小時(shí)候手工課,，經(jīng)常有要把紙裁成帶然后再粘成環(huán)的活要干,。這個(gè)任務(wù)即使對小朋友來說也是很簡單的。但有時(shí)總會(huì)有些馬大哈會(huì)犯糊涂,，在把紙帶兩端粘成環(huán)之前不小心翻了個(gè)面,，紙環(huán)就變得歪歪斜斜的了。

這也不是什么大事,，撕了重粘就好了,。但是，既然紙環(huán)已經(jīng)變成這樣了,，何妨把玩一番呢,？要知道，這就是鼎鼎有名的莫比烏斯帶,。

很多讀者應(yīng)該都知道莫比烏斯帶的特別之處：它只有一個(gè)面,，也只有一條邊。在數(shù)學(xué)上,，這樣的曲面有一個(gè)特別的名字：單側(cè)曲面,。怎么證明它只有一個(gè)面呢,？很簡單，我們用紅筆在上面沿著它的走向畫一條線（不跨越邊沿）,，在筆回到起點(diǎn)的時(shí)候,，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)紅筆已經(jīng)涂過了紙環(huán)的所有面。如圖：

這就可以很好說明莫比烏斯帶只有一個(gè)面了,。

如果我們在普通的紙環(huán)上面做同樣的操作的話,，當(dāng)筆回到起點(diǎn)時(shí)容易知道還有一面沒有涂過，所以普通紙環(huán)不是單側(cè)曲面,，實(shí)際上每個(gè)人都知道它有兩個(gè)側(cè)面,。

如果我們沿著這條紅線把環(huán)剪開，會(huì)得到什么呢,？

相信很多朋友都知道了,，我也就不賣關(guān)子了：這個(gè)紙環(huán)會(huì)被剪成一個(gè)中間旋轉(zhuǎn)了兩個(gè)半圈的大紙環(huán)：

但是，可能沒有多少人留意到,，經(jīng)過一番擺弄,，這個(gè)紙環(huán)可以變成一個(gè)兩層的“莫比烏斯帶”。之所以要加引號,，是因?yàn)檫@個(gè)畢竟也是雙側(cè)曲面,，而不像真正的莫比烏斯帶那樣是單側(cè)曲面。

要做到同樣的效果,，我們也可以用兩層紙帶用類似做莫比烏斯帶的方法來粘貼,，只不過兩層紙要分別粘貼而已。

好了,，回到那個(gè)剪了一次的紙環(huán)那里去,。如果我們再剪一次，會(huì)發(fā)生什么事情呢,？現(xiàn)在這個(gè)紙環(huán)已經(jīng)是不是單側(cè)曲面了,，所以剪開以后應(yīng)該至少出現(xiàn)兩個(gè)環(huán)。問題是,，那會(huì)是怎么樣的兩個(gè)環(huán)呢,？

好了，結(jié)果出來了,，是兩個(gè)和剛才一樣的紙環(huán),，不過這兩個(gè)紙環(huán)是套在一起的。

如果我們擺弄一下,，能把它們弄成剛才沒有開剪之前的大紙環(huán)的一個(gè)雙層版本,。

再擺弄一下，又能把它們弄成一個(gè)四層的“莫比烏斯帶”,。

可以證明,，如果我們這樣不停的剪下去，每次剪出來的都是一樣的紙環(huán)（中間有兩圈旋轉(zhuǎn)的）,，而且都套在一起,，還能弄成一個(gè)多層的“莫比烏斯帶”。一個(gè)不大嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明應(yīng)該是不復(fù)雜的,。（提示：將每次剪出來的都套成多層“莫比烏斯帶”,，然后剪開就成了多層的兩個(gè)半圈旋轉(zhuǎn)大紙環(huán)，又能套成多層的“莫比烏斯帶”）

那么,，這東西有什么用呢,？

首先，這東西既然是數(shù)學(xué)家做出來的,，肯定是有理論上的意義的,。事實(shí)上，這是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)單側(cè)曲面,。

在積分理論發(fā)展的過程中,，由于曲面通常有兩側(cè)，所以人們要給曲面定個(gè)方向才能進(jìn)行積分,。但是,，當(dāng)時(shí)還沒有人知道是否存在這樣的曲面，它只有一側(cè)從而無法在它上面確定一個(gè)積分的方向,。

而莫比烏斯帶正是這樣的一個(gè)單側(cè)曲面,，它只有一個(gè)側(cè)面從而無法定向。所以這類曲面又有一個(gè)名字叫“不可定向曲面”,。

由于莫比烏斯帶只有一個(gè)面,，這個(gè)面的長度自然就是普通紙環(huán)一面長度的兩倍了。有人想到將這個(gè)特性用到傳送皮帶上,，這樣的話就可以把磨損分?jǐn)偟礁嗟牡胤?，從而提高皮帶的壽命。這個(gè)想法還獲得了美國的專利,。

利用莫比烏斯帶的想法獲得的專利還不止這一個(gè),。還記得那個(gè)兩層“莫比烏斯帶”嗎？不記得也沒有關(guān)系,，看下圖：

如果我們把紙帶想像成金屬帶,，讓電流由其中一個(gè)夾子流入而從另一個(gè)夾子流出的話，在紙帶表面的電流有兩個(gè)可能的流動(dòng)方向,，而這兩個(gè)方向的電流產(chǎn)生的磁場恰好互相抵消,。也就是說，電流在這個(gè)裝置流動(dòng)的時(shí)候不會(huì)產(chǎn)生磁場,，所以也不會(huì)有電池感應(yīng)的現(xiàn)象發(fā)生,。這就是一個(gè)無電感電阻,。這種電阻就叫默比烏斯電阻。

莫比烏斯帶在藝術(shù)和文化作品中也經(jīng)常被引用,，作為“無限循環(huán)”的一個(gè)象征,。國際通用的循環(huán)再造標(biāo)志就是一個(gè)綠色的、擺放成三角形的莫比烏斯帶,。在《哆啦A夢》（小叮當(dāng)）漫畫中,，就有一個(gè)形狀是莫比烏斯帶的道具，只要把它放在門把手上,，里邊的人開門就會(huì)回到同一個(gè)房間里去,。如果我們看科學(xué)館門前的環(huán)狀雕塑，多半也利用了類似莫比烏斯帶的性質(zhì),，有空的話經(jīng)過這些雕塑可以數(shù)一下這些環(huán)有多少個(gè)面多少條邊沿,，我估計(jì)絕大部分結(jié)果都是1。而至于埃舍爾的例子就更是眾人皆知,，也不用我饒舌了,。

實(shí)驗(yàn)室中也有可能產(chǎn)生莫比烏斯帶形狀的粒子。前不久,，一群科學(xué)家在Journal of Chemical Physics上發(fā)表了一篇論文,，其中預(yù)言了一種莫比烏斯帶形狀的碳單質(zhì)（準(zhǔn)確來說應(yīng)該是石墨烯）。它能抵抗攝氏200度左右的溫度,，算是相當(dāng)穩(wěn)定,。由于它莫比烏斯帶的結(jié)構(gòu)，它應(yīng)該是一個(gè)偶極子,，從而可以形成穩(wěn)定的晶體?，F(xiàn)在就等科學(xué)家們把它實(shí)際做出來了。

這一切,，都是由數(shù)學(xué)家看到一個(gè)粘錯(cuò)的紙環(huán)開始的,。