和大一新生談學(xué)好高等數(shù)學(xué)之二

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前言：數(shù)學(xué)是大學(xué)學(xué)習(xí)生涯中要過好的第一道坎。
　　學(xué)好高等數(shù)學(xué),，究竟有沒有什么訣竅,，或者說特殊的方法？以我之見說“有”也對,，就是勤學(xué)苦練多做題,；說“沒有”也對，想走不花力氣的捷徑是不可能的,。
　　不要相信天花亂墜的所謂數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法或高分秘訣,。
　　講者滔滔不絕，頭頭是道,，其實都是夸夸奇談,。聽了好象很有啟發(fā)，其實一點都沒有好處,。
　　所謂的技巧,，也都不過是一些雕蟲小技而已。
　　以我之見,，與其花時間去研究10種不同的高數(shù)學(xué)習(xí)方法,，還不是花時間去熟悉10種不同的數(shù)學(xué)題型,“不熟焉能生巧”。
　　認真學(xué)過高等數(shù)學(xué)的學(xué)生（參加過數(shù)學(xué)考研的學(xué)生）都知道,，一元微分學(xué)最難,，一元積分學(xué)其次。高等數(shù)學(xué)的上冊學(xué)好了,，下冊多元函數(shù)應(yīng)該不成問題了,。
　　可是現(xiàn)在大家的感覺恰恰是相反，可以說,，這完全與教學(xué)內(nèi)容無關(guān),。
　　剛進入大學(xué)校門，大家都有幾分熱情,，花在學(xué)習(xí)上的時間也比較多,，一點小聰明還在，最難的一元微分學(xué)雖然學(xué)得很累,，期中考試也都通過了。
　　可是到了下半個學(xué)期,，及至下半年,，不少人熱情不再，一點小聰明資本也基本用完了,，時間也都不知道花在了什么地方了,。
　　這樣的狀態(tài)下,，還能學(xué)得好，就是件怪事,。
　　總之,，我認為學(xué)好高等數(shù)學(xué)，不在于你的天資（潛力）,，而在于你的勤奮（努力）,。
　　在今天開學(xué)第一天，我想對愿意努力的同學(xué)說：如果你自始至終能夠切切實實按我對你的如下要求去行動,。我就不相信一年后還不會有“我努力了,，但是我還是沒有學(xué)好”的哀嘆。否則,，你把預(yù)習(xí)筆記和課堂筆記拿給我看,。

　　一．聽課，要注于專心
　　認真聽課,，這是個不言而喻的道理,。所以就不多談了，這里只談?wù)動浌P記的事,。要學(xué)好高等數(shù)學(xué),，一定要學(xué)會記筆記。
　　記筆記會使聽課更專注,，也能幫你有效地進行課外的復(fù)習(xí)鞏固,。
　　有些同學(xué)不會記筆記，只要是老師所講,，言無輕重,、話無巨細，統(tǒng)統(tǒng)照記不誤,，耳,、眼、手忙得不亦樂乎,，累得還哪里顧得上同步思考,，如果是這個樣子，倒還不如不記,。
　　課堂筆記沒必要追求齊全,、講究系統(tǒng)。只要有選擇,、有重點地記就可以了,。但是課后復(fù)習(xí)時，一定要對筆記進行適當(dāng)?shù)恼硌a充，這就是一本好筆記,。如果能再加上自己的心得體會與點評,，那就是筆記的極品了。
　　如果預(yù)習(xí)得好,，那么對哪些該記,、哪些可不記，也會更有的放矢,。
　　現(xiàn)在多數(shù)老師上課都用上了多媒體課件,，但誰也不會是照屏宣科，精彩之處常在屏外的補充與發(fā)揮之中,。這些補充與發(fā)揮之處尤其要詳細地記,。

二．復(fù)習(xí)，要做到精心
　　在整個學(xué)習(xí)的過程中,，復(fù)習(xí)是最重要的環(huán)節(jié),，有專家研究過所謂的“知識遺忘規(guī)律”有近快遠慢的現(xiàn)象。學(xué)得越快越多,，忘得也越快越多,。
　　所以剛學(xué)的東西，一下課就要及時復(fù)習(xí),，這叫“鞏固記憶” ,；期中考試再復(fù)習(xí)，這叫“加深記憶” ,；期末考試系統(tǒng)地總復(fù)習(xí),，這叫“強化記憶” 。
　　對于搞數(shù)學(xué)教學(xué)的我,，想把“知識遺忘規(guī)律”總結(jié)為“知識記憶的指數(shù)衰減律” ,。于是得到下面兩個公式，第一個公式是
　　　　　　　　　　　y＝A exp(－kt),，
　　我想把它稱為“龔氏第一公式” ,，具體地說就是“復(fù)習(xí)記憶公式” ，其中A為初始學(xué)習(xí)量,，t為時間,，正數(shù)k就是復(fù)習(xí)記憶系數(shù)，y為時刻t的即時記憶量．
　　那么我們的復(fù)習(xí)就是在做系數(shù)k的修正工作,，反復(fù)的復(fù)習(xí)可以把系數(shù)k改變成為一個很小的正數(shù),，從而達到最好的記憶效果。在k=0的極端情況下,，記憶就會被“鎖住”而成為所謂的“永久記憶” ,。
　　由于我們在復(fù)習(xí)的同時,，或在復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，還在不間斷地學(xué)習(xí)著新的知識,，所以反復(fù)的滾動復(fù)習(xí)所起的效果就是知識的積累。我們可以把這個意思寫成第二個公式
　　Y＝y(tǒng)1＋y2＋y3＋．．．＋yn
    ＝A1 exp(－k1 t)＋A2 exp(－k2 t)＋A3 exp(－k3 t)＋．．．＋An exp(－kn t)
　　這個公式可以稱為“龔氏第二公式”,，也稱為“溫故知新公式”或“知識積累公式” ,。
　　如果你在任何時刻的復(fù)習(xí)都能夠做得如此的精心，那么兩年以后的考研復(fù)習(xí)時,，就只要在你的“記憶庫”中進行輕松的搜索,、回顧就可以了。
　　古代孔圣人曰“學(xué)而時習(xí)之,，不亦說乎,！”
　　現(xiàn)代世俗人謂“曲不離口，越唱越靈,；拳不離手,，越打越精” 。

三．作業(yè),，要肯下苦心
　　作業(yè)是復(fù)習(xí)的一個組成部分,，不做作業(yè)的復(fù)習(xí)是虛空復(fù)習(xí)，不復(fù)習(xí)而做的作業(yè)是低效作業(yè),?？磿⒖垂P記,、做作業(yè),，當(dāng)然需要有先、后的次序,，但是適當(dāng)?shù)亟惶孢M行會更有實效,。
　　如果說做好預(yù)習(xí)是提高課堂聽課效率的充分條件，那么及時完成好作業(yè)就是讀好高等數(shù)學(xué)的必要條件,。
　　老師所布置的作業(yè)是最低量作業(yè)要求,，如果完成這些作業(yè)后還找不到明顯的感覺，就應(yīng)該適當(dāng)?shù)丶哟笞约旱淖鳂I(yè)量,。
　　作業(yè)是為自己作的,，抄作業(yè)實際上被欺騙的是自己。
　　老師批過的作業(yè)一定要認真仔細地看,，這不僅是對老師辛勤勞動的尊重,，更是糾正自己的錯誤，以免重犯的絕好方法,。
　　由于多數(shù)作業(yè)本是由助教批閱的,，或許有批錯的地方，另外還可能有對老師在作業(yè)本上的批語沒全搞明白的地方，必須及時問老師,。

四. 答疑,，解決問題不過夜
　　學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)過程中，必然會有各種疑問,。思考越深,，疑問越多。有疑問是好事,，攻克的問題無論大小,，積累起來就是“學(xué)問”。不思無問,，就是瞎混混,。到頭來，且不說一事無成,，就是想涉險過關(guān),，也許沒那么僥幸。
　　學(xué)習(xí)要有憤悱意識,，不憤不啟,、不悱不發(fā)，自己發(fā)問,、自己回答,。“冥思苦想”之下的“豁然開朗”,，那才真叫是“其樂無窮”,。當(dāng)然這是理想境界，可遇也可求,，但是不強求,。
　　我們的功課門數(shù)很多，而精力很有限,，不能全都化在高等數(shù)學(xué)一門功課上,。
　　“冥思苦想”也不能死耗時間，自己想不明白,，再問同窗學(xué)友,。互相切磋,，集思廣益,。每個人有不同的亮點，一旦互相發(fā)生碰撞,，興許就會產(chǎn)生絢麗的火花,，三個“臭皮匠”賽過一個諸葛亮嘛,！
　　為學(xué)生釋疑解難是老師的天職，我們學(xué)校里每天都安排老師值班答疑（固定時間,，固定地點）,，這是你應(yīng)該充分利用的寶貴資源。只要是教高數(shù)的,，隨便遇到那個老師都可以問,，
　　答疑時，不要總希望老師把問題的解答向你和盤托出,。而那些只給你以適當(dāng)提示和啟發(fā)，讓你自己繼續(xù)思考的老師絕對是個好老師,。如果你認為這樣的老師不夠熱心,，那你就錯了。
　　這時候,，反倒需要你要有足夠的耐心,，認真地按照老師指點，去動手演算一下,。如果在經(jīng)過老師點撥后,，你真的懂了，那當(dāng)然是最好,。否則,，就要窮追猛打，徹底弄懂,。沒有搞懂就是沒有搞懂,，不要不好意思多問，不要擔(dān)心老師會不耐煩,。老師一定會給你第二步引導(dǎo),，第三次啟發(fā)。直到完全弄懂為止,。
　　如果你來我這里答疑,，我常常會對“表示已經(jīng)搞懂的”學(xué)生提出這樣的要求“你真懂了嗎？你來給我講一遍”,。

五. 課外閱讀,，看書有選擇
　　工科學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要求還是很基本的，考試也不會偏,、難,、怪。個人認為：如果你沒有特殊要求,，就沒必要去博覽群書,、廣采泛擷,。認真研讀兩本三本高數(shù)的教學(xué)輔導(dǎo)書就非常足夠了。
　?。ㄒ唬┙滩念惖臅?，沒有必要多研究。
　　國內(nèi)各校教材,，雖然各有特色,，但都是依據(jù)統(tǒng)一的教學(xué)大綱編寫，圍繞的重點也完全相同,。
　　有些名牌大學(xué)教改步子特別大,，壓縮了大綱內(nèi)的很多基本東西，編入了許多大綱外的東西,，例如微分幾何的內(nèi)容,、運籌學(xué)的原理、還有數(shù)值計算的方法,。本人認為根本沒有必要讀這些書,。除了你所在學(xué)校的指定教材外，別的教材都不要去分析比較了,；
　?。ǘ┙虒W(xué)輔導(dǎo)書要有選擇地讀，有指導(dǎo)地讀,。
　　不少高數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書,，用了大量的篇幅去講解所謂的重點、難點,，在我看來只是教材簡單的重復(fù),、羅列；
　　還有一些學(xué)習(xí)指導(dǎo)書,，做了很多所謂知識的圖表化,、網(wǎng)絡(luò)化、程序化,。在有些作者看來,，編得太簡單似乎體現(xiàn)不出他的新意；而在我看來,，去看編得那么復(fù)雜的書,，真讓人好像感到進入了一個高等數(shù)學(xué)的迷宮一樣。
　　靠它,，我們怎么能學(xué)得好高等數(shù)學(xué),。而當(dāng)你學(xué)好了本課程后，可以發(fā)現(xiàn)這些“知識圖表化,、網(wǎng)絡(luò)化,、程序化”是極為簡單,，應(yīng)該完全可以由學(xué)生自己動手來編寫。
　　還有不少輔導(dǎo)書很講究解題技巧,，但很少講技巧的來龍去脈,。看這種書就好象看魔術(shù),，除了讓你感嘆,、驚奇之外，對初學(xué)者幫助也不大,。
　　各種五花八門的高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料與習(xí)題集目前是最受歡迎的,。但是當(dāng)大家拿到這一種書時，要請注意若缺少對典型例題的深入剖析,，沒有足夠數(shù)量的例題供揣摩,，對學(xué)生也無多大益處。
　?。ㄈ┥俣瑢W(xué)到手,。
　　有人剛開學(xué),，買書很積極，一大摞一大摞的買,。當(dāng)然其中有些人基礎(chǔ)可能特別好,，精力可能特別充沛，一本接著一本地讀,。咱們基礎(chǔ)一般或較差的,，不要去和他們攀比，也跟著去買很多書,。
　　讀數(shù)學(xué)書是得邊看邊仔細思考的,，怎能像看小說那樣一頁一頁地快速翻、一本一本地連著讀,。
　　有需要才去買,，買了就認真看，不要把它作為收藏品,。用不著包什么花花綠綠的封皮,。把涂塑的封面都翻爛了，才算是真有本事,。對于“工科學(xué)生學(xué)高等數(shù)學(xué)”來說,，我看只要能“讀破兩本書”，基本上也就能“知識滿肚皮”了,。
　　在這里,，我們對別人編寫的高等數(shù)學(xué)教學(xué)參考書不作什么具體的評價了,。因為，多年來我們利用教研室集體的力量,，就寫有多本有關(guān)的高等數(shù)學(xué)的教學(xué)參考書,。這就是由我們集體編寫的，由龔成通老師主要負責(zé)的：
　　1．《高等數(shù)學(xué)起跑第一步》
　　適合中學(xué)里沒有學(xué)過“有理函數(shù)分解,、極坐標(biāo),、復(fù)數(shù)的歐拉公式、．．．”等內(nèi)容的學(xué)生,，大學(xué)數(shù)學(xué)老師講課時,，都不會再講這些屬于《中學(xué)數(shù)學(xué)》的教學(xué)內(nèi)容。

　　本書的起點較低,，適合初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是很好的同學(xué),。
　　2．《高等數(shù)學(xué)例題與習(xí)題》
　　本書對大量典型例題進行深入剖析，著重點不在解題方法的技巧上,，而是著重于（1）教會你“怎么樣去找到”一個比較好的方法,；（2）做完習(xí)題后有應(yīng)該怎么樣去進行歸納小結(jié)。

　　本書例題和練習(xí)題起點略高,，一般問題都要至少結(jié)合到兩個基本概念和兩種基本運算,，但是有一個鮮明的特點：就是例題分析詳略得當(dāng)，不強調(diào)技巧,，而強調(diào)方法的來龍去脈,。
　　3．《大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題精講》
　　屬于提高性質(zhì)。適合對象“大一高數(shù)希望考滿分,，大四考研希望能通過”的同學(xué)（向一年級新生做特別說明：本書不是根據(jù)教學(xué)大綱編寫,，而是根據(jù)考研大綱編寫。根據(jù)考研試題特點,，本書在內(nèi)容及方法上具有前后交叉滲透特點）,。

六．預(yù)習(xí)，能充分提高聽課效率
　　做好預(yù)習(xí)是學(xué)好高等數(shù)學(xué)課程的一個重要環(huán)節(jié),。預(yù)習(xí)能充分提高課堂聽課效率,、良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣能夠為提高將來的自學(xué)能力打下扎實的基礎(chǔ)。
　　學(xué)生對學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的感受是：“上課聽得懂,，作業(yè)做不來”,。說到底，還是上課沒真懂,，而其因素之一可能是沒有認真預(yù)習(xí),。
　　對于預(yù)習(xí)，大家都覺得特別累,，既費時間,，又達不到很好的效果（也就是所謂的“事倍功半”）,。這是因為大家對預(yù)習(xí)的“要求”沒掌握好，把預(yù)習(xí)當(dāng)作了自學(xué),。實際上預(yù)習(xí)與自學(xué)是兩個不同概念,。
　　下面就具體談?wù)劯叩葦?shù)學(xué)課程的預(yù)習(xí)要求。
　　首先預(yù)習(xí)內(nèi)容不要太多,，根據(jù)老師的教學(xué)進度表,，只要把下一次的教學(xué)內(nèi)容預(yù)習(xí)一下就行了。太多了理解不了,，也難于消化,。
　　其次掌握好精略得當(dāng)。
　　對于較淺顯的內(nèi)容,，預(yù)習(xí)時可以看得細一點,，思考得深一點。
　　通過預(yù)習(xí)能看懂或基本理解當(dāng)然是最好,，但是一般說來老師的理解會比你更深刻,、更全面。你再在課堂里仔細聽聽老師的分析,、老師的理解,，他能幫你產(chǎn)生認識上的一個“疊加”或“倍增”甚至是“飛躍”。
　　高等數(shù)學(xué)的不少內(nèi)容是比較艱深的,，對于這些內(nèi)容你可以看得略微粗一點，思考得淺一點,。即便如此,，恐怕也要硬著頭皮把一個完整的內(nèi)容看完。
　　最后告訴你預(yù)習(xí)的與聽課效率的關(guān)系,。
　　預(yù)習(xí)的要求,，本來就沒有要求你能全部都能搞懂，“模模糊糊,、似懂非懂”應(yīng)該是屬于很正常的現(xiàn)象,。
　　對于“似懂”之處，課堂上老師會幫你把模糊的影子變成清晰的形象,，會使你的認識得到“糾正”,、“補充”，變“似懂”為“真懂”,；
　　而對于“非懂”之處,，在課堂上你一定會聽得更認真、更仔細,。
　　有些同學(xué)覺得高等數(shù)學(xué)課堂上記筆記抓不住要點,。那么請你試試看,，加強預(yù)習(xí)以后，這個感覺會不會得到改善,。
　　預(yù)習(xí)與聽課效率之間的關(guān)系是不容置疑的,，預(yù)習(xí)后的聽課收獲與感悟和未經(jīng)預(yù)習(xí)的情況不可同日而語。
　　高等數(shù)學(xué)的教學(xué)進度是非?？斓?，每節(jié)課上要學(xué)的內(nèi)容多非常多。如果沒有經(jīng)過預(yù)習(xí),，要想跟上進度確實不是很容易的,。
　　不可否認，也有不少同學(xué)覺得不經(jīng)過預(yù)習(xí),，高等數(shù)學(xué)也能學(xué)得蠻好,。但是，我想反問一個問題“如果你預(yù)習(xí)工作做好了,，是不是有可能把高等數(shù)學(xué)這門課程學(xué)得更好呢,？”
　　其實，從近期看,，預(yù)習(xí)可以提高聽課效率,。從遠期看，養(yǎng)成良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣,，可以為將來自我獲取新知識（自學(xué)）能力打下良好的基礎(chǔ),。