小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法解讀與備課專輯

理解數(shù)學(xué)  改變課堂

——寫在前面的話

為了幫助廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師提升專業(yè)素養(yǎng),，進(jìn)一步提高實施新課程的水平,，從而更有效地進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，全面提高教學(xué)質(zhì)量,，本期特別推出《新課程小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法解讀與備課專輯》,。此《專輯》以小學(xué)數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域（數(shù)與代數(shù)、空間與圖形,、統(tǒng)計與概率,、實踐與綜合應(yīng)用）內(nèi)容為邏輯框架，兼顧了多種版本的教材,，從各學(xué)段教學(xué)的重點難點內(nèi)容出發(fā),，通過豐富、精彩的案例對教師的的備課,、教學(xué)給予具體的指導(dǎo)和建議,，特別是對教師在教學(xué)中普遍存在的問題與困惑進(jìn)行了澄清和提示。此《專輯》著眼于新課程小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵,，闡釋了小學(xué)階段的核心教學(xué)理念,、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，并以開闊的視野,，對小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了整體解讀,，是教師朋友提高教學(xué)能力的良師益友。

此《專輯》的撰寫者均為對數(shù)學(xué)教學(xué)有著深刻理解、教學(xué)積累深厚,、具有新課程教學(xué)實力的著名特級教師,、優(yōu)秀教師，他們研究的是日常課程教學(xué)中的實踐問題,，但又不囿于對日常教學(xué)的一般認(rèn)識,，在文章中，通過闡述和課例分析,，提示了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)和規(guī)律,，他們以個人的研究專長，展現(xiàn)了自己在相應(yīng)領(lǐng)域中的教學(xué)精華,，使《專輯》閃爍著思想與實踐的光輝,。

此《專輯》的編輯工作長達(dá)半年之久，期間我們曾請一些教學(xué)專家和一線教師試讀,，聽取他們的讀后感,，因此《專輯》是在反復(fù)研究和修改后面世的。

此《專輯》文章觀點精粹如下：

數(shù)與代數(shù)

理解意義  培養(yǎng)數(shù)感

——“數(shù)的認(rèn)識”備課解讀與難點透視

認(rèn)數(shù)教學(xué)以理解數(shù)的意義為重點,。讓學(xué)生理解數(shù)的意義,，建立正確的數(shù)的概念一般有兩個角度：一是從數(shù)的組成去建構(gòu)；二是聯(lián)系實際來體會,。

數(shù)感需要培養(yǎng),。數(shù)感與具有數(shù)學(xué)知識的多少、理解數(shù)學(xué)知識的程度有關(guān),，但更多地表現(xiàn)為應(yīng)用數(shù)與運算的態(tài)度和意識。

如果把抽象的數(shù)學(xué)知識與具體的圖形結(jié)合起來,，挖掘和利用概念中的直觀成分,，能有效地降低教學(xué)難度。

把握基本矛盾  走向有效教學(xué)

——“數(shù)的運算”備課解讀與難點透視

在口算教學(xué)中,，除了讓學(xué)生理解算理,、掌握算法，還要注重口算訓(xùn)練的科學(xué)合理性,。

基本算法并不是唯一算法,，基本算法應(yīng)該是指同一思維層次上的方法群。多數(shù)學(xué)學(xué)生喜歡的方法,，教師易教,、學(xué)生易學(xué)的方法，對后續(xù)知識的掌握有價值的方法,，是最理想的基本算法,。

在算理直觀與算法抽象之間應(yīng)該架設(shè)一座橋梁，讓學(xué)生在充分體驗中逐步完成由動作思維向形象思維，再向抽象思維的發(fā)展過程,。

把握“轉(zhuǎn)折”：從“算術(shù)”走向“代數(shù)”

——“式與方程”和“正比例,、反比例”備課解讀與難點透視

在教學(xué)認(rèn)識方程時，教師要有“建模”意識,。解方程不能演繹為操作,、訓(xùn)練解方程技巧的過程，而應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換,、深刻理解“相等關(guān)系”的過程,。

比的教學(xué)重在理解比的意義，而不只是解決實際問題,。

一個凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)領(lǐng)域

——“探索規(guī)律”備課解讀與難點透視

探索規(guī)律作為小學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)新的部分,，也需要系統(tǒng)的眼光，構(gòu)建一個適合學(xué)生學(xué)習(xí)的序列,。

從在一個單位時間設(shè)計一個教學(xué)活動的教學(xué)角度看,，教材的編寫和課堂教學(xué)的設(shè)計都是選擇的藝術(shù)。教學(xué)目標(biāo)的多元化也促使教學(xué)時要更注重效率,。

空間與圖形

認(rèn)識圖形世界  發(fā)展空間觀念  提升數(shù)學(xué)思考

——“圖形的認(rèn)識,、測量”備課解讀與難點透視

該告訴的不妨告訴；只是以怎樣的方式“告訴”,，卻是一門藝術(shù),。

唯有將觀察活動與想象、推理,、表達(dá),、思考有機(jī)結(jié)合為一體，觀察能力才能真正得以培養(yǎng),。

要善于引導(dǎo)學(xué)生在適當(dāng)?shù)臅r候跳出具體的,、直觀的解題方法，以相對抽象,、更為一般的層面上認(rèn)識算法,、理解問題結(jié)構(gòu)。

“圖形與位置”的備課與教學(xué)

準(zhǔn)確把握教學(xué)目標(biāo),，不要偏離“初步認(rèn)識”的整體定位。

要依據(jù)兒童認(rèn)知空間方位的特點確立教學(xué)的難點和組織教學(xué),。

要善于借助適當(dāng)?shù)那榫撑c活動,，以提示數(shù)學(xué)知識的實際背景與現(xiàn)實原型。

“圖形與變換”的備課與教學(xué)

什么是變換,？什么是平移,、旋轉(zhuǎn)和軸對稱,？教師先要理解這些基本的概念。

要注意選擇典型的,、更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)意義的教學(xué)活動,，否則就容易遮蔽數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

要注意引導(dǎo)學(xué)生對觀察對象加以適當(dāng)?shù)暮喕?、抽象,、忽略一些無關(guān)緊要的細(xì)節(jié)。

統(tǒng)計與概率

“所有的判斷都是統(tǒng)計學(xué)”

——“統(tǒng)計與概率”教學(xué)備課難點解析

以不確定性為研究對象的統(tǒng)計與概率有其固有的思想方法,，它有別與講究因果關(guān)系的邏輯思維,。

學(xué)生憑借經(jīng)驗就能判斷“可能”和“一定”，還需要做實驗嗎,？鼓勵學(xué)生用真實的數(shù)據(jù),、活動以及直觀的模擬實驗去檢查、修正他們對概率的認(rèn)識,。實驗不僅要做,，而且是要多次做。

“動手實踐,，主動探索”絕不能簡單地等同于“動手活動”,，二者的主要區(qū)別在于前者有著明確的目的性和高度的思維含量。

實踐與綜合應(yīng)用

是一個領(lǐng)域,，更是一種數(shù)學(xué)教育價值觀

——“實踐與綜合應(yīng)用”備課解讀與難點透視

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理解意義  培養(yǎng)數(shù)感

——“數(shù)的認(rèn)識”備課解讀與難點透視

深圳  黃愛華  羅忱紅

    一,，內(nèi)容變化。

數(shù)的認(rèn)識在小學(xué)主要分為認(rèn)識整數(shù),、認(rèn)識分?jǐn)?shù)（正分?jǐn)?shù)）和認(rèn)識小數(shù)三大塊,。我們知道，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》對數(shù)系作了以下規(guī)定：

                正整數(shù)

         整數(shù)   0

                負(fù)整數(shù)

有理數(shù)          正分?jǐn)?shù)

         分?jǐn)?shù)

                負(fù)分?jǐn)?shù)

（正整數(shù)和0統(tǒng)稱為自然數(shù)）

與以往相比,，這個規(guī)定蘊(yùn)含的主要變化有：（1）明確規(guī)定了0是自然數(shù),。過去教材把“用來表示物體個數(shù)的1，2,，3，4,，…的數(shù),，叫做自然數(shù)”。“0和自然數(shù)都是整數(shù),。”而現(xiàn)在則是：正整數(shù)和0統(tǒng)稱自然數(shù),。（2）增加了認(rèn)識負(fù)整數(shù)的教學(xué)內(nèi)容，從而在小學(xué)階段完成了對整數(shù)的認(rèn)識,。

二,，整數(shù)的認(rèn)識。

首先認(rèn)識自然數(shù),，是因為生活中存在著各種各樣不同的數(shù)量,，學(xué)生在入學(xué)前,，就有了一定的生活經(jīng)驗。通過數(shù)數(shù),，在認(rèn)識最基本的數(shù)學(xué)符號1,，2，3,，…的同時知道自然數(shù)的作用是用來表示物體的個數(shù),。初步體會數(shù)學(xué)的作用和特征，即數(shù)學(xué)可以解決生活中有關(guān)數(shù)及其關(guān)系的問題以及數(shù)學(xué)的抽象性和符號性。

教材處理自然數(shù)的認(rèn)識大致可以分為四大塊：認(rèn)識100以內(nèi)的數(shù),、認(rèn)識比100大的數(shù),、因數(shù)與倍數(shù)、認(rèn)識負(fù)數(shù)。在安排認(rèn)識100以內(nèi)數(shù)的時候,，大多教材都會細(xì)分為三個階段：第一階段：認(rèn)識10以內(nèi)的數(shù)（含10以內(nèi)數(shù)的加減）,。第二階段：認(rèn)識11——20之間的各數(shù)（含20以內(nèi)數(shù)的加減）,。第三階段：認(rèn)識100以內(nèi)的數(shù)（含相應(yīng)的加減和表內(nèi)乘除）。

認(rèn)識比100大的數(shù),，不同版本有不同的處理,。人教版和北師大版教材分兩段完成：（1）認(rèn)識萬以內(nèi)的數(shù)；（2）認(rèn)識萬級,、億級的數(shù),。蘇教版教材分三段完成：（1）認(rèn)識千以內(nèi)的數(shù)；（2）認(rèn)識萬以內(nèi)的數(shù),；（3）認(rèn)識萬級,、億級的數(shù)。

“因數(shù)與倍數(shù)”的教學(xué)既幫助學(xué)生進(jìn)一步理解和認(rèn)識整數(shù),，又為分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)提供準(zhǔn)備,，一般另設(shè)單元，放在教材適當(dāng)?shù)奈恢谩?/span>

“認(rèn)識負(fù)數(shù)”一般另設(shè)一個單元,，放在教材的某一冊中,。

1，認(rèn)數(shù)教學(xué)以理解數(shù)的意義為重點,。

讓學(xué)生理解數(shù)的意義,、建立正確的數(shù)的概念是認(rèn)數(shù)教學(xué)的任務(wù)。理解數(shù)的意義一般有兩個角度：一是從數(shù)的組成去建構(gòu),，二是聯(lián)系實際來體會,。傳統(tǒng)教學(xué)偏重前者，新課程則認(rèn)為把這兩個角度有機(jī)地結(jié)合起來效果更好,。而且聯(lián)系實際體會數(shù)的意義,，更有利于學(xué)生在現(xiàn)實生活中應(yīng)用自己認(rèn)識的數(shù)。

理解數(shù)的意義包括：

數(shù)的含義,。如：認(rèn)識整數(shù),、小數(shù)、分?jǐn)?shù),、百分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù),，探索各種數(shù)之間的聯(lián)系，會進(jìn)行整數(shù),、小數(shù),、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)之間的相互轉(zhuǎn)化,；能感受大數(shù)的意義并進(jìn)行估計；知道整數(shù),、奇數(shù),、偶數(shù),、質(zhì)數(shù)、合數(shù),。

計數(shù)技能,。如：能認(rèn)、讀,、寫數(shù),；會用數(shù)表示物體的個數(shù)或事物的順序和位置；認(rèn)識數(shù)位,，了解十進(jìn)制計數(shù)法,，識別數(shù)位上數(shù)字的意義。

數(shù)的相對大小關(guān)系,。如：認(rèn)識“＜,，=，＞”的含義,，能夠用符號和詞語描述萬以內(nèi)數(shù)的大?。粫容^小數(shù),、分?jǐn)?shù),、百分?jǐn)?shù)大小。

數(shù)學(xué)交流,。如：能運用數(shù)表示日常生活中的一些事物,，并進(jìn)行交流；在熟悉的生活場景中,，了解負(fù)數(shù)的意義,，會用負(fù)數(shù)表示生活中一些常見的問題。

數(shù)學(xué)活動,。如：能找出10以內(nèi)某個自然數(shù)的小于100的所有倍數(shù),，知道2，3,，5的倍數(shù)特征,；能找出10以內(nèi)兩個自然數(shù)的公倍數(shù)、最小公倍數(shù),；能找出1——100中某個自然數(shù)的所有因數(shù),；能找出兩個數(shù)的公因數(shù)、最大公因數(shù),。

（1）讓學(xué)生在生動具體的情境中認(rèn)識數(shù),。

小學(xué)生，尤其是低年級學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和積極性,，在一定程度上取決于他們對學(xué)習(xí)素材的感受與興趣?，F(xiàn)實的,、有趣的、具有挑戰(zhàn)性的問題情境,，容易激活學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)知識,，激起學(xué)習(xí)的愿望，調(diào)動學(xué)生解決問題的策略與機(jī)智,。因此這部分內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)該注意從學(xué)生熟悉的生活情境或童話世界出發(fā),，選擇學(xué)生身邊的、生動有趣的,、有利于學(xué)生主動探索的事物,，創(chuàng)設(shè)鮮明的問題情境。

案例1：“0的認(rèn)識”（江蘇  談曉曄  郭慶松）

①（出示0的卡通形象）“0”自我介紹說：“小朋友,，我的名字叫零,，我神通廣大，無處不在,。想想你在哪兒見過我呢,？”（讓學(xué)生盡情地說。）

②“0”接著說：“那么你們知道我可以表示哪些意思呢,？”（讓學(xué)生說說自己對0的認(rèn)識,。）

③今天這節(jié)課我們來認(rèn)識0。

提示課題：0的認(rèn)識,。

●創(chuàng)設(shè)情境,，探究新知。

①教師講述：“在一個天氣晴朗的星期天,，四只小兔約好了到野外去采蘑菇,，我們來看看，它們分別采了多少個蘑菇,。”（出示下圖）

讓學(xué)生思考每只小兔采的蘑菇可以用哪一個數(shù)來表示,。

學(xué)生介紹時，教師對應(yīng)寫出3,，2,，1，0,。教師在寫0時,，注意動作慢一點,，讓學(xué)生看清楚0是怎么寫的,。同時強(qiáng)調(diào)說明,，“一個也沒有”用0表示，0與1，2,，3一樣也是一個數(shù),。

②先出示下圖，讓學(xué)生想一想,，兩幅圖表示怎樣的一件事情，再跟同桌說一說,。

提問：“原來的蘿卜數(shù)用什么數(shù)表示,？現(xiàn)在呢？”教師強(qiáng)調(diào)一個蘿卜也沒有用0表示,。

“你會寫0嗎,？”讓學(xué)生先想一想怎樣寫0，再讓學(xué)生嘗試在“日”字格里書寫0,。

教師引導(dǎo)全班對幾個同學(xué)的書寫作出評價,，同時教師強(qiáng)調(diào)寫0時的起筆、拐彎和收筆,，強(qiáng)調(diào)拐彎要圓滑,。

學(xué)生獨立完成書本上的描紅后繼續(xù)在田字格里寫出兩個0，教師巡視,，注意對個別困難學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo),。

學(xué)生在小組內(nèi)互相對所寫的0進(jìn)行評價。

③教師：“通過剛才的學(xué)習(xí),，我們知道0這個數(shù)可以表示什么,？是不是所有的0都表示一個都沒有呢？請同學(xué)們拿出自己的直尺,，看一看直尺開始的地方是幾,？”

講述：“在這里0表示起點，用尺子量長度時,，從0 開始量起,。”

談話：“直尺上的數(shù)是怎樣排列的？請你從左到右依次讀一讀,。”

④小結(jié)：“通過剛才的學(xué)習(xí),，你能說說0能表示什么意思嗎？”

這節(jié)課的特色有以下幾點：一是創(chuàng)設(shè)了生動有趣的情境,，以情境支撐數(shù)的理解,。二是數(shù)形結(jié)合，利用實物,、圖片幫助學(xué)生理解數(shù)的意義,。在教學(xué)中，通過數(shù)與物一一對應(yīng)的方法，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體物體的多少到抽象出數(shù)的過程,，幫助學(xué)生理解數(shù),。三是濃縮數(shù)的發(fā)生發(fā)展過程，突出“0”的教學(xué),。我們知道,，在早期的美索不達(dá)米亞數(shù)學(xué)時代就有使用60進(jìn)制計數(shù)法的記錄，然而到了希臘數(shù)學(xué)的黃金時代卻一度失去了它的魅力,，直到公元8世紀(jì)鳊數(shù)學(xué)家認(rèn)識到“0”的作用后,，才真正獲得位值概念的基礎(chǔ)。從數(shù)字1——9到數(shù)字“0”的產(chǎn)生,，這期間經(jīng)歷了若干世紀(jì)的發(fā)展歷程,，學(xué)生卻要在短短的一課時內(nèi)解決，因此頗費心思,。在本節(jié)課中,，教師通過讓學(xué)生觀察物體數(shù)量從有到無的過程，分析數(shù)的變化,，進(jìn)而選擇合適的數(shù)值表示……這一系列過程幫助學(xué)生去認(rèn)識“0”,；然后從理解“0”的意義到寫“0”，再到“0”還可以表示其他的意義這些教學(xué)環(huán)節(jié),，為學(xué)生提供了在自主探索,、比較、分析,、判斷,、概括的思維活動中體驗、理解,、掌握知識,。即使是寫數(shù)字，也要讓學(xué)生動腦筋想一想如何寫,，然后再書寫,，讓學(xué)生養(yǎng)成有步驟地思考問題、解決問題的習(xí)慣,，在獨立思考,、合作交流中完成學(xué)習(xí)任務(wù)。

結(jié)合情境認(rèn)識10以內(nèi)的數(shù),，是認(rèn)數(shù)的開始,，這階段的教學(xué)對建立數(shù)的概念十分重要。有的老師認(rèn)為,，許多學(xué)生入學(xué)前都已經(jīng)會數(shù)數(shù)了,，現(xiàn)在只要寫好數(shù)就行了。其實不然，教學(xué)10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識應(yīng)注意：①物體個數(shù)與數(shù)一一對應(yīng),，不能允許口中按順序數(shù)數(shù),，卻不能與物體個數(shù)對應(yīng)。②物體個數(shù)與數(shù)字一一對應(yīng),，每個不同的數(shù)量與不同的數(shù)學(xué)符號（數(shù)字）對應(yīng),。③注意選擇不同的情境和不同的學(xué)具，幫助學(xué)生理解數(shù)的意義,。如3可以表示所有數(shù)量是3個的物體,，而與物體的大小、形狀,、質(zhì)量等狀態(tài)無關(guān)。④知道數(shù)的作用不但可以用來表示數(shù)量的多少（基數(shù)）,，還可以表示順序（序數(shù)）和編碼,，如3可以表示有3個物體，也可以表示第3個物體,。

（2）理解數(shù)的意義要與數(shù)的讀寫和計算緊密結(jié)合起來,。

首先，正確理解數(shù)的意義是讀好數(shù),、寫好數(shù)的基礎(chǔ),，可使學(xué)生在讀數(shù)、寫數(shù)時事半功倍,。例如：在認(rèn)識整百數(shù)時,，可讓學(xué)生經(jīng)歷以下過程：

①親身經(jīng)歷數(shù)數(shù)的過程，真正感受100有多少,?？梢宰寣W(xué)生數(shù)小棒、小方塊或其他各種不同物體,，一個一個地數(shù),，十個十個地數(shù)。親身經(jīng)歷數(shù)數(shù)的過程,，比起看課件演示或聽老師口頭描述,，更有利于學(xué)生形成數(shù)感。

②經(jīng)歷100個一到1個一百的過程,，建立計數(shù)單位的概念,。親自動手把100根（或10小捆）小棒再捆成1大捆，經(jīng)歷100個一到1個一百的過程,，建立以“百”做計數(shù)單位的概念,。

③經(jīng)歷1個一百到幾個一百的過程。把各自的一百放到一起，就是幾個一百,，通過合作得到幾百,。由于有前面數(shù)數(shù)的經(jīng)歷，容易使學(xué)生明白：幾個一百是幾百,，幾百就是幾百個1,。

④借助計數(shù)器上的算珠與實物的對比，體會一個算珠放在不同的位置上,，可以表示1個（1根小棒）,、10個（10根小棒或1小捆小棒）、100個（100根小棒或10小捆小棒,、1大捆小棒）,，實現(xiàn)以一當(dāng)十、當(dāng)一百的飛躍,。

⑤實物,、算珠與寫數(shù)、讀數(shù)對比,。如真正含有300根小棒的3大捆小棒,，與計數(shù)器百位上的3個算珠，和寫法300對照起來,，最終完成對幾百的認(rèn)識,。

在活動中，學(xué)生體會到同一個數(shù)字在不同數(shù)位上表示的數(shù)值是不同的,，初步滲透位值思想,，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)，從而達(dá)到更好地掌握數(shù)的讀寫的目的,。

反之,，熟練地讀數(shù)、寫數(shù),，也能更好地幫助學(xué)生理解數(shù)的意義,。例如：在認(rèn)識整萬數(shù)時，教材介紹了我國的計數(shù)習(xí)慣,，根據(jù)已有知識,，給出各個數(shù)位的名稱和順序，讓學(xué)生聯(lián)系數(shù)的意義,，通過類比,，推出數(shù)位的名稱及順序，認(rèn)識新的計數(shù)單位,，完善對數(shù)位順序表的認(rèn)識,。

教材編排一般是先認(rèn)識一個范圍的數(shù),，接著就是學(xué)習(xí)這個范圍內(nèi)的數(shù)的有關(guān)運算。所以認(rèn)識數(shù)的教學(xué)必須為數(shù)的運算的教學(xué)作鋪墊,。讀寫教學(xué)中要注意：①在低年級,，對數(shù)的分解和組成，要作為基本的技能來訓(xùn)練,；在高年級,，要在讀寫中體會數(shù)的分解與組成。②讀寫數(shù)教學(xué)的重點是萬以內(nèi)數(shù)的讀法和寫法,。③讀寫數(shù)教學(xué)的難點是多位數(shù)的讀法和寫法,，特別是中間有0的數(shù)的讀、寫,。突破的方法是先分級,，再從高往低逐級讀，實在了讀法,，寫法也就不難了,。

現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書大多沒有用文字形式總結(jié)多位數(shù)的讀法和寫法，這并不是不重視讀數(shù)與寫數(shù)的基本方法，而是為教學(xué)留出空間,，由教師組成學(xué)生體驗方法,、交流方法。學(xué)生總結(jié)的方法是自己真實的體會和經(jīng)驗,，是主動獲得知識的表現(xiàn),。

2,，了解十進(jìn)制計數(shù)法對理解數(shù)的意義有重要作用。

整數(shù)的計數(shù)方法是十進(jìn)制計數(shù)法,，學(xué)生了解十進(jìn)制計數(shù)法對理解整數(shù)的意義有重要的作用。十進(jìn)制計數(shù)法的主要內(nèi)容有兩部分：一是計數(shù)單位間的關(guān)系——每相鄰兩個計數(shù)單位間的進(jìn)率是10,；二是計數(shù)法的位值原則——哪一個數(shù)位上的數(shù)是幾,，就表示有幾個這樣的單位,。

（1）認(rèn)識10是關(guān)鍵,。

學(xué)生從認(rèn)識1,，2，3…起,，老師就應(yīng)幫助學(xué)生體會,，數(shù)字是用來表示生活中各種不同的數(shù)量的，每一個不同的數(shù)量,，都用一個不同的符號（數(shù)字）來表示,。當(dāng)數(shù)量從9增加1到了10，按理應(yīng)該用一個新的符號來表示,，但這樣一來,，如果每一個不同的數(shù)量，都用一個不同的符號（數(shù)字）來表示,，就需要有無限多的符號,。前人在9的后面用“10”來表示，沒有創(chuàng)造使用新符號,，而是例行了一個數(shù)位,，十位上的“1”就代表10，這樣就方便多了,，一個10和幾個1是十幾,，就有了11,，12，13…,，這就是位值制的基礎(chǔ),。這樣，0到9十個數(shù)字就可以表示出生活中無限多的物體的個數(shù),。這個創(chuàng)造太科學(xué)了,，可以讓學(xué)生從中體會到數(shù)學(xué)的抽象性與符號性的好處。所以,，教學(xué)中建立好10的概念非常重要,。

（2）按單位數(shù)數(shù)。

為幫助學(xué)生了解十進(jìn)制計數(shù)法,，可以通過一個單位,、一個單位地數(shù)，逐步建立新的計數(shù)單位,。學(xué)生在學(xué)習(xí)萬以內(nèi)數(shù)的時候,，就要明確地知道，10個一是一十,、10個十是一百,、10個百是一千、10個千是一萬,，即10個單位就是一個相鄰的較大單位,。學(xué)習(xí)比萬大的數(shù)，可以一邊數(shù)一邊接受10個萬是十萬,、10個十萬是一百萬、10個百萬是一千萬,，從而引出了新的計數(shù)單位十萬,、百萬和千萬。一千萬一千萬,、一億一億,、十億十億…地數(shù)，教學(xué)計數(shù)單位億,、十億,、百億和千億。在一個單位,、一個單位地數(shù)的活動中,，學(xué)生充分體會每數(shù)滿10個單位就產(chǎn)生一個新的計數(shù)單位，感受了兩個相鄰計數(shù)單位間的進(jìn)率都是10,。

（3）不斷擴(kuò)展數(shù)位順序表,。

隨著認(rèn)識的數(shù)越來越大，教師應(yīng)不斷擴(kuò)充完善數(shù)位順序表,。從認(rèn)識10～20的數(shù)起,，就讓學(xué)生了解個位和十位,。認(rèn)識百以內(nèi)數(shù)時,，及時補(bǔ)充認(rèn)識百位。在“認(rèn)識萬以內(nèi)數(shù)”的時候,，第一次出現(xiàn)了數(shù)位順序表,。在認(rèn)識整數(shù)的最后一個單元里，學(xué)生將認(rèn)識萬級和億級的數(shù)以及比億更大的數(shù),。數(shù)位順序表可以分兩次擴(kuò)展,，先擴(kuò)展到萬級，把十萬,、百萬,、千萬這三個計數(shù)單位引上計數(shù)器，了解個,、十,、百……千萬在計數(shù)時的排列順序。然后讓學(xué)生在數(shù)位順序表里填寫十萬位,、百萬位和千萬位,，通過填寫知道從個位到千萬位的數(shù)位順序，初步把這些數(shù)位分成個級和萬級,。再擴(kuò)展到億級,，表里的內(nèi)容也豐富了，有數(shù)級,、數(shù)位,、計數(shù)單位。教材把億級及相關(guān)的數(shù)位,、計數(shù)單位都留給學(xué)生填寫,，讓他們知道數(shù)級、數(shù)位和計數(shù)單位間的對應(yīng)關(guān)系,。在整理了數(shù)位順序表后,，還應(yīng)通過“每相鄰兩個計數(shù)單位之間有什么關(guān)系”這個問題，概括地講述十進(jìn)制計數(shù)法,。

體會位值原則,，有助于學(xué)生了解十進(jìn)制計數(shù)法，理解數(shù)的意義并掌握讀數(shù),、寫數(shù)的方法,。

下面的案例2中,，教師通過組織學(xué)生玩抽簽游戲，使學(xué)生結(jié)合現(xiàn)實的素材,，自己理解和解釋不同位值上的數(shù)所表示的意義,，既有趣，又充滿了數(shù)學(xué)的味道,。

案例2：“萬以內(nèi)數(shù)的大小比較”教學(xué)片斷

●第一次抽簽,，從個位抽起。

游戲規(guī)則：①每次兩隊各派一個代表抽簽,；②第一次抽到的數(shù)字放在個位上,，第二次抽到的放在十位上，第三次……③哪一隊抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大,，哪一隊就贏,；④能確定勝負(fù)時，本輪比賽結(jié)束,。

師：我們把全班同學(xué)分為兩個隊,，一個叫黃河隊，另一個叫長江隊,。請兩位同學(xué)代表來抽簽,。

（黃河隊抽到3，長江隊抽到8,。把3與8的卡片分別貼到個位上,。）

師：現(xiàn)在能定勝負(fù)嗎？可以玩下一輪了嗎,？

生1：雖然8比3大,，但還不能確定勝負(fù)。

師：為什么,？

生2：因為8是代表8個1,，3是代表3個1，如果其他數(shù)位上的數(shù)字兩隊都一樣,，就可能贏,。

師：那我們接著抽吧,！

（黃河隊抽到9,，長江隊抽到5。把9與5的卡片分別貼到十位上,。）

師：目前哪個隊抽到的數(shù)比較大呢,？

生1：黃河隊。

師：現(xiàn)在能定勝負(fù)嗎,？

生1：還要看百位,。

師：是不是抽了百位就可以定勝負(fù)了呢,？

生3：還不行。

生4：要所有的位都抽出來,，才知道誰能贏,！

學(xué)生抽出結(jié)果后，教師板書：4593＜7358,。

師：長江隊贏了,！請大家像老師這樣做好記錄。

師：通過剛才的游戲,，你有什么話想說,？

師：最關(guān)鍵的一抽是哪一抽？為什么,？是不是還可以這樣想：一個是4000多,，5000不到，另一個已是7000多了,，當(dāng)然7000多的大,。（一起把4和7圈上）

師：假如黃河隊的千位上抽的也是7呢？7593和7358怎樣比較,？

生：如果千位的數(shù)一樣,，就看百位，百位上的數(shù)大這個數(shù)就大,。

師：這時該圈哪兩個數(shù)字,？（5和3）

師：如果黃河隊的千位上抽的是0呢？該怎么比較,？

●第二次抽簽,，從千位抽起。

游戲規(guī)則：①每次兩隊各派一個代表抽簽,；②第一次抽到的數(shù)字放在千位上,，第二次抽到的放在百位上，第三次……③哪一隊抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大,，哪一隊就贏,；④能確定勝負(fù)時，本輪比賽結(jié)束,。

（黃河隊抽到8,，長江隊抽到5。把8與5的卡片分別貼到千位上,。）

師：讓我們接著抽,。

生：不用抽了。黃河隊贏了，因為8個千比5個千大,。

師：假如長江隊百位上抽到9,，黃河隊百位上抽到6，能贏回來嗎,？

生1：不能,。因為百位就是抽到9，也只代表900,，都不夠1000,，而剛才黃河隊比長江隊多3000。

師：百位,、十位和個位都抽到9呢,？

生2：老師，不用再抽了,，勝負(fù)已經(jīng)知道了,。玩下一輪吧！

師：記錄還是要做的,，怎么寫,？

生：8□□□＞5□□□。

●第三次抽簽,，由抽簽者自己決定放在哪一位上,。

游戲規(guī)則：①每次兩隊各派一個代表抽簽；②每一次抽到的數(shù)字由抽簽者自己決定放在哪一位上,；③哪一隊抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大,，哪一隊就贏；④能確定勝負(fù)時,，本輪比賽結(jié)束,。

（黃河隊抽到3，學(xué)生把3放到個位上,，長江隊抽到7,，學(xué)生把7放到百位上。）

師：請你們說說,，為什么這樣放,？

生1：我抽到的3太小了，放在個位比較好,，讓出高位給大數(shù)字,。

生2：我抽的7比較大，本來想放到千位,，但要是等一下,，我們組還有人手氣比我好，抽到8或9,，放在千位更好,，所以把7放在百位。

師：要是等一下抽到的數(shù)都比8小,，怎么辦,？

生2：那也沒辦法，博一博唄,！

生3：也不一定輸,，還得看第三組抽到什么數(shù)。

……

生：黃河隊贏了,，因為9853＞6728,。

師：請同學(xué)們小組交流剛才大家提出的問題：①比較的方法；②數(shù)位相同時怎樣比較,；③萬以內(nèi)數(shù)的比較和千以內(nèi)數(shù)的比較有什么不同,；④比較的時候有沒有簡便的方法。

師：該老師玩一玩了,。我抽出四個數(shù)字,，幫我記一下：3，9,，2,，6。用這四個數(shù)字組成一個最大的四位數(shù)是多少,？最小的呢,？你能組成第二大的或第二小的嗎？

在一些課堂上,，老師通常把知識怎樣發(fā)生的,、問題怎樣解決以及解決的策略和結(jié)果都通過講解呈現(xiàn)給學(xué)生。具體到比較數(shù)的大小,，一般是先教比較數(shù)的大小的方法,，再運用這個法則判斷兩個數(shù)的大小。而這節(jié)課另辟蹊徑,。教師創(chuàng)設(shè)情境,，利用比賽的形式，激起學(xué)生的求知欲望,，脫離枯燥的比較數(shù)的大小的方法,，以對數(shù)的意義和位值原理的理解支撐數(shù)的相對大小關(guān)系的比較。教師利用任務(wù)驅(qū)動的方式,，設(shè)置富有挑戰(zhàn)性的教學(xué)內(nèi)容（哪一隊抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大,，哪一隊就贏）,，讓學(xué)生在解決問題中感受數(shù)的意義，發(fā)展數(shù)感,；教師設(shè)計的游戲規(guī)則饒有深意——①第一次從低位抽起,；②第二次從高位抽起；③第三次每抽到一個數(shù)字由抽簽者自己決定放在哪一位上,。游戲中教師讓學(xué)生充分交流,，讓學(xué)生在游戲中自我完善對數(shù)的相對大小的認(rèn)識，在不斷的比較中優(yōu)化,、加深了對數(shù)位,、計數(shù)單位、十進(jìn)制的認(rèn)識,，強(qiáng)化對數(shù)的理解,。整節(jié)課中，沒有教學(xué)比較大小的方法,，但每抽出一個數(shù)位上的數(shù),，會引起孩子們的關(guān)注和思考，老師抓住這種時機(jī)及時讓他們討論（現(xiàn)在能定勝負(fù)嗎,？可以玩下一輪了嗎,？最關(guān)鍵的一抽是哪一抽？為什么,？）,，這樣，數(shù)的大小比較法則背后的道理就由學(xué)生分析出來了,。游戲后,，老師及時讓學(xué)生總結(jié)比較兩個四位數(shù)的大小的方法，由于有了前面的活動和討論,，學(xué)生就有了要說的話：“比較兩個位數(shù)相同的數(shù)的大小,，先比較它們的最高位……”這樣抽象的法則，變成了學(xué)生生動的語言,。

3,，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中形成數(shù)感。

“數(shù)感”主要表現(xiàn)在：理解數(shù)的意義,；能用多種方法來表示數(shù),；能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)來表達(dá)的交流信息,；能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴?，并對結(jié)果的合理性作出解釋。

“數(shù)感”并不神秘,。它是人對數(shù)與運算的一般理解,，這種理解使人將數(shù)與現(xiàn)實情境聯(lián)系起來,，使人眼中看到的世界有了量化的意味。

“數(shù)感”十分重要,。它關(guān)系到人的數(shù)學(xué)意識,，即能用數(shù)學(xué)的視角去觀察現(xiàn)實，能以數(shù)學(xué)的思維研究現(xiàn)實,，能用數(shù)學(xué)的方法解決實際實際問題。一句話,，它關(guān)系到人擁有的數(shù)學(xué)知識是“活”的還是“死”的,。

“數(shù)感”需要培養(yǎng)。數(shù)感與具有數(shù)學(xué)知識的多少,、與理解數(shù)學(xué)知識的程度有關(guān),，但絕不是正比例關(guān)系。數(shù)感更多地表現(xiàn)為應(yīng)用數(shù)與運算的態(tài)度與意識,，突出表現(xiàn)為主動,、自覺地應(yīng)用。小學(xué)生的數(shù)感與有沒有得到培養(yǎng)成正相關(guān),。這種培養(yǎng)需要老師的精心設(shè)計,。

4,，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生的需要和作用。

除了“空間觀念”曾被列入原《大綱》外，數(shù)感,、符號感、統(tǒng)計觀念等都是由《標(biāo)準(zhǔn)》首次明確地列為數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容,?！稑?biāo)準(zhǔn)》把數(shù)學(xué)思考落實到建立初步的兩“感”、兩“觀念”上,，落實到學(xué)生認(rèn)識并掌握重要的數(shù)學(xué)知識的過程中,。

符號感主要表現(xiàn)在：能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表現(xiàn),；理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,；會進(jìn)行符號間的轉(zhuǎn)換；能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表達(dá)的問題,。

符號感是人對符號的意義,、符號的作用的理解以及主動地使用符號的意識和習(xí)慣。這里包含三層意思：一是理解各種數(shù)學(xué)符號的意義,，即表示什么意思,，在什么時候使用以及怎樣使用，這是發(fā)展符號感的基礎(chǔ),。二是理解數(shù)學(xué)符號的作用與價值：為什么使用符號,、有哪些好處,，這是發(fā)展符號感的重點。三是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)時,，在獨立思考和與人交流時,，都能經(jīng)常地、主動地甚至創(chuàng)造性地使用符號,，這是具有符號感的表現(xiàn),。

發(fā)展學(xué)生的符號感可以從以下幾方面進(jìn)行：

（1）結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容，體會數(shù)學(xué)符號的作用,。

常見的數(shù)學(xué)語言有文字語言和符號語言,，符號語言是在文字語言的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，它把文字語言的主要內(nèi)容以直觀,、形象的方式簡練地表示出來,，方便人們進(jìn)行表達(dá)、交流,、思考以及解決問題,。

教學(xué)常用的數(shù)學(xué)符號，首先要注意結(jié)合具體的情境,，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生的需要,，體會由于使用符號，才能清楚,、簡便地表達(dá)這些具體情境中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,。數(shù)學(xué)符號為我們進(jìn)行表達(dá)和交流帶來了便捷。其次要在具體的情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,，并用符號表示,，使學(xué)生認(rèn)識符號、會用符號,，體會到符號是語言的一種形式,，數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)語言的一部分。

（2）參與創(chuàng)造符號,，體會符號發(fā)展過程,。

數(shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)教科書里有很多。如表達(dá)大小關(guān)系的符號“＜”,，“＞”和“=”,；表達(dá)運算的符號“＋”，“－”,，“×”,，“÷”；表達(dá)運算順序的小括號,、中括號,；0,，1，2,，3,，…，9是數(shù)字符號,，它們能組成無數(shù)個數(shù),；小數(shù)點、分?jǐn)?shù)線,、百分號,、千分號等是特定的數(shù)學(xué)符號；字母也可以作為符號,，用來表達(dá)數(shù)量關(guān)系,、計算公式……這些符號是人們公認(rèn)的,，習(xí)慣使用的,，屬于數(shù)學(xué)事實。

當(dāng)學(xué)生在具體的情境中體會到需要符號的時候,，先讓學(xué)生經(jīng)歷自己創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號的過程,，體會到數(shù)學(xué)符號原來并不神秘，是人創(chuàng)造的,，在長期的生產(chǎn)生活中不同的符號在使用時逐步發(fā)展統(tǒng)一成現(xiàn)在的符號,。這也能幫助學(xué)生形成符號感。

數(shù)學(xué)符號的教學(xué),，教師一般比較多地采取簡單告訴的方法,，容易使學(xué)生對數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生神秘感。下面的案例中,，老師就很好地幫助學(xué)生消除了這種神秘感,。

案例3：“循環(huán)小數(shù)”教學(xué)片斷

師：（指板演題）“3.333…”中不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪一個？（3）在“5.32727……”中依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪幾個,？（2,，7）在“6.416416……”中不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪幾個？（4,，1,，6）

師：我們能不能想一個辦法，讓循環(huán)小數(shù)的寫法簡單一些,，比如,，去掉省略號，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字只寫一次,，也依然能讓人看出這個循環(huán)小數(shù)的意思,？

……

生1：我想了一個辦法,，3.333…寫作3.(3)；5.32727…寫作5.3(27),；6.416416…寫作6.(416),。

生2：我的辦法是，3.333…寫作3.3,；5.32727…寫作5.327,；6.416416…寫作6.416。

生3：我的辦法是,，3.333…寫作3.（無限）,；5.32727…寫作5.3（無限）；6.416416…寫作6.（無限）,。

生4：我的辦法是,，3.333…寫作3.3（3無限）；5.32727…寫作5.327（27無限）,；6.416416…寫作6.416（416無限）,。

生5：我的辦法是，3.333…寫作,；5.32727…寫作,；6.416416…寫作。

師：你認(rèn)為哪種符號比較好,？

生1：不要有漢字比較好,。

生2：第五種辦法比較好，簡潔明了,。

生3：我認(rèn)為,，只要在循環(huán)節(jié)的第一個數(shù)字和最后一個數(shù)字上點上點就可以了。

教師不急于把簡便寫法告訴學(xué)生,，而是讓學(xué)生自己想辦法去創(chuàng)造符號,，使學(xué)生在想辦法的過程中體會到數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生的需要，體會到數(shù)學(xué)知識中符號是一種約定俗成,，符號不再那么神秘,，而當(dāng)有些學(xué)生的思路接近數(shù)學(xué)上的約定俗成時，他們體會到的是一種學(xué)習(xí)成功的滿足,。在此基礎(chǔ)上,，組織學(xué)生對所創(chuàng)造的符號進(jìn)行認(rèn)論，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)符號簡捷明了的特點,。

（3）鼓勵學(xué)生創(chuàng)造性地使用自己的獨特符號,。

數(shù)學(xué)符號中還有一類不容忽視。這類符號只屬于個人，是個人創(chuàng)造并習(xí)慣使用的,。這類符號更有利于人開展數(shù)學(xué)思考,，發(fā)現(xiàn)規(guī)律和找到解決問題的方法，更便于表達(dá)和交流,。在過去的數(shù)學(xué)教學(xué)中,，往往忽視了這一類數(shù)學(xué)符號。在使用自己的符號時,，最能體會符號的價值,，最能感受符號對自己思維的幫助，也最能積累使用符號的經(jīng)驗,。這些正是符號感最重要的部分,。所以應(yīng)盡量鼓勵學(xué)生創(chuàng)造性地使用自己的獨特符號。

5,，幫助學(xué)生認(rèn)識負(fù)數(shù),，實現(xiàn)認(rèn)識數(shù)的質(zhì)的飛躍。

現(xiàn)實世界中存在著許多具有相反方向的量,，或某種量的增大和減小,，也可用這種量的某一狀態(tài)為標(biāo)準(zhǔn)，把它們看作是向兩個方向變化的量,。要確切地表示這種具有相反方向的量,，僅僅運用原有數(shù)（自然數(shù)和分?jǐn)?shù)）就不夠了,，還必須把這兩個互為相反的方向表示出來,，于是產(chǎn)生了正數(shù)和負(fù)數(shù)。數(shù)從表示數(shù)量的多少到不但表示數(shù)量的多少,，還表示相反方向的量,，是數(shù)的發(fā)展的一個飛躍，老師要幫助學(xué)生完成這個飛躍,。

正數(shù)和負(fù)數(shù)的認(rèn)識,，過去安排在中學(xué)有理數(shù)中學(xué)習(xí)，《標(biāo)準(zhǔn)》高速安排在小學(xué)的第二學(xué)段初步認(rèn)識負(fù)數(shù),，有利于完整地建立整數(shù)的概念,。教學(xué)時要注意：（1）通過豐富多彩的現(xiàn)實生活情境，幫助學(xué)生了解負(fù)數(shù)的意義,。（2）借助直觀,，理解相反的分界點與“0”的關(guān)系。知道0既不是正數(shù),，也不是負(fù)數(shù),。（3）通過分步呈現(xiàn)數(shù)軸（不用告訴數(shù)軸名稱）等辦法，使學(xué)生認(rèn)識到正數(shù)都大于0,，負(fù)數(shù)都小于0,。

案例4：“認(rèn)識負(fù)數(shù)”教學(xué)片斷（江蘇  繆宇虹）

老師搜集了某天四個城市的最低溫度資料,，并用溫度計圖片顯示：香港19攝氏度，請學(xué)生認(rèn)讀香港的最低氣溫,，并介紹如何讀溫度計,。此后依次出示上海（3攝氏度）與南京（0攝氏度）的溫度計圖片，請學(xué)生分別認(rèn)讀,，并進(jìn)行比較,。再提問：在數(shù)學(xué)上怎樣區(qū)分零上3攝氏度和零下3攝氏度呢？教師講解：規(guī)定零上3攝氏度記作+3攝氏度或3攝氏度,，規(guī)定零下3攝氏度記作-3攝氏度,。然后詳細(xì)介紹讀法和寫法。最后總結(jié)：“現(xiàn)在,，我們可以說那一天上海的氣溫是+3℃,，北京的氣溫是-3℃……”

●感知生活中的正數(shù)和負(fù)數(shù)。

師：新疆吐魯番是我國海拔最低的地區(qū),，你知道它的海拔高度是多少,？

出示海拔高度圖：

教師依次提問：“從圖中你知道了什么？”“以海平面為標(biāo)準(zhǔn),，珠穆朗瑪峰比海平面高,，吐魯番盆地比海平面低。”“你能用今天學(xué)的知識表示這兩個地方的海拔高度嗎,？”最后小結(jié)：“用正負(fù)數(shù)還可以區(qū)分海平面以上的高度和海平面以下的高度,。”

此后請學(xué)生做如下練習(xí)：

（1）用正數(shù)或者負(fù)數(shù)表示下面各地的海拔高度。（出示海拔高度圖）

中國最大的咸水湖——青海湖的海拔高度高于海平面3139米,。

世界最低最咸的湖——死海低于海平面400米,。

世界海拔高度最低的國家——馬爾代夫比海平面高1米。

（2）說說下面的海拔高度是高于海平面還是低于海平面,？

里海是世界上最大的湖,，水面的海拔高度是-28米。

太平洋的馬里亞納海溝是世界上最深的海溝,，最深處海拔-11034米,。

●描述正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義。

出示：+3,，-3,，40，-12,，-400,，-155，+8848

師：你能將這些數(shù)分分類嗎？

師：像+3,，40,，+8848這樣的數(shù)都是正數(shù)，像-3,，-12,，-400，-155這樣的數(shù)都是負(fù)數(shù),。

師：從溫度計上觀察,，0攝氏度以上的數(shù)都是正數(shù)，0攝氏度以下的數(shù)都是負(fù)數(shù),。海平面以上的數(shù)都是正數(shù),，海平面以下的數(shù)都是負(fù)數(shù)。

師：0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線,，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),。正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0,。

●尋找生活中的正數(shù)和負(fù)數(shù),。

師：在生活中，哪里見過負(fù)數(shù),？

學(xué)生說出存折,、電梯面板等等，老師要求學(xué)生說明這些負(fù)數(shù)的意思,。

師：（電腦出示有關(guān)圖片）像零攝氏度以上與零攝氏度以下,、海平面以上和海平面以下、地面以上和地面以下,、存入和取出,、比賽的得分和失分,、股價的上漲和下跌等等,，都是具有相反意義的量，都可以用正負(fù)數(shù)來表示。課后請同學(xué)們搜集有關(guān)負(fù)數(shù)在生活中應(yīng)用的資料,，下節(jié)課來交流,。

三,、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識,。

在表達(dá)平均分的結(jié)果的時候,，遇到了分的結(jié)果比1還要小的情況,，比如一半,、小半,、大半等,，如何表示這樣的結(jié)果呢？這時候只有自然數(shù)顯然是不夠的，于是引進(jìn)了分?jǐn)?shù)。這時候認(rèn)識的分?jǐn)?shù),，都是把一個物體平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的,。這就是“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”,。后來擴(kuò)展到不但可以把一個物體平均分，如果把一些物體,、一個計量單位等看作一個整體,，平均分以后，其中的一份或者幾份,，雖然是一個或幾個,，可以用自然數(shù)來表示，但也可以理解為是這個整體的幾分之一或幾分之幾,。這樣建立的分?jǐn)?shù)概念就基本完整了,，這也就是教材中的“分?jǐn)?shù)的意義”,。

分?jǐn)?shù)的意義與運算的教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容。分?jǐn)?shù)的意義對于小學(xué)生來說是個比較抽象的概念,，教材一般是采用螺旋上升的安排,，分兩次完成對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，加上最后認(rèn)識的百分?jǐn)?shù),，對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識分成了三個階段：“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”一般安排在第一學(xué)段,；“分?jǐn)?shù)的意義”一般安排在第二學(xué)段；在這兩個單元中認(rèn)識的分?jǐn)?shù)都是正分?jǐn)?shù),。在學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的四則運算后,，又安排認(rèn)識百分?jǐn)?shù)。

1,，在與自然數(shù)的聯(lián)系中借助直觀來初步認(rèn)識分?jǐn)?shù),。

“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”，是學(xué)生第一次建立分?jǐn)?shù)的概念,，教材安排一般有以下特點：

（1）單位“1”由一個物體組成,；即每次平均分的都是1個物體，如一個餅,、一個圓等,。

（2）只認(rèn)識真分?jǐn)?shù)以及分子分母相等的假分?jǐn)?shù)。因為分得的結(jié)果,，每一份都比1小,。取一份或幾份或全部，所得的分?jǐn)?shù)都小于1或等于1,。

（3）分母都比較小,。

（4）不概括分?jǐn)?shù)的定義，只通過直觀描述初步建立分?jǐn)?shù)概念,。

由于是對分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識,，應(yīng)充分運用形象和直觀手段，讓學(xué)生在具體的情境中操作感悟,，如通過操作活動初步理解分?jǐn)?shù),，能夠?qū)D與分?jǐn)?shù)相互表示。通常見到的課堂結(jié)構(gòu)一般是：

（1）創(chuàng)設(shè)一個平均分的情境引出分?jǐn)?shù),；（2）動手操作（如折紙,、涂陰影等）感知和初步理解分?jǐn)?shù)；（3）在練習(xí)（圖與數(shù)相互表示）中鞏固和進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù),。

也有的教師在教學(xué)過程中,，不但做到了讓學(xué)生通過操作活動初步理解分?jǐn)?shù)，并能夠?qū)D與分?jǐn)?shù)相互表示,，而且還能明確相對大小,，感受量變與質(zhì)變的規(guī)律,。這類課的課堂結(jié)構(gòu)一般是：

（1）從自然數(shù)過渡到分?jǐn)?shù),；

（2）理解二分之一的含義,；

（3）學(xué)習(xí)單位“1”的大小與相應(yīng)二分之一大小的關(guān)系；

（4）在練習(xí)中不斷加深對分?jǐn)?shù)的理解,，出現(xiàn)分子與分母相等的分?jǐn)?shù),、零分?jǐn)?shù)等；

（5）歸納解決問題的思路,。

案例5：“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”教學(xué)片斷（江蘇  張齊華）

●情境——沖突

出示主題情境圖,。

引導(dǎo)學(xué)生思考：

（1）把4個蘋果平均分給2人，每人分得幾個,？

（2）把2瓶礦泉水平均分給2人,，每人分得幾瓶？

結(jié)合學(xué)生的交流,，教師揭示：每份分得同樣多,，數(shù)學(xué)上叫做“平均分”。

（3）把1個蛋糕平均分給2人,，每人分得多少,？

結(jié)合學(xué)生的交流，自然引出“一半”,。

（4）每人分得的蘋果,、礦泉水可以用以前學(xué)過的數(shù)來表示，那“一半”該用怎樣的數(shù)來表示呢,？

學(xué)生交流各自的想法,，教師結(jié)合學(xué)生的交流，揭示課題：認(rèn)識分?jǐn)?shù),。

●活動——建構(gòu)

著力建構(gòu)“二分之一”,。

（1）直觀感知，初步認(rèn)識,。

①引導(dǎo)：我們把蛋糕平均分成了幾份,？“一半”是其中的幾份？

揭示：“一半”正好是2份中的1份,，可以用來表示,。

②追問：這一份（指2份中的1份）是蛋糕的，另一份（指2份中的另1份）呢,？

小結(jié)：把一個蛋糕平均分成2份,，每份都是它的。

（2）動手操作,，深化認(rèn)識,。

①出示一張長方形紙,，引導(dǎo)學(xué)生思考：怎樣表示它的呢？

②出示操作要求：先折一折,，再用斜線把它的涂上顏色,。

③學(xué)生動手操作并表示出長方形紙的?？赡艹霈F(xiàn)如下表示方法：

④組織學(xué)生交流各自的表示方法,。

⑤深究：折法不同，涂色部分的形狀也不同,，為什么涂色部分都是長方形的,？

結(jié)合學(xué)生的交流，教師小結(jié)：不管怎樣對折,，只要平均分成2份,，每份都是長方形的。

（3）觀察判斷,，拓展認(rèn)識,。

①出示如下四個圖形。引導(dǎo)學(xué)生思考：下列圖形中,，哪些圖形的涂色部分可以用表示,？

②學(xué)生交流，并說明判斷理由,。

③小結(jié)：只有把一個圖形平均分成2份,，每份才是這個圖形的。

類比遷移,，認(rèn)識“幾分之一”,。

（1）提問：認(rèn)識了后，你還想認(rèn)識幾分之一,？

學(xué)生交流,，教師板書學(xué)生交流中提到的部分分?jǐn)?shù)。

（2）引導(dǎo)：能不能也用某個圖形表示出你想認(rèn)識的幾分之一,？

學(xué)生動手折長方形,、正方形或圓形紙，并給其中的一份涂上顏色,，表示幾分之一,。

（3）交流：你表示出了幾分之一？你是怎么表示的,？

學(xué)生結(jié)合自己的操作活動,，交流自己表示的分?jǐn)?shù)及其表示方法。

（4）從學(xué)生中收集長方形、正方形和圓三種不同圖形的,，貼在黑板上,，并引導(dǎo)學(xué)生思考：三種圖形的形狀各不相同，為什么涂色部分都能用表示,？

學(xué)生交流,，教師引導(dǎo)學(xué)生深入理解：不管什么圖形，只要平均分成4份,，其中的每份都是這個圖形的,。

……

●應(yīng)用——提升

關(guān)于分?jǐn)?shù)的聯(lián)想,。（教師依次出示如下三幅圖,。）

（1）法國國旗讓你聯(lián)想到了幾分之一？你能具體說說哪一部分大約是法國國旗的嗎,？

學(xué)生交流并小結(jié)：法國國旗中的每一部分都大約是它的,。

（2）畫面中的五角星，讓你聯(lián)想到了幾分之一,？

（3）圖中的巧克力,，讓你聯(lián)想到了幾分之一？

①學(xué)生一般首先會聯(lián)想到,，教師隨機(jī)出示如下左圖,，引導(dǎo)學(xué)生思考：如果每人分得這塊巧克力的，這塊巧克力能分給幾人,？

②引導(dǎo)：同樣一塊巧克力,，換一個角度觀察，你還能聯(lián)想到幾分之一,？

結(jié)合學(xué)生的交流,，教師隨機(jī)出示如上中圖和右圖，并引導(dǎo)學(xué)生思考：如果每人分這塊巧克力的或,，這塊巧克力又能分給幾人,？

③小結(jié)：同樣一塊巧克力，從不同角度觀察,，聯(lián)想到的分?jǐn)?shù)也各不相同,。

這節(jié)課，老師創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的郊游,、分東西的情境,，讓學(xué)生自己在表達(dá)分的結(jié)果時體會到：自然數(shù)不能表達(dá)這樣一些結(jié)果，于是引出了數(shù)的擴(kuò)展的需要,，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的內(nèi)在學(xué)習(xí)動機(jī),。在分蘋果、礦泉水和蛋糕這一解決問題的過程中，隨著問題發(fā)展所呈現(xiàn)的思維沖突,，又自然引導(dǎo)學(xué)生的思維從“整數(shù)”突圍出來,，為學(xué)生實現(xiàn)“由整數(shù)向分?jǐn)?shù)”的自然過渡構(gòu)筑了良好的思維空間。“一半”是學(xué)生的生活經(jīng)驗,，而“”則是這一生活經(jīng)驗數(shù)學(xué)化的結(jié)果,。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生借助有意義的接受學(xué)習(xí),，在“生活經(jīng)驗”與“數(shù)學(xué)知識”之間架構(gòu)起認(rèn)知橋梁,。這樣處理，體現(xiàn)了教師對學(xué)生生活經(jīng)驗,、認(rèn)知水平和知識建構(gòu)方式的準(zhǔn)確把握,。

“平均分”是初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)，是產(chǎn)生一個分?jǐn)?shù)的前提,。教師運用三個教學(xué)策略,，強(qiáng)化學(xué)生對“平均分”的重視。第一次是教師巧妙地引導(dǎo)學(xué)生喚醒原有的“平均分”的經(jīng)驗,，為初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)做好適宜的認(rèn)知鋪墊,；第二次是圍繞不同圖形的展開第二層次的“求同比較”“（圖形不同，為什么涂色部分都是它的）,，再一次剝離分?jǐn)?shù)的非本質(zhì)屬性,，使學(xué)生進(jìn)一步感受到單位“1”是什么并不重要，關(guān)鍵是“平均分成了多少份”和“表示這樣的多少份”,，這才是分?jǐn)?shù)最本質(zhì)的內(nèi)涵,；第三次是通過“不平均”和“平均”的對比，再次強(qiáng)化對平均的認(rèn)識?，F(xiàn)實生活中許多畫面,，都能引發(fā)學(xué)生對分?jǐn)?shù)的聯(lián)想，法國國旗,、五角星及巧克力便是教師對教學(xué)資源進(jìn)行有效開發(fā)的結(jié)果,。尤其是巧克力這一素材的應(yīng)用，可謂恰到好處,。一方面,，滲透了“觀察角度不同，聯(lián)想到的分?jǐn)?shù)也不同”的思考策略,；另一方面,，又蘊(yùn)含了同樣一塊巧克力，分的份數(shù)越多,，每一份少這一反比例的函數(shù)思想,；與此同時，“1”里面有n個在這里也得到了無形的鋪墊。

2,，分?jǐn)?shù)的意義教學(xué)要著力解決對單位“1”的深入理解,。

“分?jǐn)?shù)的意義”這個單元，是讓學(xué)生在對分?jǐn)?shù)有了初步認(rèn)識的基礎(chǔ)上,，進(jìn)一步系統(tǒng)地認(rèn)識分?jǐn)?shù),。其重點是把第一次的初步認(rèn)識進(jìn)一步擴(kuò)展。其特點是：（1）單位“1”由“一個”變成“一些”,；（2）給出分?jǐn)?shù)的定義,。

教學(xué)時，主要突出“也可以把一堆物體看作是一個整體來平均分”的思想,。如一堆蘋果,，一個班級的人數(shù)，等等,，如果看成一個整體也平均分的話,，分得的結(jié)果，每份也可以就是這個整體的幾分之一,。而這個幾分之一，可能含有一個,、兩個或若干個,，表述成“表示這樣的一份或幾份的數(shù)是這個整體的幾份之幾”。我們可以通過下面的案例感受教師如何精心設(shè)計教學(xué)過程,，解決單位“1”可以由多個物體組成這個教學(xué)難點的,。

案例6：“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)片斷（江蘇  夏青峰）

（1）出示下圖：

師：陰影部分可用什么分?jǐn)?shù)來表示？

生1：,。

生2：

……

師：怎么都認(rèn)為是呢,？

生：我把這個長方形平均分成3份，陰影部分是這樣的1份,，就是,。

屏幕顯示三等分線：

師：那也就是說，這里的是表示________,。

學(xué)生回答,，老師完成下面板書：把一個長方形平均分成3份，表示這樣1份的數(shù),。

（2）屏幕出示：

師：陰影部分又可用什么分?jǐn)?shù)表示：

生：,。

師：這次不是了，但已經(jīng)很接近正確答案,。

生：,。

生：。

……

屏幕顯示八等分的虛線：

師：這次能說出是幾分之幾了吧？,！

生：我認(rèn)為是,，因為它把這個圓平均分成8份，陰影部分占了其中的3份,。

師：好的,。那反過來說，這里的就是表示——

師生共同完成板書：把一個圓平均分成8份,，表示這樣3份的數(shù),。

3，屏幕出示：

師：露出的部分是一個整體的,，這個整體該是個什么樣子呢,？你能大概地把它畫出來嗎？

學(xué)生畫,。

師：誰愿意把你的作品與大家分享,？

生1：（展示）

師：可以這樣畫嗎？

生：可以,。因為這里一共有4個小三角形,，露出來的是1個，就是它的,。

師：還有不同的畫法嗎,？

學(xué)生紛紛展示自己的作品。

師：判斷這些圖形是否符合要求,，關(guān)鍵看什么,？

生：關(guān)鍵看是否一共畫了4個三角形。

師：怎樣的4個三角形,？

生：和露出來（的三角形）一樣的4個三角形,。

師：好?？创蠹沂欠癫轮辛?。這個整體究竟是什么呢？

屏幕出示下圖1,。

   （圖1）                      （圖2）

（學(xué)生表現(xiàn)出詫異的神色,。）

生1：老師，不對,。這4個三角形不連在一起,，不是一個整體。

生2：我覺得是對的,。雖然它們不連在一起,，但是我們可以把它看成是一個整體,。

生3：我覺得它不能看成一個整體，因為一個三角形就是一個整體,，而這是4個三角形,。

生4：我認(rèn)為它是一個整體。比如,，一個人,，我們可以看成是一個整體；一組人,，我們與可以看成是一個整體,；一個班的人，也可以看成是一個整體,。

……

學(xué)生出現(xiàn)了交流與辯論,，最后大家基本統(tǒng)一了意見。

屏幕出示上圖2,。

在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”的時候,，我們通常是出示標(biāo)好等分線的圖形，讓學(xué)生說出陰影部分占整個圖形的幾分之幾,。而夏老師出示的圖形卻沒有等分線,，他讓學(xué)生致病猜一猜是幾分之幾，這不僅要求學(xué)生運用分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義去思考問題,，而且對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感起著積極的作用,。看部分想整體的教學(xué)環(huán)節(jié),，真是設(shè)計精妙，一箭雙雕,。它在加深學(xué)生對分?jǐn)?shù)的理解,、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)想象能力的同時，還幫助學(xué)生實現(xiàn)了從把單個物體看成一個整體,，到把一些物體看成一個整體的思維跨越,，抓住了學(xué)生認(rèn)知的難點，進(jìn)行了有效的突破,。

3,，抓住百分?jǐn)?shù)的特征進(jìn)行教學(xué)。

說到百分?jǐn)?shù),，要分清兩種情況：一種是分母是100的分?jǐn)?shù),，另一種是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。我們所說的百分?jǐn)?shù),，一般指后者,，它在寫法（和讀法）上與前者也有區(qū)別,，用百分號（%）來表示。認(rèn)識百分?jǐn)?shù)要注意以下幾點：

（1）分?jǐn)?shù)既可以表示兩個數(shù)之間的關(guān)系,，也可以表示具體的數(shù)量,。百分?jǐn)?shù)只表示兩個數(shù)之間的關(guān)系，并不表示具體的數(shù)量,。

（2）由于以上原因,，分?jǐn)?shù)可能有單位，也可能沒有單位,，但百分?jǐn)?shù)不能加上單位,，這是它與分?jǐn)?shù)的不同。

（3）分?jǐn)?shù)一般用最簡分?jǐn)?shù)的形式表示,，但百分?jǐn)?shù)為了便于比較,，分母固定為100，所以當(dāng)分子分母不互質(zhì)時,，不用約分成最簡分?jǐn)?shù)的形式,，也不用化成帶分?jǐn)?shù)，而且分子也可能是小數(shù),。

（4）由于百分?jǐn)?shù)的廣泛應(yīng)用,，認(rèn)識百分?jǐn)?shù)應(yīng)該聯(lián)系學(xué)生的生活實際，并通過日常生活的運用加深理解概念,，體會百分?jǐn)?shù)的好處,。

案例7：“百分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)片斷

（上課前一天老師布置學(xué)生在生活中找一個實際應(yīng)用的百分?jǐn)?shù)。）

師：請同學(xué)們拿出在生活中找到的實際應(yīng)用的百分?jǐn)?shù),，說說是在哪兒找到的,。

學(xué)生匯報自己找到的百分?jǐn)?shù)。

生：我在報紙上找到的,。

一件上衣的布料,，棉的含量是65%，滌綸的含量是35%,。

……

師：聽了同學(xué)們的匯報,，有的是在生活當(dāng)中找到了百分?jǐn)?shù)，有的是對生活當(dāng)中一些現(xiàn)象做了一些分析,、計算得到的百分?jǐn)?shù),。總之說明一個問題,，生活之間百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用非常廣泛,。我也找了,，愿不愿意看看我找的,？

師出示：瀘州老窖的酒精度52%,，洋河大曲的酒精度38%,，王子啤酒的酒精度3.1%。

師：人們屢什么那么喜歡用百分?jǐn)?shù)呢,？用百分?jǐn)?shù)到底有什么好處,？我覺得這個問題很有必要研究。

師：除了這兩個問題外,，你們還想弄清楚什么問題?。?/span>

生思考后,，自由提出自己想問的問題,。

師：我們把這些問題稍微整理一下，寫在黑板上,，作為我們今天研究的問題,。

師板書：

1，百分?jǐn)?shù)的意義是什么,？

2,，用百分?jǐn)?shù)有什么好處？

3,，百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)有什么不同,？

師：你們看，這幾個問題,，是黃老師一個一個地講給你們聽呢,，還是你們自己研究？

生：（異口同聲）自己研究,。

●探究百分?jǐn)?shù)的意義,。

請同學(xué)研究你找到的生活中的百分?jǐn)?shù)，并填寫在老師設(shè)計好的表格里面,。

《百分?jǐn)?shù)的意義和讀寫法》

調(diào)查紀(jì)要單

學(xué)生獨立研究,，教師巡視。

匯報結(jié)果,。

師：你是怎么比較得出瀘州老窖的酒精度含量很高，在各種酒中是比較厲害的,？

（瀘州老窖的酒精度52%,；洋河大曲的酒精度38%；王子啤酒的酒精度3.1%,。）

生：從這些百分?jǐn)?shù)中很容易看出瀘州老窖的酒精度含量很高,。因為百分?jǐn)?shù)的分母都是100，只要比較三個百分?jǐn)?shù)的分子就可以了,。

生：我認(rèn)為百分?jǐn)?shù)的最大好處就是分母都是100,，便于比較大小,。

……

●小組合作學(xué)習(xí)，比較百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的不同,。

師：接下來我們就比較一下百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù),，到底有哪些不同。請小組合作討論,，并填寫下面的表格,。

學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)，教師巡視,。

匯報結(jié)果,。

生：我們認(rèn)為它們的意義不同，百分?jǐn)?shù)后面不帶單位,。

生：寫法不同,。百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而是采用百分號（%）來表示,。

生：讀法不同,。百分?jǐn)?shù)一般讀作“百分之幾”，不讀“一百分之幾”,。

生：百分?jǐn)?shù)可以不是最簡分?jǐn)?shù),，如52%。分?jǐn)?shù)就不一樣,，有時要約成最簡分?jǐn)?shù),。

生：百分?jǐn)?shù)的式子可以是小數(shù)，如3.1%,，分?jǐn)?shù)不同,。

……

百分?jǐn)?shù)是在日常生產(chǎn)和生活中使用頻率很高的知識，學(xué)生雖未正式認(rèn)識百分?jǐn)?shù),，但對百分?jǐn)?shù)卻并非一無所知,。因此，老師上課前讓學(xué)生調(diào)查生活中的百分?jǐn)?shù)的做法是完全可行的,，還可以讓學(xué)生從中體會到百分?jǐn)?shù)在生活中的廣泛應(yīng)用,，認(rèn)識到知識對于個人的意義，對激發(fā)內(nèi)在的學(xué)習(xí)動機(jī)起到了很好的作用,。更為可貴的是,，老師在這節(jié)課中，直接把學(xué)生調(diào)查到的數(shù)據(jù)和問題作為學(xué)習(xí)和研究的對象,，學(xué)生是在理解和解釋自己及同學(xué)調(diào)查得來的數(shù)據(jù)的過程中認(rèn)識百分?jǐn)?shù)的,。

“誰和誰比？”“哪個量是單位‘1’,？”“這個分?jǐn)?shù)表示的意義是什么,？”這本來是數(shù)學(xué)老師經(jīng)常在上課時問的問題,。很多時候，學(xué)生是在老師的幫助下,，通過課本例題認(rèn)識百分?jǐn)?shù)的,，通常中老師引導(dǎo)全班共同弄清老師作為例題教學(xué)提出的問題，并以提問的方式來問,，回答問題的只能是少數(shù)人,。不同的是，這節(jié)課,，每人一張學(xué)習(xí)表,，每人收集到的事例和數(shù)據(jù)不盡相同。這種一人一表,、一人一例的方法,，與全班共同研究一個例題的方法相比，好就好在“迫使”每一個學(xué)生都必須獨立思考,，都必須在不同的情境中回答相同的問題,，既需要每個人獨立思考，也可以隨時交流,，有困難的學(xué)生,，可以隨時向老師或同伴請教。大量的實例有助于學(xué)生在整體上把握百分?jǐn)?shù)的概念和意義,，體會它的作用和好處,。

有一種延續(xù)了半個世紀(jì)的教學(xué)方式，被有的專家稱為“集體作業(yè)的教學(xué)方式”,。這就是先出現(xiàn)一個問題,，然后請同學(xué)站起來應(yīng)答，當(dāng)幾個人解決了,，就相信全班都會了,。這種教學(xué)方式教師之所以喜歡，是因為它既能活躍課堂氣氛,，又便于控制教學(xué)節(jié)奏和進(jìn)度,。蘇霍姆林斯基認(rèn)為“這種方式容易造成表面的積極性和一切順利的假象。在這樣的方式下,，那些中等學(xué)生是否也有獨立思考,、獨立解決問題的體驗，我們?nèi)圆坏枚?#8221;基礎(chǔ)既落實到位,，又落實到人，體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)提倡的“關(guān)注每一個孩子的發(fā)展”的理念,。

新課程特別強(qiáng)調(diào)問題在學(xué)習(xí)活動中的重要性,。一方面強(qiáng)調(diào)通過問題來進(jìn)行學(xué)習(xí),，把問題看作是學(xué)習(xí)的動力、起點和貫穿學(xué)習(xí)過程的主線,；另一方面通過學(xué)習(xí)來生成問題,，把學(xué)習(xí)過程看成是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,、分析問題和解決問題的過程,。總之,，問題意識是學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)特別是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí),、探究學(xué)習(xí)、研究性學(xué)習(xí)的心理要素,。上述案例,，教師引領(lǐng)學(xué)生積極地、科學(xué)地,、有創(chuàng)造性地提出問題,，并嘗試去解決問題，有助于學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變,。

四,、小數(shù)的認(rèn)識。

我們現(xiàn)在常用的計數(shù)制是十進(jìn)制,，它的重要特征是位值制,，即寫在不同位置上的數(shù)字表示著不同的值。當(dāng)人們在度量可以分割的量時,，常常把作為單位的量細(xì)分為它的,，，,，這樣就得到一種以10的冪為分母的特殊的分?jǐn)?shù),，這種分?jǐn)?shù)叫十進(jìn)分?jǐn)?shù)。為了應(yīng)用上的方便,，人們把十進(jìn)分?jǐn)?shù)改用位值制的記法,，這就是小數(shù)。在有理數(shù)范圍內(nèi)的小數(shù)實際上是一種特殊的分?jǐn)?shù),，是分?jǐn)?shù)的另一種表示形式,。當(dāng)分?jǐn)?shù)的分母是10，100,，1000,，…時，可以用一位小數(shù)、兩位小數(shù),、三位小數(shù)等來表示,。由十進(jìn)分?jǐn)?shù)改寫的小數(shù)都是有限小數(shù)，所以所有的有限小數(shù)都能改寫成分?jǐn)?shù),。

在小學(xué)里學(xué)生還要遇到無限循環(huán)小數(shù),，它可由不能化成十進(jìn)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)改寫而成，所以無限循環(huán)小數(shù)也都可以改寫成分?jǐn)?shù),。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)范圍里的數(shù),。

無限不循環(huán)小數(shù)不能由分?jǐn)?shù)改寫得到，它是無理數(shù)的一川表現(xiàn)形式,。在小學(xué)生認(rèn)識的數(shù)里,，只有圓周率=3.141592…是無理數(shù)，但這并不需要告訴學(xué)生,。它只是在計算圓周長的時候才被介紹到,。

小數(shù)概念的引入，通常有兩種做法：一是從生活實例出發(fā),；二是從表示度量結(jié)果的需要出發(fā),。這都是小學(xué)生能夠理解的。

通常認(rèn)識小數(shù)也分為兩個階段：第一階段是小數(shù)的初步認(rèn)識,，特點是：（1）聯(lián)系生活實際中具體的量來認(rèn)識小數(shù),；（2）以一位小數(shù)為主；（3）不定義小數(shù),，只描述為：像0.5,，1.06，16.85,，…這樣的數(shù)叫做小數(shù),。第二階段較系統(tǒng)地認(rèn)識小數(shù)的意義。特點是：（1）給出小數(shù)的定義：分母是10,，100,，…的分?jǐn)?shù)，可以用小數(shù)表示,；（2）再次擴(kuò)展數(shù)位順序表,，建立十分位、百分位,、千分位……的概念,；（3）運用小數(shù)的計數(shù)單位分析小數(shù)的組成、小數(shù)的性質(zhì),，比較小數(shù)的大??；（4）把非整萬（億）的大數(shù)改寫成以萬（億）為單位的小數(shù)等。

1,，充分運用生活經(jīng)驗,，建立小數(shù)概念。

雖然小數(shù)實際上是一種特殊的分?jǐn)?shù),，是分?jǐn)?shù)的另一種表示形式。但在生活中最常見到的是小數(shù),，如2.45元,，30.8米，2.5噸等具體的數(shù)量,，而不是分?jǐn)?shù),。所以學(xué)生認(rèn)識小數(shù)，不一定要從分?jǐn)?shù)的概念入手,，可以由測量長度的結(jié)果不是整米數(shù),、物品的價格不是整元數(shù)出發(fā)引入小數(shù)。也可以直接運用生活中各種鮮活的實例,，讓學(xué)生感受小數(shù)的現(xiàn)實作用,。學(xué)生已有的經(jīng)驗?zāi)軌蛑С謱W(xué)生理解小數(shù)的意義，發(fā)現(xiàn)小數(shù)的性質(zhì),，進(jìn)行比較大小的活動,，從而實現(xiàn)感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的飛躍。

2,，數(shù)形結(jié)合,，教學(xué)小數(shù)的知識。

小數(shù)的意義是比較抽象的數(shù)學(xué)概念,，小數(shù)的性質(zhì)也是抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律,，小學(xué)生掌握這些知識是有一定困難的。如果把抽象的數(shù)學(xué)知識與具體的圖形聯(lián)系起來,，挖掘和利用概念中的直觀成分,，能有效地降低教學(xué)的難度。如用大正方形表示整數(shù)“1”,，它的十分之幾,、百分之幾分別表示成一位小數(shù)、兩位小數(shù),；依托直尺顯示幾厘米是百分之幾米,，是零點零幾米；在數(shù)軸上建立點與相應(yīng)的一位小數(shù),、兩位小數(shù)的聯(lián)系……這些都有助于學(xué)生領(lǐng)會小數(shù)的知識,。

3，始終把小數(shù)的意義作為教學(xué)重點。

小數(shù)的意義是進(jìn)一步學(xué)習(xí)小數(shù)的性質(zhì),、比較小數(shù)大小的規(guī)劃,、改寫大數(shù)的方法的基礎(chǔ)。

十進(jìn)分?jǐn)?shù)除了可以寫成分母是10,，100,，1000，…的分?jǐn)?shù)形式外,，還可以寫成另一種形式,，即小數(shù)。具體地說,，分母是10的分?jǐn)?shù)還可以寫成一位小數(shù),，一位小數(shù)表示十分之幾；分母是100的分?jǐn)?shù)還可以寫成兩位小數(shù),，兩位小數(shù)表示百分之幾……教學(xué)小數(shù)的意義,，要讓學(xué)生理解并掌握這些關(guān)系，這就是學(xué)生需要建立的小數(shù)概念,。

教學(xué)小數(shù)的意義，要不要從一位小數(shù)到兩位小數(shù),，再到三位小數(shù),、四位小數(shù)依次逐一進(jìn)行？我們認(rèn)為不一定,。因為一位小數(shù)與十分之幾的相互關(guān)系在三年級時已經(jīng)了解,，只不過學(xué)生對這種關(guān)系只有初步的感受，并不是很清楚,。三位小數(shù),、四位小數(shù)與一位小數(shù)、兩位小數(shù)在意義上有區(qū)別,，但本質(zhì)上又是相通的,，有一致的方面,。一位小數(shù)與兩位小數(shù)的意義和讀寫方法,，對三、四位小數(shù)具有可遷移性,。因此，教學(xué)時,，可以兩位小數(shù)的意義為主要研究對象,，向前聯(lián)系一位小數(shù)與整數(shù)，往后發(fā)展到三位小數(shù)和四位小數(shù),，逐漸形成比較完整的小數(shù)概念以及計數(shù)方法,。

4，利用知識遷移,，建立小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系。

遷移,，指一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響。分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)對小數(shù)的學(xué)習(xí)特別是小數(shù)意義的理解有直接,、顯著的影響,；小數(shù)的意義和整數(shù)的大小比較或加減計算對小數(shù)的大小比較或加減計算有直接、顯著的影響,。反過來,，后者的學(xué)習(xí)對前也有促進(jìn)作用。遷移,，有時在聽教師講解的過程中實現(xiàn),。例如，“5分米和4分米分別是幾分之幾米”是學(xué)生已有的知識,，只要通過提問,，引起學(xué)生的回憶和思考，就不難解決,。然后不妨直接告訴學(xué)生：“米還可以寫成0.5米,，米還可以寫成0.4米。”注意：是“還可以寫成”,，也就是同一對象的兩種不同形式,，使小數(shù)和分?jǐn)?shù)建立起直接的聯(lián)系，使學(xué)生進(jìn)一步體會到,，十分之幾和一位小數(shù),，百分之幾和兩位小數(shù)……之間的關(guān)系。用單名數(shù)或復(fù)名數(shù)表示具體的數(shù)量,、把正方形平均分成10份,，100份，1000份,，…,，表示其中的若干份以及用數(shù)軸表示數(shù),，過去曾經(jīng)是認(rèn)識整數(shù)、分?jǐn)?shù)時常用的模型,，而現(xiàn)在又拓展到了小數(shù),。比如，把一個正方形平均分成10份,，100份,，其中的若干份既可以用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示,。到了這時,，學(xué)生理解的小數(shù)已經(jīng)不是具體的量了，自然就接受了不帶單位的小數(shù),。這些做法,，無論對小數(shù)意義的接受、理解,，還是對小數(shù)的模型的建立,，培養(yǎng)關(guān)于小數(shù)的數(shù)感，都很有幫助,。

5,，溝通整數(shù)與小數(shù)計數(shù)與比較方法的關(guān)系。

整數(shù)與小數(shù)的計數(shù)方法是一致的,，相鄰兩個計數(shù)單位間的進(jìn)率都是“十”,，小數(shù)的計數(shù)方法是整數(shù)計數(shù)方法的擴(kuò)展。教學(xué)中要設(shè)計相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié),，將整數(shù)的計數(shù)方法遷移到小數(shù),，為學(xué)生在計數(shù)的經(jīng)驗和方法上建立聯(lián)系。不僅如此,，還要利用這些活動幫助學(xué)生整理認(rèn)數(shù)系統(tǒng),，把原來認(rèn)識的整數(shù)數(shù)位表擴(kuò)充到小數(shù)，把分單位和小數(shù)的計數(shù)單位聯(lián)系起來,，使學(xué)生逐步在頭腦中建構(gòu)起完整的認(rèn)數(shù)體系,。

學(xué)生已經(jīng)掌握的比較整數(shù)大小的知識，有些可以應(yīng)用于比較小數(shù)的大小,，也有些需要在認(rèn)識上做必要的調(diào)整,。如，在整數(shù)中,，位數(shù)多的數(shù)一定比位數(shù)少的數(shù)大（四位數(shù)大于三位數(shù)）,。而在小數(shù)中未必一定如此（三位小數(shù)不一定比兩位小數(shù)大）。因此,，從比較整數(shù)的大小到比較小數(shù)的大小,，不是單純的認(rèn)知同化和方法遷移,。

綜上所述，理解數(shù)的意義是數(shù)學(xué)課程的重要任務(wù),。小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)整數(shù),、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等數(shù)的概念,。這些概念本身是抽象的,，只有為學(xué)生提供充分的可以感知的現(xiàn)實背景，才能使學(xué)生真正理解數(shù)的意義,，建立數(shù)感,。

把握基本矛盾  走向有效教學(xué)

——“數(shù)的運算”備課解讀與難點透視

江蘇  徐  斌

課改前，關(guān)于“數(shù)的運算”教學(xué)議論很多：

——中國學(xué)生的計算能力全球最高,，為什么要進(jìn)行改革,？

——計算教學(xué)過于形式化、技巧化,，嚴(yán)懲脫離學(xué)生生活實際,；

——計算教學(xué)的訓(xùn)練單調(diào)枯燥，嚴(yán)重挫傷了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,；

——過分強(qiáng)調(diào)精確計算，忽視了估算能力的培養(yǎng),；

……

課改后,，關(guān)于“數(shù)的運算”教學(xué)仍然議論很多：

——學(xué)生的計算能力（口算能力和筆算能力）嚴(yán)重下降；

——在計算目標(biāo)（速度和正確率）方面兩極分化現(xiàn)象嚴(yán)重,；

——計算器的引入干擾了學(xué)生計算能力的形成,；

——“算法多樣化”影響了課堂教學(xué)的效率；

……

如何應(yīng)對“數(shù)的運算”教學(xué)改革中的問題,？本文試從數(shù)的運算的重要意義與價值,、教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)的變化出發(fā)，針對目前數(shù)的運算教學(xué)中普遍存在的基本矛盾進(jìn)行分析并提出解決策略,。

一,，“數(shù)的運算”的重要意義和價值。

“數(shù)的運算”在整個小學(xué)階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容中占有相當(dāng)大的比重,。正確認(rèn)識計算在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用,，準(zhǔn)確了解計算的內(nèi)在思想和方法，能使我們的計算教學(xué)更加科學(xué)有效,。

數(shù)的運算是人們在日常生活中應(yīng)用最多的數(shù)學(xué)知識,，因此它歷來是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容，培養(yǎng)小學(xué)生的計算能力也一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)之一,。計算教學(xué)直接關(guān)系著學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能的掌握,，關(guān)系著學(xué)生觀察,、記憶、思維等能力的發(fā)展,，關(guān)系著學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣,、情感、意志等非智力因素的培養(yǎng),。一定的計算能力是每個公民應(yīng)具備的基本素養(yǎng),。

1，在日常生活中有廣泛的應(yīng)用,。

數(shù)的運算是人們認(rèn)識客觀世界的周圍事物的重要工具之一,。從抽象的觀點看，客觀世界的表現(xiàn)形式可以概括為：數(shù)量,、空間和時間及相互之間的關(guān)系,。從數(shù)學(xué)的角度看，主要表現(xiàn)在數(shù),、量,、形三個方面，而計量是離不開數(shù)的運算的,，空間形式及其關(guān)系要量化也離不開數(shù)與計算,。任何學(xué)科規(guī)律歸結(jié)為公式后基本上都要運用四則混合運算來計算。

2,，對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力有重要作用,。

學(xué)習(xí)數(shù)的運算的過程就是發(fā)展邏輯思維能力的過程。數(shù)的運算的概念,、性質(zhì),、法則、公式之間都有內(nèi)在聯(lián)系,，存在著嚴(yán)密的邏輯性,。每個概念、性質(zhì),、法則,、公式的引入與建立，都要經(jīng)過抽象,、概括,、判斷、推理的思維過程,。學(xué)生學(xué)習(xí),、理解和掌握這些概念、性質(zhì),、法則,、公式,，都要經(jīng)過從具體到抽象、從感性到理性的過程,。學(xué)生把這些應(yīng)用到實際中去,，還要經(jīng)過由一般到特殊的演繹過程。因此,，數(shù)的運算的學(xué)習(xí)有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力,。

3，有利于滲透數(shù)學(xué)思想方法的教育,。

數(shù)的運算是在人類的生產(chǎn),、生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，由低級到高級,、從簡單到復(fù)雜,。而數(shù)的運算中又有很多相互依存、對立統(tǒng)一的概念和計算方法,。如整數(shù)與分?jǐn)?shù),、約數(shù)與倍數(shù)，加與減,、乘與除,、通分與約分，等等,。教學(xué)中闡明這些相互依存的概念與概念,、計算方法與計算方法之間的關(guān)系，有利于滲透數(shù)學(xué)思想方法的教育,。

二，內(nèi)容變化解讀,。

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,，尤其是計算機(jī)和計算器的普及，“數(shù)的運算”中哪些知識是大多數(shù)人最常用和最基礎(chǔ)的,，也在發(fā)生著變化,。了解和研究這種變化，重新審視相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容和要求,，是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教材改革研究的任務(wù)之一,。

1，加強(qiáng)的內(nèi)容,。

（1）注重計算與日常生活的聯(lián)系,。

過去一提到計算，常常和“抽象”,、“單調(diào)”,、“枯燥”等詞語聯(lián)系在一起,，計算教學(xué)陷入了一些誤區(qū)。與傳統(tǒng)的計算相比,，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》注重了通過實際情境使學(xué)生體驗,、感受和理解運算的意義?！稑?biāo)準(zhǔn)》中提出：“經(jīng)歷將一些實際問題抽象為數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本技能,，并能解決簡單的問題。”“經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)符號和圖形描述現(xiàn)實世界的過程,，建立初步的數(shù)感和符號感,，發(fā)展抽象思維。”

誠然,，計算本身具有較強(qiáng)的抽象性,，但其反映的內(nèi)容又常常是現(xiàn)實的，與人們的生活,、生產(chǎn)有著十分密切的聯(lián)系,。新課程注重計算的現(xiàn)實意義，適當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷一些現(xiàn)實情境,，使學(xué)生通過活動體驗,、感受和理解運算的意義、來源,、現(xiàn)實背景和本質(zhì),。

（2）加強(qiáng)計算器的運用。

計算器的運用一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)討論的焦點,?！稑?biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施應(yīng)重視運用現(xiàn)代信息技術(shù)，特別要充分考慮計算器,、計算機(jī)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響,，大力開發(fā)并向?qū)W生提供更為豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強(qiáng)有力工具,，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式,，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去,。”

借助計算器不僅有利于學(xué)生進(jìn)行較復(fù)雜的運算,，解決實際問題，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的能力,。一方面,，學(xué)生可以用它進(jìn)行大數(shù)目的加、減、乘,、除四則運算,，節(jié)約時間，提高計算的速度,；另一方面,，借助計算器可以引導(dǎo)學(xué)生探索一些復(fù)雜的、更為現(xiàn)實的應(yīng)用問題,。計算器進(jìn)入課堂,，能逐步把學(xué)生從繁瑣的技巧性計算中解放出來，以學(xué)習(xí)更多有用的數(shù)學(xué)內(nèi)容,。

當(dāng)然,，計算器的引入是一種新的改革和試驗，需要我們深入研究,，防止簡單化處理,，特別是在低年級學(xué)生形成基本計算能力的時候要慎用，在高年級學(xué)生學(xué)習(xí)中也要注意不能養(yǎng)成完全依賴計算器的習(xí)慣,。

（3）強(qiáng)化估算的作用,。

估算是人們在日常生活、工作和生產(chǎn)中,，對一些無法或沒有必要進(jìn)行精確測量和計算的數(shù)量所進(jìn)行的近似或粗略估計的一種方法,。

如仿，復(fù)雜的計算都可以由計算機(jī)或計算器來完成,，與此同時,，日常生活或工作中估算的作用也越來越突出。如,，人們在使用工具進(jìn)行計算時,，由于操作上的失誤會使計算結(jié)果有很大的誤差，這就要求人們具有一定的估算能力,，能對計算結(jié)果的合理性進(jìn)行判斷,，并對其合理性作出解釋。另外,，估算還可以用于平時的計算，在計算前對結(jié)果進(jìn)行估算,，可以使學(xué)生合理,、靈活地用多種方法去思考問題；在計算后對結(jié)果進(jìn)行估算,，可以使學(xué)生獲得一種最有價值的檢驗結(jié)果的方法,。所以估算能力是現(xiàn)代化社會生活的需要，是衡量人們計算能力的一個重要標(biāo)準(zhǔn)。重視,、加強(qiáng)估算已成為一個世界性的潮流,。

《標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出要培養(yǎng)估算能力。在第一學(xué)段中強(qiáng)調(diào)“能結(jié)合具體情境進(jìn)行估算,，并解釋估算的過程”,，在第二學(xué)段中強(qiáng)調(diào)“在解決具體問題的過程中，能選擇合適的估算方法,，養(yǎng)成估算的習(xí)慣,。”

2，削弱的內(nèi)容,。

（1）刪減珠算的內(nèi)容,。

珠算作為我國傳統(tǒng)的計算工具，在歷史上發(fā)揮了重要的作用,，同時,，珠算教學(xué)的形象性對于學(xué)生智力開發(fā)也有很大的促進(jìn)作用。但是隨著計算機(jī)的不斷普及,，人們基本上已經(jīng)不采用珠算計算的方法,。因此《標(biāo)準(zhǔn)》中基本不介紹珠算，取而代之的是計算器,。

（2）刪減繁瑣的運算步驟,。

在整數(shù)運算方面，《標(biāo)準(zhǔn)》明確提出：“進(jìn)行簡單的整數(shù)四則混合運算（以兩步為主,，不超過三步）,。”而在這里“簡單”運算的含義具體包括：“加、減法以兩三位為主”,，“乘法是三位數(shù)乘兩位數(shù)”,，“除法是三位數(shù)除以兩位數(shù)”。在小數(shù),、分?jǐn)?shù)運算方面,，《標(biāo)準(zhǔn)》提出：“會分別進(jìn)行簡單的小數(shù)、分?jǐn)?shù)（不含帶分?jǐn)?shù)）加,、減,、乘、除運算及混合運算（以兩步為主,，不超過三步）,。”

（3）刪減運算的數(shù)目要求。

在口算方面,，《標(biāo)準(zhǔn)》提出：“會口算百以內(nèi)一位數(shù)乘,、除兩位數(shù),。”在筆算方面，提出：“能筆算三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法,，三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法,。”

我們知道，同一類計算題目,，數(shù)目較大的運算比數(shù)目較小的運算錯誤率有成倍的增長,。因此降低計算中的數(shù)目要求，也就降低了學(xué)生的錯誤率,，減輕了學(xué)生負(fù)擔(dān),。

三，教學(xué)要點,。

第一學(xué)段總體要求：“應(yīng)重視口算,，加強(qiáng)估算，提倡算法多樣化,；應(yīng)減少單純的技能性訓(xùn)練,，避免繁雜計算和程式化地敘述‘算理’。”

第二學(xué)段總體要求：“應(yīng)重視口算,，加強(qiáng)估算,，鼓勵算法多樣化；應(yīng)使學(xué)生經(jīng)歷從實際問題抽象出數(shù)量關(guān)系,，并運用所學(xué)知識解決問題的過程,；應(yīng)避免繁雜的運算，避免將運算與應(yīng)用割裂開來,，避免對應(yīng)用題進(jìn)行機(jī)械的程式化訓(xùn)練,。”

在實際的教學(xué)中，要特別注意如下問題的解決,。

1,，如何建立四則運算概念？

首先,，應(yīng)注重在具體情境中體會運算意義,。四則運算是小學(xué)數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的知識。一般對加法的定義是：“把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算,。”減法的定義是：“已知兩個加數(shù)的和與其中一個加數(shù),，求另一個加數(shù)的運算。”乘法的定義是：“求相同加數(shù)的和的簡便運算,。”除法的定義是：“已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù),，求另一個因數(shù)的運算。”這些運算定義雖然在表述上已經(jīng)比較直觀,，但對于低年級的小學(xué)生來說,，仍是十分抽象的。心理學(xué)研究表明,，當(dāng)一個數(shù)的運算與所代表的情境中的物體相聯(lián)系時,，才能在學(xué)生的頭腦中獲得真正的意義。情境可以賦予數(shù)以意義,，從而使抽象的數(shù)成為具體的物體,。因此《標(biāo)準(zhǔn)》提出“結(jié)合具體情境”的要求。

案例1：“加法”（人教版《數(shù)學(xué)》一上）

教材創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的活動情境圖“折紙游戲”：已經(jīng)折了1只紅色的紙鳥,，2只藍(lán)色的紙鳥,。

教學(xué)時，可以組織學(xué)生觀察并述說：紅色紙鳥的只數(shù)可以用“1”表示,，藍(lán)色紙鳥的只數(shù)可以用“2”表示,，一共折的紙鳥只數(shù)可以用“3”表示；要求一共有多少只紙鳥,，可以把“1”和“2”合并起來,，在數(shù)學(xué)上把這種運算叫做“加法”，寫成“1＋2=3”,；然后讓學(xué)生聯(lián)系情境說一說“1”和“2”,，“3”和“＋”各表示什么含義；最后再通過小朋友把兩只手里的氣球合并以及讓學(xué)生動手?jǐn)[學(xué)具等活動,，逐步形成對加法意義的認(rèn)識,。

這樣，學(xué)生對加法含義的理解是建立在豐富的感性積累基礎(chǔ)之上,，在頭腦中形成鮮明的動態(tài)表象,，從而獲得關(guān)于加法運算意義的準(zhǔn)確理解。

案例2：“乘法”（蘇教版《數(shù)學(xué)》一下）

教材通過情境圖,，首先讓學(xué)生在具體活動中感知“幾個幾”：免有3個2,，雞有4個3；再讓學(xué)生用已經(jīng)學(xué)過的連加進(jìn)行計算：2＋2＋2=6,，3＋3＋3＋3=12,。

接著通過操作學(xué)具和觀察花片活動，使學(xué)生進(jìn)一步體驗“幾個幾”：3個5可以寫成5＋5＋5=15,，5個3可以寫成3＋3＋3＋3＋3=15,。

然后通過計算桌子上電腦的臺數(shù)：2＋2＋2＋2=8，講述——“4個2相加,，可以寫成2×4=8或4×2=8”,。同時結(jié)合教學(xué)乘號、乘數(shù),、積等名稱和乘法算式的讀法,。

這樣的編排和教學(xué),，改變了過去強(qiáng)調(diào)“相同加數(shù)”、“相同加數(shù)的個數(shù)”,、“每份數(shù)”,、“份數(shù)”、“被乘數(shù)”,、“乘數(shù)”等過分形式化的概念以及所謂被乘數(shù)和乘數(shù)不能換位置的人為障礙,，強(qiáng)化了乘法的本質(zhì)——同數(shù)相加。學(xué)生認(rèn)識乘法的過程,，成了快樂的學(xué)習(xí)體驗過程,，成了理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的過程。

2,，如何重視口算教學(xué),？

口算也稱心算，是一種不借助計算工具,，僅依靠記憶與思維,，直接算出結(jié)果的計算方式?？谒慊趥€人對數(shù)的基本性質(zhì)和算術(shù)運算的理解,，它不僅僅是筆算的基礎(chǔ)，而且也是運算中獨立的一部分,，同時口算在日常生活中有著很高的應(yīng)用價值,。口算還是數(shù)感發(fā)展過程中的一個重要部分,。

在教學(xué)中具體落實“重視口算”的目標(biāo),，應(yīng)注重如下兩點：

（1）在數(shù)形結(jié)合中理解口算原理。

數(shù)的運算,，其實質(zhì)是對現(xiàn)實生活中物體的個數(shù)進(jìn)行運算,，可以說小學(xué)階段的每個算式都可以在生活中找到實例。在讓學(xué)生理解口算的算理時,，除了要與實際情境相結(jié)合,，還要逐步過渡為數(shù)學(xué)的語言符號。

案例3：“整百數(shù)加,、減整百數(shù)”（北師大版《數(shù)學(xué)》二下）

首先創(chuàng)設(shè)“買電器”的情境：洗衣機(jī)500元,，電冰箱1200元，電視機(jī)800元,，電風(fēng)扇160元,。提出問題：“爸爸買一臺洗衣機(jī)和一臺電視機(jī)共花多少錢？”列式：500＋800,。接著通過具體的人民幣（都是百元面值）的呈現(xiàn),，引發(fā)學(xué)生思考：5加8等于13,，500＋800=1300。

然后通過計數(shù)器演示：5個百加8個百是13個百,，也就是1300,。最后讓學(xué)生說說自己的思考和計算過程。

這樣,，由具體實物（百元人民幣形象地表示計算單位“百”）的操作過渡到半形象半抽象的計數(shù)器（百位上算珠操作）演示，再通過學(xué)生在頭腦中的表象運演,，使學(xué)生逐步理解口算的算理（5個百加8個百是13個百,，就是1300）。這樣的教學(xué)符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律：直觀動作思維→抽象邏輯思維,。

（2）科學(xué)合理地訓(xùn)練,，強(qiáng)化基本口算。

在小學(xué)的口算內(nèi)容中,，兩個一位數(shù)相加與其相對應(yīng)的減法,、表內(nèi)乘法與其相對應(yīng)的除法是四則運算中的基本口算，俗稱“四張九九表”,，這“四表”是一切計算的基礎(chǔ),，務(wù)必使學(xué)生達(dá)到“脫口而出”的熟練程度。為此,，在口算教學(xué)中,，除了讓學(xué)生理解算理、掌握算法,，還要注重口算訓(xùn)練的科學(xué)合理性,。

筆者調(diào)查了當(dāng)前小學(xué)生基本口算能力的現(xiàn)狀和錯誤分布情況，發(fā)現(xiàn)在低年級階段有些老師過分提高口算的速度要求（每分鐘30道甚至50道）,，而中高年級則忽視基本口算訓(xùn)練,，過分依賴筆算。

要強(qiáng)化基本口算,，首先應(yīng)重視基本口算方法的教學(xué),。小學(xué)生口算的方法一般有三個層次：逐一重新計數(shù)→借數(shù)數(shù)加算或減算→按數(shù)群運算。在教學(xué)基本口算時,，要重視讓學(xué)生逐步掌握按數(shù)群運算的方法,。所謂數(shù)群，是指學(xué)生在計數(shù)時能將最后說出的數(shù)作為所數(shù)過的一群對象的總體來把握,。所謂按群計數(shù),，就是計數(shù)時不以某個物體為單位，而是以數(shù)群為單位,，如兩個兩個地數(shù),、五個五個地數(shù),，等等。同時我們還應(yīng)該注意,，在教學(xué)初期,，為了達(dá)到算法指導(dǎo)下的正確計算，可不做計算速度的要求,。

其次,，應(yīng)注重退位減法與表內(nèi)除法的思維教學(xué)。小學(xué)生正處于“具體運算階段”,，思維的可逆性剛剛出現(xiàn),，只能進(jìn)行初步的邏輯推理。而20以內(nèi)退位減法和表內(nèi)除法在很大程度上依賴于學(xué)生的逆向思維,。因此教學(xué)口算方法時,，要特別強(qiáng)化退位減法和表內(nèi)除法的基本計算思維（算減想加、算除想乘）的教學(xué),，以幫助學(xué)生掌握基本方法,，同時有意識地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

再次,，應(yīng)注意口算訓(xùn)練的科學(xué)性,。要提供訓(xùn)練材料，選擇訓(xùn)練時機(jī),，注意訓(xùn)練方法,，考慮訓(xùn)練周期，做到適時,、適量,、適度。具體說來,，一要注意加強(qiáng)課堂練習(xí),，采用講練結(jié)合的方式及時鞏固所學(xué)口算內(nèi)容；二要注意練習(xí)的針對性,，抓住難點反復(fù)練習(xí),，不能平均用力；三要注意練習(xí)形式的多樣化,，提高學(xué)生口算的積極性,，避免簡單的機(jī)械重復(fù)。

3,，如何加強(qiáng)估算意識,？

做算具有重要的應(yīng)用價值，是學(xué)生應(yīng)該具備的重要的計算技能。隨著計算技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展,，大量的計算并不要求進(jìn)行精確的計算,，一個人在日常生活中進(jìn)行估算的次數(shù)，遠(yuǎn)比精確計算的次數(shù)多得多,。在小學(xué)階段的計算教學(xué)中,，與估算相關(guān)的內(nèi)容很多，如估計商的近似值,、試商,、估計小數(shù)乘法的結(jié)果、用估算進(jìn)行驗算,，等等,。要體現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》中“加強(qiáng)估算”的要求，可以著力于以下兩方面：

（1）培養(yǎng)數(shù)感是打好估算的基礎(chǔ),。

數(shù)感是對數(shù)和數(shù)的關(guān)系的一種良好的直覺。在估算中數(shù)感主要表現(xiàn)為能在具體情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系,，能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴?，能對結(jié)果的合理性作出解釋。估算可以發(fā)展學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識,，培養(yǎng)數(shù)感,；同時，良好的數(shù)感又是學(xué)生進(jìn)行估算的必要基礎(chǔ),。除了在數(shù)的認(rèn)識時要加強(qiáng)數(shù)感的培養(yǎng),，在數(shù)的運算過程中更應(yīng)結(jié)合具體計算培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

（2）掌握估算方法,，養(yǎng)成估算習(xí)慣,。

有研究表明，小學(xué)生最常使用的估算方法主要有三種：簡約,、轉(zhuǎn)換和補(bǔ)償,。所謂“簡約”，是指學(xué)生在估算時先把數(shù)簡化成比較簡單的形式,。例如估算“495＋310”,，把495看作500，把310看作300,，這樣估算時只要想比較簡單的形式“500＋300”即可,。所謂“轉(zhuǎn)換”，是指學(xué)生在估算時把一種問題轉(zhuǎn)換成另一種問題來思考,。例如,，估算加法問題“602＋597＋589”，把加法問題轉(zhuǎn)換為乘法問題：“600乘3是1800,，所以答案差不多是1800左右,。”而所謂“補(bǔ)償”,，則是學(xué)生在進(jìn)行簡約或轉(zhuǎn)換時，進(jìn)行一些調(diào)整,，以補(bǔ)償前面運算中的不足,，使估算比較準(zhǔn)確。例如,，“602＋597＋589”這一問題,，學(xué)生在轉(zhuǎn)換時可能會進(jìn)一步想：“答案大約是1800，而且會稍小于1800,，因為我在將每一個數(shù)都簡化成600時,，用加的部分比用減的更多一些。”

我們在教學(xué)中也常常發(fā)現(xiàn),，有些學(xué)生在計算時會出現(xiàn)一些莫名其妙的錯誤,。對此，我們應(yīng)讓學(xué)生養(yǎng)成及時估算檢查的習(xí)慣,，每做完一道題目,，可以先估計一下數(shù)值，然后與實際計算所得的答案比較,，及時覺察出錯誤并加以更正,。

案例4：（北師大版《數(shù)學(xué)》三上）

一個同學(xué)說“我有一串五色珠子，共98顆,，每種顏色顆數(shù)都相等,。”另一位同學(xué)經(jīng)過估算指出“這是不可能的”。這里,，后一位同學(xué)就是用估算進(jìn)行了判斷,。他可能用乘法的思路：5乘一個數(shù)的得數(shù)個位要么是0要么是5，不可能是8,。也可能是用除法的思路：98除以5,，是有余數(shù)的。

可見,，養(yǎng)成了估算的良好習(xí)慣,，能解釋結(jié)果的合理性，驗證了計算的精確度,。

4,，如何體現(xiàn)算法多樣化？

《標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“由于學(xué)生生活背景和思考角度不同,，所使用的方法必然是多樣的,，教師應(yīng)新生學(xué)生的想法，鼓勵學(xué)生獨立思考，提倡計算方法的多樣化,。”要體現(xiàn)“算法多樣化”的思想,，應(yīng)注重以下三方面：

（1）理解算法多樣化的內(nèi)涵。

所謂算法就是指解決各種數(shù)學(xué)問題的程序與方法,，具體包括運算的方法與解題策略,。這兩者都由一定的程序與規(guī)則組成，因此運算方法與解題策略有共性也有區(qū)別,。前者更偏重于技能,，可以通過練習(xí)獲得，并進(jìn)而成為技巧,，而后者雖然也可進(jìn)行訓(xùn)練,，但由于信息復(fù)雜，更多要依靠思維能力,。兩者無本質(zhì)區(qū)別,，只有層次之差。

（2）找準(zhǔn)算法多樣化的前提,。

現(xiàn)代學(xué)習(xí)心理學(xué)研究表明,，實施算法多樣化也是有前提的，各種不同算法要建立在思維等價的基礎(chǔ)上,，否則多樣化就會導(dǎo)致泛化,。以學(xué)生思維憑借的依據(jù)看,，可以分為基于動作的思維,、基于形象的思維、基于符號與邏輯的思維,。顯然這三種思維并不在同一層次上,，不在同一層次上的算法就應(yīng)該提倡優(yōu)化，而且必須優(yōu)化,，只是優(yōu)化的過程應(yīng)是學(xué)生不斷體驗與感悟的過程,，而不是教師強(qiáng)制規(guī)定和主觀臆斷的過程，應(yīng)讓學(xué)生逐步找到適合自己的最優(yōu)算法,。

（3）把握算法優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn),。

過去我們僅僅用成為認(rèn)為唯一合理的方法作為基本算法教給學(xué)生。現(xiàn)在我們認(rèn)為的基本算法是什么呢,？其實,，基本算法并不是唯一算法，基本算法應(yīng)該是指同一思維層次上的方法群,。以此為基礎(chǔ),，這里提出判定基本算法的三個維度：一是從心理學(xué)維度看，多數(shù)學(xué)生喜歡的方法；二是從教育學(xué)維度看,，教師易教,、學(xué)生易學(xué)的方法；三是從學(xué)科維度看,，對后續(xù)知識的掌握有價值的方法,。理想的基本算法是三位一體的。在小學(xué)階段,，隨著年級的升高對學(xué)科維度要求會逐漸增強(qiáng),。

四，當(dāng)前計算教學(xué)存在的基本矛盾和處理策略,。

依據(jù)筆者的調(diào)查和分析,，課程改革之后計算教學(xué)中出現(xiàn)了一些亟須解決的基本矛盾。現(xiàn)分別加以分析,，以尋求良好的處理策略,。

1，情境創(chuàng)設(shè)與復(fù)習(xí)鋪墊,。

現(xiàn)在的計算教學(xué)幾乎不見了過去教學(xué)中的“復(fù)習(xí)鋪墊”,，取而代之的是“情境創(chuàng)設(shè)”。目前大多計算教學(xué)的一般教學(xué)流程常常是：教師創(chuàng)設(shè)情境,、學(xué)生提出問題,、獨立思考算法、反饋交流算法,、自主選擇算法,。為此，許計算課不是從“買東西”開始,，就是到“逛商場”結(jié)束,。一些教師在上課時首先關(guān)注的不是學(xué)習(xí)內(nèi)容本身，而是如何挖空心思創(chuàng)設(shè)新奇誘人的所謂“情境”?，F(xiàn)在的計算教學(xué),，很難再看到過去常見的復(fù)習(xí)鋪墊了。難道情境創(chuàng)設(shè)和復(fù)習(xí)鋪墊真是水火不相容嗎,？情景創(chuàng)設(shè)和復(fù)習(xí)鋪墊之間到底是怎樣的關(guān)系,？

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為,，學(xué)習(xí)總是與一定的社會文化背景即“情境”相聯(lián)系的,，在實際情境下進(jìn)行學(xué)習(xí)，有利于意義建構(gòu),。的確良好的問題情境能有效地激活學(xué)生的有關(guān)經(jīng)驗,、體驗,。《標(biāo)準(zhǔn)》也非常強(qiáng)調(diào),，計算教學(xué)時“應(yīng)通過解決實際問題進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)感,，增進(jìn)學(xué)生對運算意義的理解”；“應(yīng)使學(xué)生經(jīng)歷從實際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系,，并運用所學(xué)知識解決問題的過程”,；“避免將運算與應(yīng)用割裂開來”。

然而任何事物都不是絕對的,。因為數(shù)學(xué)的來源,，一是來自數(shù)學(xué)外部現(xiàn)實社會的發(fā)展需要；二是來自數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾,，即數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要,。數(shù)學(xué)兩方面的來源都可能成為我們展開教學(xué)的背景。例如,，“負(fù)數(shù)”過去很少出現(xiàn)在小學(xué),，現(xiàn)在《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定要引進(jìn)負(fù)數(shù)。現(xiàn)實生活中存在著大量的具有相反意義的量,，可以作為提示負(fù)數(shù)的素材,；同時,，從數(shù)學(xué)本身出發(fā),，為了解決諸如“2－3”不夠減的矛盾,，也需要引進(jìn)一種新的數(shù),，同樣是小學(xué)生易于感知的問題情境,。這里,，選擇兩種角度之一導(dǎo)入都是可取的,。

問題的另一方面,，計算教學(xué)之前還要不要“復(fù)習(xí)鋪墊”呢,？其實,，新課前的復(fù)習(xí)鋪墊其主要目的,，一是為了通過再現(xiàn)或再認(rèn)等方式激活學(xué)生頭腦中已有的相關(guān)舊知，二是為新知學(xué)習(xí)分散難點,。前者,，只要有必要,，則無可厚非。問題在于后者,。常常有人為了使教學(xué)“順暢”,，設(shè)計了一些過渡性、暗示性問題,，甚至人為設(shè)置了一條狹隘的思維通道,，使得學(xué)生無需探究或者只要稍加嘗試結(jié)論就出來了。例如,，教學(xué)一年級“9加幾）時,，有人精心設(shè)計了如下鋪墊：

其實,，計算9加幾時,，由于學(xué)生的生活背景和思考角度不同，不同的學(xué)生會想到不同的方法,。教師應(yīng)允許學(xué)生采用多樣化的方法,，不必把學(xué)生的思維局限在把另一個加數(shù)分成1和幾的這一種所謂“湊十法”。顯然這種把知識嚼爛再喂給學(xué)生的“鋪墊”,，對于發(fā)展學(xué)生主動獲取知識的學(xué)習(xí)能力是不利的,。

可見，創(chuàng)設(shè)情境和復(fù)習(xí)鋪墊并不是對立的矛盾,，并不是所有的計算教學(xué)都必須從生活中找“原型”,，選擇怎樣的引入方式取決于計算教學(xué)的內(nèi)容特點和學(xué)生的學(xué)習(xí)起點。

2,，算理直觀與算法抽象,。

曾有一些教師認(rèn)為，計算教學(xué)沒有什么道理可講,，只要讓學(xué)生掌握計算方法后,，反復(fù)“演練”就可以達(dá)到正確、熟練的要求了,。結(jié)果不少學(xué)生雖然能夠依據(jù)計算法則進(jìn)行計算,，但因為算理不清，知識遷移的范圍就極為有限,，無法適應(yīng)計算中千變?nèi)f化的各種具體情況,。

算理是指四則計算的理論依據(jù)，它是由數(shù)學(xué)概念,、性質(zhì),、定律等內(nèi)容構(gòu)成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識。算法是實施四則計算的基本程序和方法,，通常是算理指導(dǎo)下的一些人為規(guī)定,。算理為算法提供了理論指導(dǎo),，算法使算理具體化。學(xué)生在學(xué)習(xí)計算的過程中明確了算理和算法,，就便于靈活,、簡便地進(jìn)行計算，計算的多樣性才有基礎(chǔ)和可能,。因此在計算教學(xué)中重視算理和算法是一個十分重要的課題,。

現(xiàn)在，在計算教學(xué)中教師們都十分重視讓學(xué)生理解算理,，特別是讓學(xué)生在直觀形象中理解算理,，讓學(xué)生不僅知道計算方法，而且知道駕馭方法的原理,。

案例5：“一位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”（蘇教版《數(shù)學(xué)》二下）

首先出示情境圖——兩只猴子摘桃子,，每只猴子都摘了14個。讓學(xué)生提出問題：一共摘了多少個桃,？并列出乘法算式2×14,。

接著，讓學(xué)生獨立思考,，自主探索計算方法,。有的學(xué)生看圖知道了得數(shù)，有的學(xué)生用加法算出得數(shù),，有的學(xué)生用小棒擺出了得數(shù),，也有少數(shù)學(xué)生用乘法算出了得數(shù)。

然后,，組織學(xué)生交流匯報自己的計算方法,。老師在分別肯定與評價的同時，結(jié)合學(xué)生的匯報,，板書了這樣的豎式（下左圖）：

同時,，老師結(jié)合講解，分別演示教具,、學(xué)具操作過程,，又結(jié)合圖片進(jìn)行了數(shù)形對應(yīng)。

最后,，老師引導(dǎo)學(xué)生觀察這種初始豎式,，通過講解讓學(xué)生掌握簡化豎式的寫法（上右圖）,，再讓學(xué)生運用簡化豎式進(jìn)行計算練習(xí),。

上述案例反映了現(xiàn)在計算教學(xué)中的又一對基本矛盾——算理直觀與算法抽象，在教具演示,、學(xué)具操作,、圖片對照等直觀刺激下,，學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的方式，對算理的理解可謂十分清晰,，但是好景不長,，當(dāng)學(xué)生還流連在直觀形象的算理中，馬上就得面對十分抽象的算法,，接下去的計算都是直接運用抽象的簡化算法進(jìn)行計算,。

筆者認(rèn)為，在算理直觀與算法抽象之間應(yīng)該架設(shè)一座橋梁,，讓學(xué)生在充分體驗中逐步完成“動作思維→形象思維→抽象思維”的發(fā)展過程,。上述案例中，形成了初始豎式后,，不必過早抽象出一般算法,，而應(yīng)該讓學(xué)生運用這種初始模式再計算幾道題，見如下教學(xué)片斷：

師：（在學(xué)生理解了14×2的初始豎式后）我們一起來用這樣的豎式計算,。

（請三名學(xué)生上臺板演,，其余學(xué)生自己嘗試解答）

師：我們看黑板上的豎式。這些算式有什么共同的地方,？

生1：它們都是兩位數(shù)和一位數(shù)乘,。

生2：第一次乘下來都得一位數(shù)，第二次乘下來都得兩位數(shù),。

生3：我發(fā)現(xiàn)第二次乘下來都得整十的數(shù),。

生4：我發(fā)現(xiàn)得數(shù)個位上的數(shù)就是第一次乘得的數(shù)，得數(shù)十位上的數(shù)就是第二次乘得的數(shù),。

師：大家觀察得都很仔細(xì),。那么你覺得像這樣寫怎么樣？

生1：比較清楚,。

生2：清楚是清楚,，不過有點繁，有些好像不要寫兩次的,。

師：是啊,，要是能簡單些就好了。

生3：其實這個豎式積里十位上的數(shù)字可以移動到個位數(shù)字的左邊來,，其余可以擦去的,。

師：哦，你的想法挺好的,，我們一起來看屏幕——

（屏幕上動畫演示豎式由繁到簡的過程,。）

師：老師也來寫一次，你們看——這樣寫比原來是否是簡單多了,？                     1 4

                     ×2

                     2 8

生：（齊）是,！

師：我們以后列乘法豎式時,，可以選擇簡單的方法來寫。

師：剛才寫的三道豎式,，你們能不能把它們改成簡單的寫法,？

（原來板演的三名學(xué)生上臺，其余學(xué)生也動手將初始寫法改成簡單寫法,。）

在以上教學(xué)過程中,，教師沒有簡單地讓學(xué)生用所謂簡化豎式計算，而是在實際計算中使學(xué)生進(jìn)一步理解一位數(shù)乘兩位數(shù)的算理,，同時通過觀察,、比較找出這些初始豎式的共同點，進(jìn)而產(chǎn)生簡化豎式的需要,，在此基礎(chǔ)上自然引出簡化模式,。

可見，計算教學(xué)既需要讓學(xué)生在直觀在理解算理,，也需要讓學(xué)生掌握抽象的法則,，更需要讓學(xué)生充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程，從而達(dá)到對算理的深層理解和對算法的切實把握,。

3,，算法多樣與算法優(yōu)化。

數(shù)學(xué)課程改革實施的初期,，大家對“算法多樣化”感覺很新鮮,，計算教學(xué)一改過去“教材選定算法→教師講解算法→學(xué)生模仿算法→練習(xí)強(qiáng)化算法”的機(jī)械模式，出現(xiàn)了非?？上驳淖兓?，“算法多樣化”已成為計算教學(xué)最明顯的特征。

案例6：“兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法”（北師大版《數(shù)學(xué)》一下）

首先,，教師通過問題情境出示例題33-7,。然后，經(jīng)過老師的精心“引導(dǎo)”,，出現(xiàn)了多樣化的算法,，老師花了將近一課時進(jìn)行了展示（還分別用動畫式課件進(jìn)行演示）：

（1）33-1-1-1-1-1-1-1=26

（2）33-3=30，30-4=26

（3）33-10=23,，23+3=26

（4）13-7=6,，20+6=26

（5）10-7=3，23+3=26

（6）33-13=20,，20+6=26

（7）33-6=27,，27-1=26

……

最后，老師說：“你們喜歡用什么用什么樣的算法就用什么樣的算法。”

課后,，筆者與上課老師進(jìn)行了交流,，老師說：“現(xiàn)在計算教學(xué)一定要算法多樣化,，算法越多越能體現(xiàn)課改精神,。”筆者又詢問了課堂上想出第一種算法的學(xué)生：“你真是這樣算的嗎？”學(xué)生說：“我才不愿意用這種笨方法呢,！是老師課前吩咐我這么說的,。”筆者連續(xù)問了好幾個學(xué)生，竟沒有一個學(xué)生用這種逐個減1的方法,。那么后面的幾種算法（特別是第六,、第七種）真是學(xué)生自己想出來的嗎？

上述案例反映了在計算教學(xué)中少數(shù)老師對算法多樣和算法優(yōu)化這對基本矛盾的認(rèn)識模糊,。算法多樣化應(yīng)是一種態(tài)度,，是一個過程，算法多樣化不是教學(xué)的最終目的,，不能片面追求形式化,。老師不必煞費苦心“索要”多樣化的算法，也不必為了體現(xiàn)多樣化刻意引導(dǎo)學(xué)生尋求“低思維層次算法”,。即使有時是教材編排的算法,，但在實際教學(xué)中沒有出現(xiàn)，即學(xué)生已經(jīng)超越了“低思維層次算法”,，教師可以不再出示,，沒有必要走回頭路。

4,，解決問題與技能形成,。

《標(biāo)準(zhǔn)》中不再設(shè)置專門的“應(yīng)用題”領(lǐng)域，而是注重讓學(xué)生“經(jīng)歷將一些實際問題抽象為數(shù)與代數(shù)問題的過程,，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本技能,，并能解決簡單的問題”。

現(xiàn)在的計算課,，如何處理解決實際問題與計算技能形成之間的矛盾,？計算本身的問題如何解決？

我們發(fā)現(xiàn),，為了體現(xiàn)計算與應(yīng)用的密切聯(lián)系,，在計算教學(xué)時不少教師總是從實際問題引入，在學(xué)生初步理解了算理后,，馬上就去解決大量的實際問題,。表面上看，學(xué)生的應(yīng)用意識得到了培養(yǎng)，但另一方面我們也發(fā)現(xiàn),，學(xué)生常常是算式列對了,，計算錯誤率卻很高。一段時間下來,，學(xué)生的計算能力并未達(dá)到目標(biāo),，于是再反過來進(jìn)行大量的訓(xùn)練，使得不少學(xué)生短時間內(nèi)似乎計算正確率和速度提高不少,，但實際上違背了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,，學(xué)生的計算技能并沒有實質(zhì)性的提高，更為嚴(yán)重的是,，這種簡單化的處理大大挫傷了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,。

教育心理學(xué)認(rèn)為，計算是一種智力操作技能,，而知識轉(zhuǎn)化為技能是需要過程的,，計算技能的形成具有自身獨特的規(guī)律。學(xué)生計算技能的形成一般要經(jīng)歷四個階段,，即：認(rèn)知階段,、分解階段、組合階段,、自動化階段,。認(rèn)知階段主要是讓學(xué)生理解算理、明確方法,，這比較容易做到,，而后面三個階段常常被老師們忽視。一般說來,，復(fù)雜的計算技能總是可以分解為單一技能,，對分解的單一技能進(jìn)行訓(xùn)練逐漸組合，才能形成復(fù)合性技能,，再通過綜合訓(xùn)練就可以達(dá)到自動化階段,。

誠然，過去計算教學(xué)中單調(diào),、機(jī)械的大量重復(fù)性的過度訓(xùn)練是要不得的,，但是，在計算教學(xué)時只注重算理理解和解決實際問題,，對計算技能形成的過程如晴蜓點水一帶而過,，也是不利于培養(yǎng)學(xué)生的計算能力的。特別需要指出的是,，在學(xué)生初步理解算理,、明確算法后，不必馬上去解決實際問題，因為這時正是計算技能形成的關(guān)鍵階段,，應(yīng)該根據(jù)計算技能形成的規(guī)律,，及時組織練習(xí)。具體地說,，可以先針對重點,、難點進(jìn)行專項和對比練習(xí)，再根據(jù)學(xué)生的實際體驗,，適時縮減中間過程,，進(jìn)行歸類和變式練習(xí),，最后再讓學(xué)生面對實際問題,，掌握相應(yīng)的策略。

總之,，計算教學(xué)的基本矛盾的平衡對于數(shù)學(xué)課程改革的成敗有重要的影響,，數(shù)學(xué)課程改革的深入推進(jìn)也對計算教學(xué)的基本矛盾起著緩和或激化的作用。計算教學(xué)的基本矛盾也會出現(xiàn)不同的表現(xiàn)形式,。在處理這些矛盾時,，應(yīng)該從數(shù)學(xué)教育本質(zhì)出發(fā)，在大膽創(chuàng)新的同時,，吸取傳統(tǒng)教學(xué)中的優(yōu)勢,，以計算教學(xué)基本矛盾的平衡為導(dǎo)向，促進(jìn)計算教學(xué)的深入改革,，為切實提高學(xué)生的計算能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)打好基礎(chǔ),。