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掛谷猜想（Kakeya conjecture）預(yù)測了讓一條線段指向每一個方向至少需要多大的地方,。在一種又一種數(shù)字系統(tǒng)中，數(shù)學(xué)家們證明它都是正確的,，但有一個重要的例外數(shù)系,，仍未獲證。
 掛谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）猜想看上去像是一個腦筋急轉(zhuǎn)彎,。將一根針平放在桌子上,。你至少需要預(yù)留多大的面積才能使它旋轉(zhuǎn)指向所有可能的方向？ 最明顯的可能答案是直徑等于針長的圓,。但這顯然是錯誤的,。在過去的一個世紀里，努力理解這種錯誤的方式揭示了,，這個看似有趣的小問題實際上是一個關(guān)于實數(shù)本質(zhì)的深刻而挑釁性的數(shù)學(xué)問題——那些實數(shù)軸上的無限刻度作為該問題首次提出時空間中的坐標,。 這已經(jīng)通過近年來對掛谷猜想取得的最顯著進展變得清晰起來。這些研究成果將原始問題中從數(shù)學(xué)家們一直受阻的實數(shù)領(lǐng)域轉(zhuǎn)移到幾何和算術(shù)世界,，在這些世界中,，線段由一些更易于處理的替代數(shù)字系統(tǒng)定義。 創(chuàng)新精神激發(fā)了數(shù)學(xué)家們新的使命感,。 掛谷猜想讓人感覺如此困難,，但似乎每過幾年就會出現(xiàn)一個解，”麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)家拉里·古斯（Larry Guth,，1977 -）說,，他已經(jīng)研究這個問題超過15年?！八坪醣任宜娺^的任何其他問題都更有希望,。”
現(xiàn)代版本的掛谷猜想與1917年由掛谷宗一（Sōichi Kakeya,，1886 - 1947）提出的原始陳述相去甚遠,。他對在二維平面上將給定長度的一維線段旋轉(zhuǎn)到最終指向所有方向所需的最小面積感到好奇。 一個直徑等于線段長度的圓盤足以讓線段旋轉(zhuǎn)到所有方向——只需像旋轉(zhuǎn)撥號盤一樣旋轉(zhuǎn)線段,。但較小的形狀也可以實現(xiàn),。 例如，取一個高等于線段長的等邊三角形,。通過執(zhí)行一系列本質(zhì)上是（汽車）三點掉頭的操作,，你可以移動線段——因為它是一維的，所以面積為零——圍繞三角形移動并實現(xiàn)所需的掃描,。能夠?qū)崿F(xiàn)這種所有指向的一組點被稱為掛谷集（Kakeya集）,。 掛谷想了解掛谷集可能的最小面積。1919年,，Abram Besicovitch（艾布拉姆·貝西科維奇,，1891 - 1970）給出了令人驚訝的答案：它可以無限小。他證明了可以構(gòu)造出將等邊三角形設(shè)計推向極致的掛谷集,。你最終會得到一個在所有方向上輻射出的尖刺（spike）,，而不是三角形的三個角尖。 “在極限情況下,，它看起來像一只奇特的刺猬,，”普林斯頓大學(xué)的教授、這項新證明的作者Zeev Dvir（澤夫·德維爾）說,。結(jié)果是一個復(fù)雜的分形排列,，其面積可以任意縮小——這相當于沒有任何面積。
普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)家和計算機科學(xué)家Zeev Dvir與他的學(xué)生Manik Dhar 一起證明了某些有限數(shù)系的掛谷猜想,。 圖源：David Kelly Crow 在掛谷宗一提問兩年后,，貝西科維奇的構(gòu)造就冒出來消除了他的問題。但幾十年后,，數(shù)學(xué)家們設(shè)計了一個經(jīng)過修訂的問題版本,，這個版本的證明要復(fù)雜得多。
貝西科維奇證明了掛谷集可以具有零面積,，但除了面積之外,，還有其他方式來描述形狀的大小。貝西科維奇設(shè)計的集合仍然包含點,，而在1970年代,，關(guān)于這些點如何高效排列的問題重新出現(xiàn)。 這個問題被稱為掛谷猜想（與原始的掛谷問題不同）,，它預(yù)測,，如果你有一些小方塊布料，并嘗試將它們放置在掛谷集合上,，使得這些方塊完全覆蓋集合,，在某種非常精確的意義上，你將需要很多方塊才來完成覆蓋,。 集合中的點的排列方式讓它們更容易或更難以被覆蓋的程度,，被兩個密切相關(guān)的稱為豪斯多夫（Hausdorff）維度和閔可夫斯基（Minkowski）維度的度量所刻畫,。這些維度概念為數(shù)學(xué)家們提供了一個嚴格的框架來探索掛谷集——在貝西科維奇證明僅通過測量面積不足以理解它們的本質(zhì)屬性之后，仍繼續(xù)研究它們的一種方式,。 掛谷猜想預(yù)測,，掛谷集的豪斯多夫維數(shù)和閔可夫斯基維數(shù)都必須盡可能大。盡管這兩種測度維數(shù)的確切定義是技術(shù)性的,，但猜想背后的直覺相當簡單：要使線條無處不在,，你需要很多東西。 “每個方向都有一條線段,，想象一下你試圖把它們都擠壓到某個東西里,。該怎么壓縮呢？”古斯說,。
掛谷猜想發(fā)生在歐幾里得空間中,，其中的點由實數(shù)定義——這些數(shù)可以有一個無限長的十進制展開，如19.1777…或π,。隨著時間的推移,，越來越清楚的是，這些實數(shù)值坐標是掛谷猜想如此難以解決的一個重要原因,。
掛谷宗一（Sōichi Kakeya,，1886 - 1947）的罕見照片 圖源：東京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)研究生院 究竟是實數(shù)的什么性質(zhì)導(dǎo)致了這樣的阻礙并不完全清楚，但有些特征很突出,。 首先,，實數(shù)是連續(xù)的，這意味著你無法在任何離散區(qū)間內(nèi)觀察它們而不失去算術(shù)運算的能力,。（例如,，如果你將自己限制在1和2之間的區(qū)間內(nèi)，你就會失去加法,，因為該區(qū)間內(nèi)兩個數(shù)的和將超出這個區(qū)間,。） 其次，實數(shù)也是不可數(shù)的無限多的（uncountably infinite）,，這意味著無論你如何放大它們,，你都會在每一個尺度上看到相同的東西。 “在實數(shù)中,，有些數(shù)可以非常接近于零,，但實際上并不為零。這某種意義上是技術(shù)關(guān)鍵所在,，”不列顛哥倫比亞大學(xué)的約書亞·扎爾（Joshua Zahl）說,。 實數(shù)的難度驅(qū)動數(shù)學(xué)家考慮在更小數(shù)系中設(shè)定的掛谷猜想版本。例如，這些數(shù)系可能只有1到5的整數(shù)值,。雖然這些數(shù)系看起來不像實數(shù),，但它們具有許多相同的基本算術(shù)性質(zhì)——它們允許加、減,、乘,、除,。 它們也足夠豐富,，可以支持使用線性代數(shù)技術(shù)來定義線條，一旦你有了線條,，你就可以詢問一個略微修改過的掛谷猜想：在這些數(shù)系中,，一個點集的最小大小是多少，使得你可以構(gòu)造出每個方向的線條,？ 托馬斯·沃爾夫（Thomas Wolff）在1996年提出了類似的問題 https://citeseerx.ist./viewdoc/summary?doi=10.1.1.329.7921 ,。從那時起，數(shù)學(xué)家們將其視為一個可以讓他們更接近解答掛谷猜想的框架,。 “想法是,，這個問題可能更容易，也許你應(yīng)該嘗試開發(fā)解決這個問題的技術(shù),，用來獲得處理實際歐幾里得情況的想法,，”普林斯頓大學(xué)的Manik Dhar說，他是兩篇關(guān)于掛谷猜想最新論文的作者,。
為了定義這些小數(shù)系之一,，首先請你選擇一個數(shù)字。比如選擇9,，在這種情況下,，你的數(shù)系包含從1到9的所有整數(shù)?；蛟S你可能選擇的是17,、25或83。 你的選擇很重要,。特別是,，這個數(shù)（稱為模數(shù) modulus）是否為質(zhì)數(shù)，以及它不是質(zhì)數(shù)的方式,，對數(shù)系的行為以及可能應(yīng)用于掛谷猜想的方法都有很大影響,。
普林斯頓大學(xué)博士生Manik Dhar與他的導(dǎo)師Zeev Dvir一起證明了某些有限數(shù)系的掛谷猜想 圖源：David Kelly Crow 2008年，Dvir解決了模素數(shù)的有限數(shù)系中的掛谷猜想 https://www.cs./~zdvir/papers/Dvir09.pdf ,，這是Wolff在1996年所考慮的特殊情況,。這些數(shù)系被稱為有限域（finite field），在數(shù)學(xué)中特別強大,，用于解決難題,。 Dvir證明了在有限域上,，掛谷集必定具有最大的可能維數(shù)（這里的維度是以一種在有限設(shè)置中有意義的方式重新定義的）。他的證明只有兩頁長,，主要依賴于這樣一個事實：當模數(shù)是素數(shù)時,，有限數(shù)系內(nèi)的任何集合都是多項式方程的解（或根）——這意味著集合可以用方程描述，而實數(shù)掛谷集則不能,。 Dvir的證明代表了掛谷猜想上的第一次重大進展，讓數(shù)學(xué)家們暫時對未來在歐幾里得掛谷猜想方面的后續(xù)進展充滿希望,。 然而什么結(jié)果都沒發(fā)生?！叭藗兌挤浅＜?，而我們都盡力了，但就是不行,，”古斯說,。 然后，十多年后,，Dvir歸來,。
2020年11月，Dvir和他的研究生Dhar解決了模不同素數(shù)乘積的有限數(shù)系中的掛谷猜想,，其中模數(shù)是任何由不同素數(shù)乘積組成的數(shù),，如15（即3×5） https:///abs/2011.11225 。這些數(shù)系要求Dhar和Dvir超越多項式方法,。取而代之的是,，他們將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于稱為矩陣（matrix）的數(shù)字表格的問題。 在這些矩陣中,，列代表點,，行代表方向,。如果特定點有特定方向的線條，則在矩陣中相應(yīng)的位置寫1,。（否則輸入0,。）這樣，矩陣就編碼了一組線條的性質(zhì)。現(xiàn)在你可以計算該矩陣的性質(zhì),，以確定該集合的性質(zhì)。特別是,，矩陣的“秩”（rank）與線條集合的大小直接相關(guān)。 Dhar和Dvir證明了這些矩陣的秩很高,，這意味著線條的集合很大,，意味著對于這些特定的數(shù)系,，掛谷猜想是正確的——任何包含所有方向線條的點的集合都需要很大。 不到一年后,，Bodan Arsovski推廣了Dhar和Dvir的結(jié)果。2021年8月,，他證明了模素數(shù)冪的有限數(shù)系中的掛谷猜想，其中模數(shù)是一個質(zhì)數(shù)的冪,，例如9（即32） https:///abs/2108.03750 ,。 這蘊含了p進數(shù)系的掛谷猜想，p進數(shù)系（p-adics）是一個無限數(shù)系,，并且在某種程度上更類似于實數(shù),。 https://www./how-the-towering-p-adic-numbers-work-20201019/
倫敦大學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)家Bodan Arsovski的證明蘊含了稱為p-adics（p進）無限數(shù)系的掛谷猜想 圖源：Ana Arsovska 在Arsovski的論文 https:///10.1090/jams/1021 之后，數(shù)學(xué)家們投入了大量精力,，試圖確定他的方法是否可以被修改并應(yīng)用于實數(shù)的情況,。 幾個月的努力毫無成效后，很明顯：至少現(xiàn)在,，他們做不到,。 “實數(shù)域和p進域的行為存在一些細微差異，這使得類比有些斷裂,，”威斯康星大學(xué)麥迪遜分校的博士生Alejo Salvatore說,。 自Arsovski的工作以來，又出現(xiàn)了兩個劇情轉(zhuǎn)折,。 去年十月,，Dhar證明了掛谷猜想對于任何模數(shù)的有限數(shù)系都是正確的 https:///abs/2110.14889 。 然后在二月,，Salvatore確認了該猜想對于更奇特的數(shù)系是正確的,，該數(shù)系稱為正特征局部域（local fields of positive characteristic，其中有限域增加了一個變量） https:///abs/2202.11344 。 有不同方式來思考這一系列結(jié)果,。一種方式是,，希望勢頭持續(xù)：既然數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明了對一個又一個數(shù)系該猜想是正確的，也許下一個就是實數(shù),。 但另一種方式是退一步問：既然數(shù)學(xué)家已經(jīng)在如此多的其他情況下證明了該猜想,，為什么他們還沒有能夠在實數(shù)上證明掛谷猜想呢？ 至少有一位數(shù)學(xué)家認為后一種解釋可能是所有解釋中最顯然接近事實的,。 “我不再相信掛谷猜想是真的,，”古斯說。
https://www./new-number-systems-point-geometry-problem-toward-a-real-solution-20220726/ https://en./wiki/Kakeya_set https://citeseerx.ist./viewdoc/summary?doi=10.1.1.329.7921 https://www.cs./~zdvir/papers/Dvir09.pdf https:///abs/2011.11225 https:///abs/2108.03750 https://www./how-the-towering-p-adic-numbers-work-20201019/ https:///10.1090/jams/1021 https:///abs/2110.14889 https:///abs/2202.11344 https://www./new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/ https://www./a-tower-of-conjectures-that-rests-upon-a-needle-20230912/ https://www./how-simple-math-moves-the-needle-20230929/ https://www./the-biggest-discoveries-in-math-in-2023-20231222/
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Milne）（含迄今全部歷史獲獎人名單一覽） 使用新的開源跨學(xué)科數(shù)據(jù)集訓(xùn)練AI人工智能模型像科學(xué)家那樣思考 每人最高可獲100萬美元資助的AI for Math Fund數(shù)學(xué)人工智能基金成立——陶哲軒等人擔任顧問 艾倫·海切爾（Allen Hatcher）榮獲首屆（2025）AMS斯坦因變革性闡述獎 2024年我在計算機科學(xué)方面學(xué)到了什么——《量子雜志》每周數(shù)學(xué)隨筆 采訪數(shù)學(xué)家讓-皮埃爾·布吉尼翁Jean-Pierre Bourguignon（上）——譯自EMS歐洲數(shù)學(xué)會雜志 采訪數(shù)學(xué)家讓-皮埃爾·布吉尼翁Jean-Pierre Bourguignon（中）——譯自EMS歐洲數(shù)學(xué)會雜志 采訪數(shù)學(xué)家讓-皮埃爾·布吉尼翁Jean-Pierre Bourguignon（下）——譯自EMS歐洲數(shù)學(xué)會雜志 首屆（2025）AMS馬丁·艾薩克斯獎授予英國數(shù)學(xué)家本·格林Ben Green 數(shù)學(xué)思維不是你想象的那樣——譯自量子雜志Quanta Magazine 徐宙利獲得2025 - 2026AMS Centennial美國數(shù)學(xué)會百年紀念研究獎學(xué)金$50000（含迄今全部歷史獲獎人名單一覽） 數(shù)學(xué)史有什么用,？——譯自Ben Orlin本·奧爾林的《數(shù)學(xué)和爛插畫》博客 【第2波】10本zzllrr小樂推薦精讀的國內(nèi)外優(yōu)秀數(shù)學(xué)科普書籍【平價優(yōu)選】【推薦日期2024-11-22】 2025美國數(shù)學(xué)會Veblen維布倫幾何獎授予Soheyla Feyzbakhsh和Richard Thomas（含迄今全部歷史獲獎人名單一覽） Soheyla Feyzbakhsh因代數(shù)幾何的進展榮獲大獎——譯自倫敦帝國理工學(xué)院網(wǎng)站 數(shù)學(xué)大統(tǒng)一理論——《量子雜志》每周數(shù)學(xué)隨筆 解決問題的熱情——印度女數(shù)學(xué)家Neena Gupta（妮娜·古普塔） 數(shù)學(xué)能拯救你的靈魂嗎？——James Propp教授專欄 2024年阿貝爾獎得主訪談（下）：米歇爾·塔拉格蘭 Michel Talagrand——譯自EMS歐洲數(shù)學(xué)會雜志 2024年阿貝爾獎得主訪談（上）：米歇爾·塔拉格蘭 Michel Talagrand——譯自EMS歐洲數(shù)學(xué)會雜志 2024年阿貝爾獎授予Michel Talagrand米歇爾?塔拉格蘭,，因在概率論和泛函分析方面的開創(chuàng)性貢獻及應(yīng)用 阿貝爾獎得主拉茲洛·洛瓦茲談?wù)撾x散數(shù)學(xué)和連續(xù)數(shù)學(xué)之間的模糊界限——譯自HLF海德堡桂冠論壇 【第1波】10本zzllrr小樂推薦精讀的國內(nèi)外優(yōu)秀數(shù)學(xué)科普書籍【平價優(yōu)選】【推薦日期2024-11-14】 AI人工智能如何改變預(yù)測科學(xué),？——譯自Quanta Magazine量子雜志 菲爾茲獎得主吳寶珠談?wù)撡ち_瓦的不朽遺產(chǎn)——譯自HLF海德堡桂冠論壇 2024年Salem塞勒姆獎授予Miguel Walsh（米格爾·沃爾什）和王藝霖（含迄今全部歷史獲獎人名單一覽） 丹尼斯·沙利文對納維-斯托克斯方程的新解讀——譯自HLF海德堡桂冠論壇博客 2025年AMS Satter美國數(shù)學(xué)會薩特獎授予Ana Caraiani（安娜·卡拉亞尼）（含迄今全部歷史獲獎人名單一覽） GIMPS最新發(fā)現(xiàn)已知最大素數(shù)——2 13?2????1 - 1（第52個梅森素數(shù)M136279841） 一個世紀以來，看似簡單的數(shù)學(xué)問題取得了重大進展——譯自量子雜志Quanta Magazine 數(shù)學(xué)紋身墨水方程——譯自HLF海德堡桂冠論壇博客 世界各地的四個數(shù)學(xué)博物館：從最古老到最新——譯自美國數(shù)學(xué)會通訊 陶哲軒——在泛代數(shù)領(lǐng)域的一個試點項目，旨在探索新的合作方式和使用機器輔助的方法,？ 為什么我們需要數(shù)學(xué)家來理解時空——《量子雜志》每周數(shù)學(xué)隨筆 數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新形狀用以解決數(shù)十年之久的幾何問題——譯自Quanta Magazine Tony Phillips教授的數(shù)學(xué)讀報評論2024-06 關(guān)于形狀的兩種數(shù)學(xué)視角——《量子雜志》每周數(shù)學(xué)隨筆 2024科學(xué)探索獎數(shù)學(xué)獎授予兩位數(shù)學(xué)家單芃、姚方 素數(shù)如何揭示數(shù)學(xué)的隱藏結(jié)構(gòu)——《量子雜志》每周數(shù)學(xué)隨筆 2024未來科學(xué)大獎數(shù)學(xué)獎授予孫斌勇教授 歡迎進入折紙世界——譯自美國數(shù)學(xué)會AMS專欄 2024年ICTP & IMU發(fā)展中國家青年數(shù)學(xué)家拉馬努金獎Ramanujan Prize授予我國劉若川教授（含迄今全部歷史獲獎人名單一覽） 什么是束sheaf（層）？——譯自量子雜志Quanta Magazine 2024年ECM歐洲數(shù)學(xué)大會（第9屆）EMS歐洲數(shù)學(xué)會獎得主名單揭曉（含迄今全部歷史獲獎人名單一覽） 2024年ECM歐洲數(shù)學(xué)大會（第9屆）F·克萊因獎Felix Klein Prize獲獎?wù)呙麊危ê袢繗v史獲獎人名單一覽） 2024年ECM歐洲數(shù)學(xué)大會（第9屆）奧托·紐格鮑爾獎Otto Neugebauer Prize獲獎?wù)呙麊危ê袢繗v史獲獎人名單一覽） 2024年ECM歐洲數(shù)學(xué)大會（第9屆）Lanczos蘭佐斯數(shù)學(xué)軟件獎名單揭曉（含迄今全部歷史獲獎人名單一覽） 2024年ECM歐洲數(shù)學(xué)大會（第9屆）Paul Lévy保羅·萊維概率論獎名單揭曉（含迄今全部歷史獲獎人名單一覽） 2024年國際數(shù)學(xué)物理大會ICMP亨利·龐加萊獎（Henri Poincaré Prize）名單揭曉（含迄今全部歷史獲獎人名單一覽） 2024年第二屆ICBS國際基礎(chǔ)科學(xué)大會學(xué)術(shù)報告演講者及演講主題摘要（2024年7月15日周一） 2024年Wolf沃爾夫獎數(shù)學(xué)獎得主出爐：諾加·阿隆（Noga Alon）,、阿迪·薩莫爾（Adi Shamir） 為什么這種形狀堆積起來如此之差？——譯自量子雜志Quanta Magazine 裁決中的P與NP以及復(fù)雜性的復(fù)雜度——譯自HLF海德堡桂冠論壇博客 龐加萊之家Maison Poincaré——法國數(shù)學(xué)博物館——譯自EMS歐洲數(shù)學(xué)會雜志 大腦如何思考數(shù)字——《量子雜志》每周數(shù)學(xué)隨筆 對話德國數(shù)學(xué)家馬丁·格羅切爾Martin Gr?tschel——數(shù)據(jù)驅(qū)動數(shù)學(xué)的未來 2的平方根如何成為一個數(shù)字——譯自量子雜志Quanta Magazine 數(shù)學(xué)“在我的廚房里”——2024歐洲數(shù)學(xué)會EMS西蒙·諾頓數(shù)學(xué)推廣獎授予Nina Gasking（尼娜·加斯金） 隨機性所具有的反直覺力量——《量子雜志》每周數(shù)學(xué)隨筆 在高度連通的網(wǎng)絡(luò)中,，必有一個環(huán)路——譯自量子雜志Quanta Magazine 2024內(nèi)默斯Nemmers數(shù)學(xué)獎獎金$30萬授予意大利數(shù)學(xué)家Luigi Ambrosio路易吉·安布羅西奧（含迄今全部歷史獲獎人名單一覽） · 開放 · 友好 · 多元 · 普適 · 守拙 · 讓數(shù)學(xué) 更加 易學(xué)易練 易教易研 易賞易玩 易見易得 易傳易及 歡迎評論,、點贊,、在看、在聽 收藏,、分享,、轉(zhuǎn)載、投稿 |
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