【原】小孩子就能作出的結(jié)構(gòu)，卻困擾了數(shù)學(xué)界整整50年

返樸 2023-10-12 發(fā)布于北京

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前不久,，著名數(shù)學(xué)家理查德·施瓦茨（Richard Evan Schwartz）宣布證明了有50年歷史的哈爾珀-韋弗猜想。用美國(guó)賓州大學(xué)數(shù)學(xué)家塔巴奇尼科夫的話說(shuō),，施瓦茨的學(xué)術(shù)風(fēng)格是“喜歡攻克那些表述簡(jiǎn)單明了但公認(rèn)很難的問(wèn)題,。而且通常他會(huì)看到之前的研究者沒(méi)有注意到的東西?！?/span>

撰文 | 嘉偉

莫比烏斯環(huán)是分析,、拓?fù)浜蛶缀螌W(xué)中一個(gè)深刻、重要且基礎(chǔ)的概念,。然而,，令人驚奇的是，和其它現(xiàn)代數(shù)學(xué)里的研究對(duì)象不同,，它不但不抽象,、難懂，反而還十分地具體和直觀：就連小孩子都可以用一條細(xì)紙帶,，輕松制作出莫比烏斯環(huán)的模型。

用細(xì)長(zhǎng)紙帶制作莫比烏斯環(huán) | 圖源：圖書《從麥比烏斯到陳省身：麥比烏斯變換與麥比烏斯帶》,，劉培杰,，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社

但是，不知道大家有沒(méi)有思考過(guò)下面的問(wèn)題：如果我們偏偏不用細(xì)紙帶,，反而選擇一條“寬”紙帶,，比如說(shuō)一張正方形手工紙（長(zhǎng)寬比1:1），那能否在不撕裂紙張的情況下制作出一條莫比烏斯環(huán),？（劇透,，沒(méi)有其它附加條件的話，答案是可以,。但是需要很巧妙的方法,，大家不妨先自行思考一下。）

如果把上面的問(wèn)題進(jìn)一步“數(shù)學(xué)化”,，問(wèn)“寬紙帶的長(zhǎng)寬之比至少為多少時(shí),，我們才能制作出一條光滑的莫比烏斯環(huán)？”實(shí)際上,，在過(guò)去整整50年里,，數(shù)學(xué)界對(duì)上面的問(wèn)題始終無(wú)能為力——直到今年8月24日，著名數(shù)學(xué)家理查德·施瓦茨（Richard Evan Schwartz）才以非常巧妙的方式給出了答案（半個(gè)多月后的9月13日,，他更新了自己的論文）,。

對(duì)于拓?fù)鋵W(xué)中的莫比烏斯環(huán)，兩位德國(guó)數(shù)學(xué)家——奧古斯特·費(fèi)迪南德·莫比烏斯（August Ferdinand M?bius）和約翰·本尼迪克特·利斯廷（Johann Benedict Listing）——在1858年同時(shí)獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了這一幾何結(jié)構(gòu),。（石溪大學(xué)的數(shù)學(xué)家Moira Chas曾考證,，高斯在更早的時(shí)候便已認(rèn)知到這種單側(cè)曲面的存在性,。）

數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家莫比烏斯還被認(rèn)為是拓?fù)鋵W(xué)的先驅(qū)。他最早明確了拓?fù)鋵W(xué)的本性,。在1863年出版的《初等關(guān)系的理論》（Theorie der Elementaren Verwandschaft）里,，他考慮了兩個(gè)圖形，它們的點(diǎn)形成一一對(duì)應(yīng),，并在此對(duì)應(yīng)之下鄰近的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著鄰近的點(diǎn),，他率先建議研究這樣聯(lián)系著的兩個(gè)圖形之間的關(guān)系。在隨后的160年里,，拓?fù)鋵W(xué)——研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變性質(zhì)的學(xué)科——蓬勃發(fā)展,，已然成為數(shù)學(xué)里最主要的分支之一。莫比烏斯環(huán)也顯示出非比尋常的重要性,。它本身具有很多奇妙的性質(zhì),，直到今天也未能完全揭示。

如之前提及的,、在半個(gè)世紀(jì)里一直困擾著拓?fù)鋵W(xué)家的“簡(jiǎn)單”問(wèn)題：一條矩形紙帶,，設(shè)其寬為單位長(zhǎng)度，則其長(zhǎng)至少為多少時(shí),，我們才能用這條紙帶制作出“光滑”的莫比烏斯環(huán),？

雖然數(shù)學(xué)家心目中的紙帶，是某種理想的數(shù)學(xué)對(duì)象——單純是一個(gè)可被操作的曲面（不需要考慮其厚度）,，但仍保留了“物理”紙帶的基本特征：①紙不具備彈性,，所以不可拉伸；②紙帶顯然不能在無(wú)損的情況下穿過(guò)自身,。

至于說(shuō)“光滑”性,，通俗地理解，就是要求制作出的莫比烏斯環(huán)上沒(méi)有折痕,。從專業(yè)角度上講,，光滑曲面是指，曲面上任一點(diǎn),，都存在唯一的切平面,。然而折痕上的點(diǎn)，就如同平面上的尖點(diǎn)一樣,，可以存在多個(gè)方向上的切平面,。

光滑性的條件是必要的，否則紙帶的長(zhǎng)完全可以小于其寬度——相當(dāng)于改變了問(wèn)題的性質(zhì),?；氐街暗乃伎碱}：一張正方形手工紙，我們能否在不撕裂紙張的情況下，用它制作出一條莫比烏斯環(huán),？

答案是,，可以。只要把正方形手工紙,，如下圖折疊出形如手風(fēng)琴的褶皺結(jié)構(gòu),。把“紙風(fēng)琴”整體當(dāng)作是一條紙帶，然后按正常莫比烏斯環(huán)的做法,，把它扭轉(zhuǎn)180度（半圈）,，再用膠水把插入彼此的兩端粘在一起。它形成了一個(gè)“壓縮”的莫比烏斯環(huán),，本質(zhì)上和常見的莫比烏斯環(huán)完全相同,，只不過(guò)我們無(wú)法在不破壞紙結(jié)構(gòu)的情況下把它展成通常的莫比烏斯環(huán)罷了。所以,，長(zhǎng)寬比是1的紙帶,，在不要求光滑性時(shí)完全可以制作出莫比烏斯環(huán)。

風(fēng)琴狀的莫比烏斯環(huán) | 圖源：Thirty Lectures on Classic Mathematics

最標(biāo)準(zhǔn)的光滑莫比烏斯環(huán)長(zhǎng)這樣,，上面沒(méi)有“折痕”,。但用無(wú)彈性的紙帶作出的莫比烏斯環(huán)和它有外觀上的差異。| 圖源：筆者利用mathematical生成圖像

1977年,，普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)家查爾斯·西德尼·韋弗（Charles Sidney Weaver）和本杰明·里格勒·哈爾珀（Benjamin Riggler Harper Jr）一起,，深入探討了“用紙帶制作光滑的莫比烏斯環(huán)“的問(wèn)題。他們發(fā)現(xiàn),，紙帶長(zhǎng)寬比的下確界位于區(qū)間中，但無(wú)法確定具體的數(shù)值,。他們還指出,，“如果允許制作的莫比烏斯自身相交，問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了,?！边z留的問(wèn)題則可以非正式地表述成，確定需要多少冗余空間來(lái)避免紙帶自相交,。

哈爾珀和韋弗提出長(zhǎng)寬比的下確界是,，但他們未能證明這一點(diǎn)。后來(lái)這被稱為哈爾珀-韋弗猜想（Halpern-Weaver conjecture）,。

謝爾蓋·塔巴奇尼科夫（Serge Tabachnikov）是賓夕法尼亞州立大學(xué)的數(shù)學(xué)家,，他的導(dǎo)師是蜚聲全球的拓?fù)鋵W(xué)大師德米特里·福克斯（Dmitry Fuchs）,。他們合著了一本教科書Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics（姑且譯為《經(jīng)典數(shù)學(xué)30講》）,。在其中的第14講，他們?cè)敿?xì)介紹了紙帶莫比烏斯環(huán)與哈爾珀-韋弗猜想,。

2019年,，布朗大學(xué)的數(shù)學(xué)系教授理查德·施瓦茨因與塔巴奇尼科夫合作的契機(jī),，讀到了他們的這本經(jīng)典教材?！拔乙蛔x到那一章,，就立刻沉迷其中?！彼髞?lái)說(shuō),。

依據(jù)自己在8月24日發(fā)布在arXiv.org上的論文，施瓦茨宣布證明了哈爾珀-韋弗猜想,。經(jīng)過(guò)其他數(shù)學(xué)家的快速審校,，如今拓?fù)鋵W(xué)界基本上認(rèn)可了他的證明。

施瓦茨本人是幾何群領(lǐng)域里的權(quán)威,。幾何群論是一個(gè)相對(duì)較新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域,，大約始于20世紀(jì)80年代末；它探索有限生成群,，并尋求其代數(shù)性質(zhì)與這些群作用其上的幾何空間之間的聯(lián)系,。他還在臺(tái)球的路徑問(wèn)題——一種基于平面凸形的動(dòng)力系統(tǒng)——上做出了重要貢獻(xiàn)。

他的研究領(lǐng)域涵蓋了動(dòng)力系統(tǒng),、雙曲幾何,、迭代理論、拓?fù)鋵W(xué)等,。2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上,，施瓦茨受邀做了45分鐘的報(bào)告；2003年,，他又獲得了古根海姆獎(jiǎng)學(xué)金,。

Richard Evan Schwartz 于2023年3月22日在牛頓數(shù)學(xué)研究所講解Thomson's 5 point problem |圖源：Rothschild Lecture: Thomson's 5 point problem - YouTube

不過(guò)，最新論文之所以能夠被快速接受,，除了施瓦茨本人的學(xué)術(shù)地位和歷史信用外,，還在于他用到的技術(shù)：設(shè)法將問(wèn)題分解成可管理的部分，每個(gè)部分本質(zhì)上只需要基本的（現(xiàn)代）幾何技術(shù)來(lái)解決,。德國(guó)哥廷根大學(xué)的數(shù)學(xué)家馬克斯·沃德茨基（Max Wardetzky）贊嘆道：“這種證明方法體現(xiàn)了一種最純粹的優(yōu)雅和美麗,。”

施瓦茨證明,，用于制作光滑莫比烏斯帶的紙帶,，長(zhǎng)寬比必須大于。解決這個(gè)難題需要很強(qiáng)的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力,?！坝霉絹?lái)區(qū)分自相交和非自相交的曲面總是很困難的，“《經(jīng)典數(shù)學(xué)30講》的作者福克斯說(shuō),，“要克服這個(gè)困難,，你需要有（施瓦茨的）幾何洞察力。但這是如此罕見,！”

有趣的是,，施瓦茨一開始犯下了一個(gè)“低級(jí)”錯(cuò)誤，以至于浪費(fèi)了幾年的時(shí)間,。如果不是那個(gè)錯(cuò)誤,，“我會(huì)在三年前就解決這個(gè)問(wèn)題！”施瓦茨有幾分懊喪地說(shuō)道,。

在幾何學(xué)中,，如果一個(gè)曲面上的任意一點(diǎn)上均有至少一條直線經(jīng)過(guò)，則稱該曲面為直紋曲面（Ruled Surface）,。另一種常見的說(shuō)法是,，如果一個(gè)曲面可以由一條直線通過(guò)連續(xù)運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，則可稱其為直紋曲面,。以三維歐幾里德空間為例,，最常見的直紋曲面是平面、柱面,、錐面和馬鞍面,。著名的莫比烏斯環(huán)也是直紋曲面。對(duì)于直紋曲面,，存在一些方法,，可把曲面分解成更簡(jiǎn)單的平面結(jié)構(gòu)。

完全無(wú)彈性的紙帶制作出的莫比烏斯環(huán)的基本形狀,。| 圖源：澳大利亞的著名科幻小說(shuō)家Greg Egan

上面這種莫比烏斯環(huán)也是直紋曲面,。| 圖源：澳大利亞的著名科幻小說(shuō)家Greg Egan

出于某種先入為主的印象，施瓦茨在2021年的論文里錯(cuò)誤地認(rèn)為,，由莫比烏斯環(huán)分解出來(lái)的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是平行四邊形。這導(dǎo)致了失敗,。

在找到成功的證明思路前,，施瓦茨嘗試了許多其它策略，斷斷續(xù)續(xù)地花了近2年時(shí)間,。他最近決定重新審視這個(gè)問(wèn)題,，因?yàn)橛幸环N直覺(jué)讓他感到不安：他在2021年使用的方法應(yīng)該是有效的。從某種意義上說(shuō),，他的直覺(jué)是正確的,。

到今年夏天，施瓦茨決定借助具體的紙帶進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。在這些實(shí)驗(yàn)中,，施瓦茨分解了一個(gè)莫比烏斯紙帶模型,，然后意識(shí)到，“天哪,，分割出來(lái)的平面結(jié)構(gòu)根本不是平行四邊形,。它是一個(gè)梯形！”意識(shí)到自己的錯(cuò)誤,，施瓦茨首先感到惱火,，然后又決心利用這個(gè)新信息來(lái)重新計(jì)算?！靶拚蟮挠?jì)算給出了猜想中的數(shù)字,，”他說(shuō)，“我驚呆了……我大約三天沒(méi)有睡覺(jué),，就為了把證明寫出來(lái),。”

終于,，這個(gè)有50年歷史的猜想得到了證明,。“嘗試解決一個(gè)長(zhǎng)期懸而未決的問(wèn)題需要很大的勇氣,?！彼推婺峥品蛘f(shuō)，“這是理查德·施瓦茨的學(xué)術(shù)風(fēng)格：他喜歡攻克那些表述簡(jiǎn)單明了但公認(rèn)很難的問(wèn)題,。而且通常他會(huì)看到之前的研究者沒(méi)有注意到的東西,。”

至于相關(guān)的問(wèn)題,，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)知道可嵌入自身的莫比烏斯帶沒(méi)有長(zhǎng)度限制（盡管在物理上制作它們會(huì)很麻煩）,。然而，沒(méi)有人知道如果要用紙條制作一個(gè)扭轉(zhuǎn)了3次而非1次的莫比烏斯帶,，紙條可以有多短,。“關(guān)于奇數(shù)次扭轉(zhuǎn)的莫比烏斯帶的最優(yōu)長(zhǎng)寬比的問(wèn)題,，”塔巴奇尼科夫說(shuō),，“我期待著有人在不久的將來(lái)解決這個(gè)更一般的問(wèn)題?！?/span>

從另外的角度來(lái)說(shuō),，施瓦茨的證明也不是這個(gè)問(wèn)題的終點(diǎn)。他的證明只適用于光滑的莫比烏斯帶,，而不是有角或折痕的莫比烏斯帶,。這些非光滑的莫比烏斯帶應(yīng)該會(huì)有更小的尺寸（參考前面的思考題）,，因?yàn)樗鼈兛梢栽谶吘壧幷郫B在一起。

在光滑的條件下,，長(zhǎng)寬比的下確界是取不到的,。要想達(dá)到下確界，只能得到這種退化的三角形莫比烏斯環(huán),。| 圖源：The Optimal Paper Moebius Band,，2308.12641.pdf (arxiv.org)

從更寬泛的角度說(shuō)，對(duì)紙帶莫比烏斯環(huán)的研究,，屬于一個(gè)非常年輕的數(shù)學(xué)分支——Paper Sheet Geometry（或可譯作“折紙幾何學(xué)”）,。

Paper Sheet Geometry是研究紙張的形狀、性質(zhì)和變換的數(shù)學(xué),。它涉及到如何用紙張制作各種幾何圖形,，如多邊形、曲面和立體,，以及如何用紙張解決一些幾何問(wèn)題,，如折疊、剪切和劃線,。它的一個(gè)重要應(yīng)用是折紙藝術(shù),，也叫做Origami。Origami是一種將一張平面的紙張折疊成各種復(fù)雜的三維形狀的技術(shù),，如動(dòng)物,、花卉和星形。Origami有很多規(guī)則和公理,，可以用來(lái)描述紙張的可折疊性和可構(gòu)造性,。

Paper Sheet Geometry的另一個(gè)應(yīng)用是紙板工程Cartonage（紙板包裝，法語(yǔ)詞）,。Cartonage是一種將多張紙板或硬紙板剪切,、折疊和粘合成各種實(shí)用的物品的技術(shù)，如盒子,、文件夾和書籍,。

Cartonage還需要考慮紙板的厚度、強(qiáng)度和穩(wěn)定性,。Paper Sheet Geometry則與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域相結(jié)合,，如拓?fù)洹⒋鷶?shù)和組合學(xué),，制造了不少令當(dāng)代數(shù)學(xué)家一籌莫展的難題。

這樣的數(shù)學(xué)領(lǐng)域不僅能夠直觀揭示抽象對(duì)象的復(fù)雜性,，還能夠?qū)?shù)學(xué)與我們?nèi)粘Ｉ盥?lián)系起來(lái),，形成一個(gè)個(gè)引人入勝的課題,。而莫比烏斯環(huán)也并不僅僅局限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域。它在日常生活中也有一些有趣的應(yīng)用,。

工業(yè)領(lǐng)域也利用了莫比烏斯環(huán)的原理,。莫比烏斯傳輸帶是一種特殊設(shè)計(jì)的傳送帶，使平帶由原來(lái)的內(nèi)外兩個(gè)表面變成循環(huán)的“單面”,。被運(yùn)輸物料對(duì)輸送帶所引起的應(yīng)力由單面承受變?yōu)殡p面循環(huán),，從而可以延長(zhǎng)輸送帶的使用壽命。

同時(shí),，由于其非?！捌揭捉恕钡奶匦裕葹跛弓h(huán)在藝術(shù)作品中廣泛出現(xiàn),。實(shí)際上,，它是僅次于黑洞的科學(xué)“明星”概念。藝術(shù)家們常常使用這個(gè)形狀來(lái)探索空間和形態(tài)的獨(dú)特性質(zhì),。莫比烏斯環(huán)的無(wú)限性質(zhì)以及與時(shí)間和空間的交織,，使其成為許多藝術(shù)作品的靈感來(lái)源和構(gòu)成要素。

如1988年在日本上映的動(dòng)畫電影《機(jī)動(dòng)戰(zhàn)士高達(dá)：夏亞的逆襲》中,，以莫比烏斯帶作為對(duì)命運(yùn)的隱喻：人類就好比行走在莫比烏斯帶上的螞蟻一般,，永遠(yuǎn)逃不出這個(gè)怪圈，不斷重復(fù)著相同的錯(cuò)誤,，類同的悲劇也在不斷地上演,。

最后再分享一則相關(guān)軼事。主人公是少年時(shí)期的美國(guó)物理學(xué)家理查德·費(fèi)曼和他當(dāng)時(shí)的女友阿琳（Arline Greenbaum,，后成為費(fèi)曼的妻子）,。阿琳提到她們的哲學(xué)老師有一句口頭禪：任何事物都像紙一樣擁有兩面性。費(fèi)曼則說(shuō)這一觀點(diǎn)本身需要重新思量,，然后拿出一張紙,，在女友面前憑借從百科全書里學(xué)到的知識(shí)，現(xiàn)場(chǎng)制作了一個(gè)莫比烏斯紙環(huán),。阿琳非常驚喜,，第二天便把紙環(huán)帶到了學(xué)校。當(dāng)老師拿起一張紙又開始舉例事物都有兩面性時(shí),，她興奮地舉起了莫比烏斯紙環(huán),，令在場(chǎng)的師生們都為之驚訝。

后記

十年前,，筆者湊巧也讀到過(guò)《經(jīng)典數(shù)學(xué)30講》,，也曾經(jīng)被書中第14講的莫比烏斯紙環(huán)問(wèn)題所吸引，因此對(duì)哈爾珀-韋弗猜想的難度有相當(dāng)程度的直觀認(rèn)知,。

所以,，在十年后的今天竟然能親眼見證猜想被證明——還是被閱讀了同一教材,，被同一問(wèn)題所吸引的拓?fù)鋵W(xué)權(quán)威以相對(duì)基礎(chǔ)的技術(shù)給出的證明——完全出乎了我的意料，令我頗為激動(dòng),。這也是促使我寫作本文的動(dòng)因,。

最后，要感謝澳洲著名科幻小說(shuō)家格雷格·伊根,。他參與了對(duì)論文（參考文獻(xiàn)[1]）的討論,，幫助筆者理解了論文里的一些概念。同時(shí)伊根慷慨地允許筆者自由使用其制作的演示視頻（本文使用的Gif就出自他之手）,。

伊根是科幻界的異數(shù),，他的大多科幻小說(shuō)都不是一般地硬核，常常涉及到數(shù)學(xué)和物理學(xué)的高深知識(shí),。他的長(zhǎng)篇科幻小說(shuō)Schild's Ladder被不少科幻迷認(rèn)為是史上最硬的科幻小說(shuō),，據(jù)說(shuō)要讀懂這本書至少得需要大學(xué)物理學(xué)位。因此他也被譽(yù)為硬科幻之王,。

參考文獻(xiàn)

[1] The Optimal Paper Moebius Band,，2308.12641.pdf (arxiv.org)

[2] Thirty Lectures on Classic Mathematics，Dmitry Fuchs, Serge Tabachnikov,，American Mathematical Society

[3] Mathematician Solves 50-Year-Old M?bius Strip Puzzle - Scientific American

[4] 《從麥比烏斯到陳省身：麥比烏斯變換與麥比烏斯帶》,，劉培杰，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社

[5] Richard Evan Schwartz (brown.edu)

[6] 《代數(shù)拓?fù)浜臀⒎滞負(fù)浜?jiǎn)史》,，干丹巖著,，湖南教育出版社

[7] M?bius strip - Wikipedia