中的許多因素,，在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)你不可能，也沒
有必要把它們毫無遺漏地全部加以考慮,，只能考慮其中的最主要的因素,，舍棄其中的次
要因素，數(shù)學(xué)模型建立起來后,，實(shí)際問題化成數(shù)學(xué)問題,，就可以用數(shù)學(xué)工具，數(shù)學(xué)方法
去解答,。如果有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)工具當(dāng)然好,。如果沒有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)工具，就促使數(shù)學(xué)家們(也
包括建立數(shù)學(xué)模型的人)尋找和發(fā)展出新的數(shù)學(xué)工具去解決它,，這又推動(dòng)了數(shù)學(xué)本身的發(fā)
展,。例如，開普勒由行星運(yùn)動(dòng)的觀測數(shù)據(jù)總結(jié)出開普勒三定理(這就是行星運(yùn)行的數(shù)學(xué)模
型),，牛頓試圖用自己發(fā)現(xiàn)的力學(xué)定理去解釋它,，但當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)工具是不夠用的，這使了
微積分的發(fā)明,。求解數(shù)學(xué)模型,，除了用到數(shù)學(xué)推理以外，通常還要處理大量數(shù)據(jù),，進(jìn)行
大量計(jì)算,。這在電子計(jì)算機(jī)發(fā)明之前是很難實(shí)現(xiàn)的。因此,，很多數(shù)學(xué)模型,，盡管從數(shù)學(xué)
理論上解決了，但由于計(jì)算量太大而沒法得到有用的結(jié)果,，還是只有束之高閣,。而計(jì)算
機(jī)的出現(xiàn)和迅速發(fā)展,，給用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題打開了廣闊的道路。而在現(xiàn)在,，要真
正解決一個(gè)實(shí)際問題,，離了計(jì)算機(jī)幾乎是不行的。數(shù)學(xué)模型建立起來了,，也用數(shù)學(xué)方法
或數(shù)據(jù)方法求出了解答,，是不是就萬事大吉了呢?不是。既然數(shù)學(xué)模型只能近似地反映實(shí)
際問題中的關(guān)系和規(guī)律,，到底反應(yīng)的好不好,，還需要接受檢驗(yàn)。如果數(shù)學(xué)模型建立的不
好,，如果沒有正確地描述所給的實(shí)際問題,，數(shù)學(xué)解答再正確也是沒有用的。因此,，在得
出數(shù)學(xué)解答之后還要讓所得的結(jié)論接受實(shí)際的考察,，看它是否合理，是否可行,。如果不
符合實(shí)際,，還應(yīng)設(shè)法找出原因，修改原來的模型,，重新求解和檢驗(yàn),，直到比較合理可行
，才算是得到一個(gè)解答,，可以先付諸實(shí)施,，但是，十全十美的答案是沒有的,，已得到的
答案一定還有改進(jìn)的余地,，還可以根據(jù)實(shí)際情況，或者繼續(xù)研究和改進(jìn);或者暫停告一段
落,，待將來有新的情況和要求后再作該進(jìn),。
上面所說的建立數(shù)學(xué)模型來解決問題的過程，是各行各業(yè)各個(gè)領(lǐng)域大量需要的,，也是我
們的學(xué)生在走上工作單位后常常要做的工作,。做這樣的事情，所需要的遠(yuǎn)不只是數(shù)學(xué)知
識(shí)和解數(shù)學(xué)題的能力,，而需要多方面的綜合能力,。社會(huì)對(duì)具備這種能力的人的需求，比
對(duì)數(shù)學(xué)專門人才的需求要多的多,。因此,，在學(xué)校里就應(yīng)當(dāng)努力陪養(yǎng)和提高學(xué)生在這方面
的能力,。當(dāng)然有多種形式來達(dá)到這個(gè)目的。比如開設(shè)數(shù)學(xué)模型方面的課程;讓學(xué)生多接觸
實(shí)際工作,，得到鍛煉,，獲得知識(shí)及其他各方面的能力)去參與解決問題的全過程。這些實(shí)
際問題并不限于某一方面,，可以涉及非常廣泛的,，并不固定的范圍。這樣來促進(jìn)應(yīng)用人
才的培養(yǎng),。
二,、數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)
1．      數(shù)學(xué)模型的定義
現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型還沒有一個(gè)統(tǒng)一的準(zhǔn)確的定義，因?yàn)檎驹诓煌? 的角度可以有不同的定義
,。不過我們可以給出如下定義,。: "數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界和為一種特殊目的而作
的一個(gè)抽象的、簡化的結(jié)構(gòu),。" : 具體來說,，數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的,，用字母,、數(shù)
學(xué)及其它:數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象,、框圖等描述客觀事物的特
征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式,。
2．建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟
第一、   模型準(zhǔn)備   (問題的提出與分析)
首先要了解問題的實(shí)際背景,，明確建模目的,，搜集必需的各種信息，盡量弄清對(duì)象的特
征,。
第二,、   模型假設(shè)與符號(hào)說明
根據(jù)對(duì)象的特征和建模目的，對(duì)問題進(jìn)行必要的,、合理的簡化,，用精確的語言作出假設(shè)
，是建模至關(guān)重要的一步,。如果對(duì)問題的所有因素一概考慮,，無疑是一種有勇氣但方法
欠佳的行為，: 所以高超的建模者能充分發(fā)揮想象力,、洞察力和判斷力 ,，善于辨別主次
，而且為了使處理方法簡單,，應(yīng)盡量使問題線性化,、均勻化,。
第三、   模型的建立與求解
通過對(duì)問題的分析和模型假設(shè)后建立數(shù)學(xué)模型（模型運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語言來描述）
,，并過設(shè)計(jì)算法,、運(yùn)用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)等途徑（根據(jù)模型的特征和要求確定）求解模型！此
過程是整：個(gè)數(shù)模過程的最重要部分,，需慎重對(duì)待,！
第四、   型的檢驗(yàn)
即通過問題所提供的數(shù)據(jù)或相對(duì)于實(shí)際生活中的情況對(duì)模型的合理性,、準(zhǔn)確性等進(jìn)行判
別模型的優(yōu)劣,！可通過計(jì)算機(jī)模擬等手段來完成！
第五,、   模型的完善與推廣
此步驟可根據(jù)建模時(shí)具體情況而定,！
關(guān)于建模的步驟并不一定必須按照以上幾步進(jìn)行，有興趣的同仁可參考建模的相關(guān)書籍
,。
三,、數(shù)學(xué)建模參考資料：
1、《數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)》 王樹禾 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社 1996
2,、《數(shù)學(xué)模型》 譚永基,，俞文 復(fù)旦大學(xué)出版社 1997
3、《數(shù)學(xué)建模競賽教程》 李尚志 江蘇教育出版社 1996
這些書均可在圖書館借到或在九章書店買到,。其他方面的書也很多,，有足夠時(shí)間可以去
翻翻。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的有關(guān)信息,，可在Internet上中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)
會(huì) （CSIAM）的主頁內(nèi)瀏覽,，網(wǎng)址為：http://www./。數(shù)學(xué)建模比賽每年
的9月下旬舉行,，每年6月份報(bào)名,，三人組成一個(gè)參賽隊(duì)。欲參加比賽的同學(xué)應(yīng)該到數(shù)學(xué)
系旁聽數(shù)學(xué)模型課或者選修公共選修課"數(shù)學(xué)模型",。
《吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》
本書只適合超級(jí)大牛同學(xué)做,。圖書館有借和海淀圖書城的九章數(shù)學(xué)書店有售。
《數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》
裴禮文著,，高教出版社,。本書可謂寶典級(jí)的圣書。適合一般牛的同學(xué),。圖書館不多,，九
章書店有售。
《大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題解析選編》
第二版,，李心燦等編,，高教出版社,。凡是科協(xié)課外小組的同學(xué)要求人手一本。里面收集
了北京市大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的歷年真題,，比較好,，對(duì)于水平中等及中等以上的同學(xué)均有意
義。九章數(shù)學(xué)書店有售,。
《高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題解與指導(dǎo)》
陳文燈著,，上下兩本，北京理工大學(xué)出版社：該書講解十分詳盡,，對(duì)于各類水平的同學(xué)
均有很大的幫助,。嘔血推薦！??！九章書店有售。
《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》
理工類,，陳文燈等著,。該書高數(shù)內(nèi)容與上本書基本一致。但該書還有線性代數(shù),，概率論
等部分,，非常全面。圖書館有借,。各大書店均有售,。適合所有水平的同學(xué)。
《高等數(shù)學(xué)解題過程的分析和研究》
錢昌本著,。該書主要介紹高等數(shù)學(xué)的思維方法。例題很有啟發(fā)性,。圖書館有借,。九章書
店有售。
從常微分方程開始,，數(shù)學(xué)課就變成沒底的東西,，每一個(gè)標(biāo)題做下去都是數(shù)學(xué)研究里面龐
大的一塊。對(duì)于一門基本課程應(yīng)該講些什么也始終討論不斷,。下面開始說參考書,，毫無
疑問，我們還是得從我們強(qiáng)大的北方鄰國說起,。
《常微分方程講義》
彼得羅夫斯基,。在20世紀(jì)數(shù)學(xué)史上，這位前莫斯科大學(xué)校長占據(jù)著一個(gè)非常特殊的地位
,。從學(xué)術(shù)上說,，他在偏微那一塊有非常好的工作,，五十年代谷先生去蘇聯(lián)讀學(xué)位的時(shí)候
還參加過他主持的討論班。他從三十年代末開始就轉(zhuǎn)向行政工作,。在他早年的學(xué)生里面
有許多后來蘇聯(lián)的高官,，所以他就利用和這些昔日學(xué)生的關(guān)系為蘇聯(lián)數(shù)學(xué)界構(gòu)筑了一個(gè)
保護(hù)傘，他這本書在相當(dāng)長的時(shí)期里是標(biāo)準(zhǔn)教材,。
《常微分方程》
龐特里亞金,。龐特里亞金院士十四歲時(shí)因化學(xué)實(shí)驗(yàn)事故雙目失明，在母親的鼓勵(lì)和幫助
下,，他以驚人的毅力走上了數(shù)學(xué)道路,，別的不說，光看看他給后人留下的"連續(xù)群",，"最
佳過程的數(shù)學(xué)理論",，你就不得不對(duì)他佩服得五體投地，有六體也投 下來了,。他的這本
課本就是李迅經(jīng)先生他們翻譯的,。此書影響過很多我們的老師輩的人物。
下面轉(zhuǎn)到歐美方面,，
《Theory of Ordinary Differnetial Equations》
Coddington & Levinson,。這本書自五十年代出版以來就一直被奉為經(jīng)典。說老實(shí)話這書
里東西太多,，自己看著辦吧,。
《Differential Equations ，Linear Algebra and Dynamical Systems》
Hirsh & Smale(中譯本"微分方程,，線性代數(shù)和動(dòng)力系統(tǒng)"),。這兩位重量級(jí)人物寫的書其
實(shí)一點(diǎn)都不難念，非常易懂,。所涉及的內(nèi)容也是非?；荆匾?。關(guān)于作者嘛,，可以
提一句，Smale現(xiàn)在在香港城市大學(xué),，身價(jià)是三年1000萬港幣,。我想稱他為在中國領(lǐng)土上
工作的最重要的數(shù)學(xué)家應(yīng)該沒有什么疑問。
《常微分方程》
Arnol'd,。必須承認(rèn),，我對(duì)Arnol'd是相當(dāng)崇拜的。作為Kolmogorov的學(xué)生，他們兩就占
了KAM里的兩個(gè)字母,。他寫的書,，特別是一些教材以極富啟發(fā)性而著稱。實(shí)際上,，他的習(xí)
慣就是用他自己的觀點(diǎn)把相應(yīng)的材料全部重新處理一遍,。從和他的幾個(gè)學(xué)生的交往中我
也發(fā)現(xiàn)他教學(xué)生的本事也非常大。特別是他的學(xué)生之間非常喜歡討論,，可能是受他言傳
身教的作用吧,。
《常微分方程教程》
丁同仁，李承治,。這絕對(duì)是中國人寫的最好的常微課本,，內(nèi)容翔實(shí)，觀點(diǎn)也比較高,。再
說一句,，就是真的對(duì)解方程感興趣的話不妨去看看。
《常微分方程手冊(cè)》
卡姆克(Kamke),。那里面的方程多得不可勝數(shù),，對(duì)于變系數(shù)常微分方程，有一類很重要的
就是和物理里常用的特殊函數(shù)有關(guān)的,。對(duì)于這些方程,，現(xiàn)在絕對(duì)是物理系的學(xué)生比數(shù)學(xué)
系的學(xué)生更熟悉。我的疑問是不是真有必要象現(xiàn)在物理系的"數(shù)學(xué)物理方法"課里那樣要
學(xué)生全部完全記在心里,。事實(shí)上,，我很懷疑，不學(xué)點(diǎn)泛函的觀點(diǎn)如何理解這些特殊函數(shù)
系的"完備性"現(xiàn)象,。
《數(shù)學(xué)物理方法》
第一卷,，Courant-Hilbert?？梢哉f達(dá)到古典處理方法的頂峰了,，但是看起來 并不是很
容易的。我的理解是學(xué)點(diǎn)泛函的觀點(diǎn),，可以獲得一些統(tǒng)一的處理方法，可能比一個(gè)函數(shù)
一個(gè)方法學(xué)起來更容易一些,。
《特殊函數(shù)概論》
王竹溪,，郭敦仁。它的存在使人懷疑是不是可以只對(duì)特殊函數(shù)的性質(zhì)了解一些框架性的
東西,，具體的細(xì)節(jié)要用的時(shí)候去查書,。要知道，查這本書并不是什么丟人的事情，看看
揚(yáng)振寧先生為該書英文版寫的序言吧："(70年代末)…我的老師王竹溪先生送了我一本剛
出版的'特殊函數(shù)概論'...從此這本書就一直在我的書架上,，...經(jīng)常在里面尋找我需要
的結(jié)論..."連他老先生都如此,，何況我們？
以上很多只適合數(shù)學(xué)超級(jí)大?？?。對(duì)于我們電子系同學(xué)而言，學(xué)第7本書就行了,。能明白
微分方程的定性理論就可以了,。因?yàn)橛泻芏辔⒎址匠淌菦]有解析解的。而且只有學(xué)過定
性理論才可以學(xué)習(xí)自動(dòng)控制原理,。
有的地方管這叫"近世代數(shù)",，反正近不近各人自己看著辦吧!從歷史上說，可以認(rèn)為嚴(yán)肅
的討論是從伽羅華開始的,，他在決斗前夜寫下的那封著名的信件(里面有"你可以公開向
Jacobi或者Gauss提出請(qǐng)求,，不是就這些結(jié)果的正確性，而是重要性,，給出意見....",，
現(xiàn)藏法國國家圖書館)。在后來的發(fā)展過程中,，代數(shù)結(jié)構(gòu)話的語言逐步滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)
角落,。到今天這已經(jīng)是一門無處不在的分支了。
《代數(shù)學(xué)引論》
丁石孫,，聶靈沼,。這本書的特點(diǎn)和北大的那本高等代數(shù)一樣，就是沒什么自己的特色,，
原因是這本書從體例到習(xí)題在很大程度上參考了N.Jacobson "Basic Algebra I,，II" J
acobson在代數(shù)領(lǐng)域也屬于權(quán)威，是華先生同時(shí)代的人,。這本書從觀點(diǎn)上說是相當(dāng)現(xiàn)代化
的,，比同作者的那本。N. Jacobson "Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,，31,，3
2) (中譯本:抽象代數(shù)學(xué)，共三卷,，)要改進(jìn)不少,。從習(xí)題的角度上說，可以看徐誠浩"抽
象代數(shù)--方法導(dǎo)引",。
可以羅列的參考書還有很多：S.Lang "Algebra" Lang寫書以清晰著稱,，他的這本書還得
過AMS發(fā)的Steel優(yōu)秀圖書獎(jiǎng)；莫宗堅(jiān) "代數(shù)學(xué)(上，下)" 北大數(shù)學(xué)叢書里面的一本,，感
覺不錯(cuò),。數(shù)學(xué)系一些同學(xué)對(duì)此書推崇倍至。熊全淹"近世代數(shù)" 這本書的好壞不敢評(píng)論,，
不過這本書有個(gè)很大的特點(diǎn),，就是作者收集了很多小文章，比如許多American Mathema
tical Monthly 上的短文,。依他開列的參考文獻(xiàn)到系資料室去找,，可以看到很多有趣的
東西。其它的就是比較專門的東西了,。比如群論,，就有影響過無數(shù)學(xué)者的庫洛什"群論"
注意這本書第二版和第三版中譯本的封面一模一樣?；蛘叨螌W(xué)復(fù)先生的導(dǎo)師Robinson寫
的Robinson "A course in the theory of Groups"(GTM 80)再有象(群,，代數(shù))表示論，
環(huán)論,，模論等等,，都有專著，對(duì)于Galois理論,，有一本.E.Artin "伽羅華理論"非常薄,，
講得很精彩，絕對(duì)是本傳世佳作,。
對(duì)電子系同學(xué)而言,，抽象代數(shù)在通信中的編碼理論里有很多應(yīng)用。如果有這個(gè)基礎(chǔ),，學(xué)
習(xí)信息論與編碼將游刃有余,。
《數(shù)學(xué)物理方程--方法導(dǎo)引》
陳恕行，秦鐵虎,。是一本非常好的講習(xí)題的書,。里面的習(xí)題如果能夠全部做一遍的話，
應(yīng)付考試是綽綽有余了
《數(shù)學(xué)物理方法"(I,，II)》
R. Courant,， D. Hilbert?？梢哉f是毫無疑問的經(jīng)典,。按照一些老師的說法，不管橢圓
,，雙曲，拋物里面的哪一塊這本書里面的相應(yīng)章節(jié)都是經(jīng)典，問題就是這書放在一起你
是沒辦法當(dāng)教材來學(xué)的,，所以只能有空翻翻啦....
《數(shù)學(xué)物理方程》
谷超豪,，李大潛，譚永基(?),，沈緯熙,，秦鐵虎，(上?？萍?,。這本書在這樣一個(gè)水平上
(指不引進(jìn)廣義函數(shù)， 弱解等泛函里面的概念)是相當(dāng)不錯(cuò)的,。注意那些經(jīng)典方程的推導(dǎo)
里面多少有一些近似的過程,，這其實(shí)從某種意義上反應(yīng)了所對(duì)應(yīng)的微分算子的某些性質(zhì)
的穩(wěn)定性。比如,，對(duì)于經(jīng)典的波動(dòng)方程,，3維及以上的奇數(shù)維成立惠更斯(Huygens)原理
(這可以看作 經(jīng)典物理的時(shí)空里面空間維數(shù)必須是奇數(shù)的一個(gè)證據(jù))，你在其它一些書(
或者說以后)可以看到,，差不多二階雙曲方程里面只有波動(dòng)方程有這樣的性質(zhì)--但是別忘
了,，高維波動(dòng)方程的推導(dǎo)里面是有近似的，這說明什么一階偏微分方程似乎是安排在常
微的最后教的,。
《實(shí)變函數(shù)論》
那湯松,。在下冊(cè)里面還有關(guān)于超限歸納法的描述。
《實(shí)分析中的反例》
汪林,。這是本非常非常好的書,，在以后的幾章里面我們也都要引用這本書。作者是程民
德先生的弟子,。要記住的是,，這不僅僅是一本講例子的書!
《實(shí)變函數(shù)》
周民強(qiáng)(第二版) 這本書寫得不錯(cuò)，總的說來最大的好處恐怕就是習(xí)題很多,，而且都是能
做的習(xí)題,。
泛函分析對(duì)電子系同學(xué)而言只要找?guī)妆竞芑A(chǔ)的書（特別是注明為工科學(xué)生寫的，不要
實(shí)變函數(shù)和測度論基礎(chǔ)的）,，理解范數(shù),，希爾伯特空間等概念即可。
高等代數(shù)可以認(rèn)為處理的是有限維線性空間的理論,。如果嚴(yán)格一點(diǎn),，關(guān)于線性空間的理
論該叫線性代數(shù)，再加上一點(diǎn)多項(xiàng)式理論(就是可以完完全全算做代數(shù)的內(nèi)容的)就叫高
等代數(shù)了,。這門課在西方的對(duì)應(yīng)一般叫Linear Algebra,，就是蘇聯(lián)人喜歡用高等這個(gè)詞
,，你可以在外國教材中心里面找到一本Kurosh(庫落什)的Higher Algebra。從這門課的
內(nèi)容上說,，是可以有很多種講法的,。線性空間的重點(diǎn)自然是線性變換，那么如果在定義
空間和像空間里面取定一組基的話,，就有一個(gè)矩陣的表示,。因此這門課的確是可以建立
在矩陣論上的。而且如果要和數(shù)值搭界的話還必須這么做,。
《矩陣論》
甘特瑪赫爾,。我覺得這恐怕是這方面最權(quán)威的一本著作了。其中譯者是柯召先生,。在這
套分兩冊(cè)的書里面,，講到了很多不納入通常課本的內(nèi)容。舉個(gè)例子,，大家知道矩陣有Jo
rdan 標(biāo)準(zhǔn)型,，但是化一個(gè)矩陣到它的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣該怎么求？請(qǐng)看"矩陣論
",。
《線性代數(shù)和矩陣論》
許以超,。這本書寫得很不錯(cuò)的，習(xí)題也不錯(cuò),。必須指出,，這里面其實(shí)對(duì)于空間的觀念很
重視。對(duì)電子學(xué)系的中等水平以上同學(xué)來講這本書很不錯(cuò)的,。
《高等數(shù)學(xué)引論》
華羅庚,。華先生做數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)是其初等直觀的方法別具一格，在矩陣?yán)碚摲矫嫠?BR>有很好的工作,。甘特瑪赫爾的書里面你只能找到兩個(gè)中國人的名字,，一個(gè)是樊畿先生，
另一個(gè)就是華先生,?？赡苁撬谝淮伟严率鲇^點(diǎn)引進(jìn)中國的數(shù)學(xué)教材的:n階行列式是n個(gè)
n維線性空間的笛卡爾積上唯一一個(gè)把一組標(biāo)準(zhǔn)基映到1的反對(duì)稱線性函數(shù)。這就是和多
線性代數(shù)或者說張量分析的觀點(diǎn)很接近了,。
《高等代數(shù)"(上,，下)》
丘維聲。相當(dāng)不錯(cuò),。特點(diǎn)是很全,，雖然在矩陣那個(gè)方向沒有上面提到的幾本書將得深，
但是在空間理論,，具體的說一些幾何化的思想上講得還是非常清楚的,。多項(xiàng)式理論那塊
也講了不少,。
《Problems in Combinatorics》
Lovasz。這是本相當(dāng)好的習(xí)題集,，作者Lovasz是唯一一個(gè)得過wolf獎(jiǎng)的組合學(xué)家,。唯一
的可能有麻煩的地方這本書的塊頭大了點(diǎn)，不過千萬不要被嚇倒!
《組合學(xué)引論》
I.Tomescu,。首先，這是本很好的書,，不管上不上這門課都值得一讀,。其次，這本書的習(xí)
題不是很好做的,，特別是沒有答案,。(嚴(yán)肅的說，當(dāng)你看到許多習(xí)題后面都標(biāo)有人物,，年
代,，就該知道這些結(jié)果不是那么平凡的了)
《Problem in graph theory and combinatorics》
I.Tomescu。這本書有比較詳細(xì)的提示和解答,，里面的題目也非常好,。
《Graph Theory and Applications》
Bondy，Murty(中譯本:圖論及其應(yīng)用,，科學(xué)出版社),。這本書內(nèi)容翔實(shí)，寫得很容易讀,，
而且有許多難度適當(dāng)?shù)牧?xí)題,，注意這些習(xí)題不僅在書后有簡短的提示，而且在圖書館里
面有一本習(xí)題解答,。很適合電子系的同學(xué)閱讀,。
《Graph Theory"(圖論)》
Harary(哈拉里)。這本書里面的習(xí)題基本上都是從人家的論文里面直接找來的,，所以有
相當(dāng)難度,，雖說那里給出了非常詳細(xì)的文獻(xiàn)來源，但是有些還是很不好找的,。這本書其
實(shí)已經(jīng)有點(diǎn)專著的味道了,。
《組合學(xué)引論》
C.L.Liu(劉炯朗)。這書是魏萬迪翻的,，就是印刷質(zhì)量差了點(diǎn),。其它都還好，在北美的評(píng)
價(jià)也不錯(cuò),。很適合電子系同學(xué)閱讀,。
對(duì)電子系同學(xué)而言,，組合數(shù)學(xué)與圖論不光在計(jì)算機(jī)算法編制上有應(yīng)用，在通信網(wǎng)中也有
很多應(yīng)用,。
《Numerical Recipes》系列全套
包括《Numerical Recipes In C》,，《Numerical Recipes In Fortran77》，《Numeri
cal Recipes In Fortran90》,。這是經(jīng)典中的經(jīng)典,，是劍橋，哈佛等一流大學(xué)教授合寫
的,。嘔血推薦,。圖書館有Numerical Recipes In C的中譯本，不過特別厚,。對(duì)電子系同
學(xué)來講,，基本的數(shù)值計(jì)算方法只要理解基本原理即可，無需自己動(dòng)手編制,，有很多成熟
的軟件包編制的非常好,，而且在實(shí)際工作中查手冊(cè)找到方法，然后用諸如matlab之類軟
件包編制即可,。