這是我借和樂數(shù)學(xué)公眾號(hào)重新開辟的“數(shù)學(xué)都知道”月刊,。這次重新開辟的“數(shù)學(xué)都知道”專欄與以往的有一點(diǎn)不同：著重介紹海外英文資訊,。我將介紹的資訊都與數(shù)學(xué)有關(guān)，但內(nèi)容可能會(huì)有深有淺,。我不希望由于我的偏好和能力而讓讀者失去一些機(jī)會(huì)，所以收集的時(shí)候比較寬容,。有時(shí)候可能會(huì)有被某些數(shù)學(xué)家貼上“民科”標(biāo)簽的內(nèi)容。必須告訴讀者的是,，我不能確保收集的文章中都是正確的或有價(jià)值的,，讀者應(yīng)該自行判斷,。希望與我互動(dòng)的讀者互相尊重。

均值,，中位數(shù)和眾數(shù)

Beyond the mean, median, and mode

https://ericneyman./2019/12/26/beyond-the-mean-median-and-mode/

這三個(gè)指標(biāo)是集中趨勢(shì)的量度：在某種意義上,，它們代表數(shù)據(jù)的“中間”。但眾數(shù)也能代表中間嗎,？其實(shí)，平均值,，中位數(shù)和眾數(shù)之間存在一些非?？岬臄?shù)學(xué)關(guān)系，而眾數(shù)確實(shí)應(yīng)作為集中趨勢(shì)的度量指標(biāo),。

有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家

The greatest Mathematicians of all time

https://www./2020/02/inforgraphic-greatest-mathematicians-of.html

偉大的數(shù)學(xué)家有不少,，但稱的上是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家并不多。在你的心里有誰,？

人工智能,，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，機(jī)器學(xué)習(xí),，深度學(xué)習(xí)和大數(shù)據(jù)速查表

Cheat Sheets for AI, Neural Networks, Machine Learning, Deep Learning & Big Data

https:///cheat-sheets-for-ai-neural-networks-machine-learning-deep-learning-big-data-678c51b4b463

如果你喜歡,，那就盜走不謝。

東芝的優(yōu)化算法創(chuàng)造了解決組合問題的新速度記錄

Toshiba’s Optimization Algorithm Sets Speed Record for Solving Combinatorial Problems

https://spectrum./tech-talk/computing/software/toshiba--optimization-algorithm-speed-record-combinatorial-problems

這里顯示的是東芝的模擬分叉算法的原型,，該公司表示可以識(shí)別金融市場(chǎng)中的套利機(jī)會(huì),。東芝提出了一種解決組合優(yōu)化問題的新方法。這種問題的一個(gè)典型例子就是旅行推銷員的困境,，推銷員必須在許多城市之間找到最短的路線,。其中許多問題都可以映射到光子計(jì)算機(jī)（Ising machine）進(jìn)行的基態(tài)搜索（ground-state searche)。這些專用計(jì)算機(jī)使用數(shù)學(xué)模型來描述彼此相互作用的磁性材料的上下自旋,。這些自旋可用于表示組合問題,。這樣，最優(yōu)解就等同于找到模型的基態(tài),。

變色材料把結(jié)的數(shù)學(xué)和物理兩方面結(jié)合到一起

Color-Changing Material Unites the Math and Physics of Knots

https://www./color-changing-material-unites-the-math-and-physics-of-knots-20200210/

在最近的《科學(xué)》雜志上,，麻省理工學(xué)院的教授馬蒂亞斯·科勒（Mathias Kolle）和他的同事使用一種新的方法來可視化繩結(jié)內(nèi)部的力，從而重新審視了一個(gè)古老的問題：是什么原因使某些繩結(jié)比別的繩結(jié)更結(jié)實(shí),？

概率論證否定了進(jìn)化嗎,？

Do probability arguments refute evolution?

https:///2020/01/do-probability-arguments-refute-evolution-2/

傳統(tǒng)的創(chuàng)造論者和智能設(shè)計(jì)論作家都在對(duì)生物進(jìn)化的批評(píng)中引用了概率論。他們認(rèn)為,，生物學(xué)的某些特征太不可能了,，以至于即使假設(shè)數(shù)十億年的歷史，也不可能通過純天然的“隨機(jī)”過程產(chǎn)生它們。他們通常將進(jìn)化論的假設(shè)等同于猴子在打字機(jī)上隨機(jī)打字可能是莎士比亞作品中的一個(gè)選擇的荒謬的建議,。但是,，自然生物進(jìn)化的過程并不是真正的“隨機(jī)”過程。

新的因數(shù)分解技術(shù)進(jìn)步了,，您的銀行帳戶仍然安全嗎,？

New factorization advances: Is your bank account safe?

https:///2019/12/new-factorization-advances-is-your-bank-account-safe/

最新的成果（2019 年 12 月）是 RSA-240 的解決方案，即 795 位（240 位）整數(shù)的分解,。當(dāng)前采用 RSA 方案的電子商務(wù)標(biāo)準(zhǔn)基于 1024 位和 2048 位整數(shù),。看起來,，當(dāng)前使用的系統(tǒng)仍然是安全的,，盡管該領(lǐng)域的大多數(shù)觀察者建議 2048 位整數(shù)應(yīng)迅速成為通用標(biāo)準(zhǔn)。

造就了數(shù)學(xué)家的定理

The Theorem that Made a Mathematician

https://blogs./roots-of-unity/the-theorem-that-made-a-mathematician/

每一個(gè)數(shù)學(xué)家都曾經(jīng)有過那么一個(gè)定理,，它是如此美麗,，或如此震撼，或如此意外,，一個(gè)年輕人從此走上了數(shù)學(xué)研究之路,。這個(gè)定理會(huì)是哪一個(gè)呢？不必想那些高深的數(shù)學(xué)理論,。就從中等數(shù)學(xué)里找,。比如這里的主人公就是因?yàn)?9 的模運(yùn)算而驚奇數(shù)學(xué)的迷人。

這位設(shè)計(jì)師正在根據(jù)數(shù)學(xué)方程式創(chuàng)建時(shí)裝

This designer is creating fashion prints from maths equations

https://amp./cnn/2020/02/06/africa/senegalese-math-fashion-designer/index.html

現(xiàn)在連服裝設(shè)計(jì)師都要學(xué)好數(shù)學(xué)了,。不信你看,。數(shù)學(xué)教師古耶（Gueye）在講代數(shù)的時(shí)候突發(fā)靈感?，F(xiàn)在,，她完全專注于在創(chuàng)造過程中使用數(shù)學(xué)。又,，美國數(shù)學(xué)會(huì)發(fā)表的文章：數(shù)學(xué)與時(shí)尚相結(jié)合：瑟斯頓的概念啟發(fā)設(shè)計(jì)師 http://www./publicoutreach/ams-news-releases/thurston-miyake

弗朗西斯科·卡利尼

The mathematical contributions by Francesco Carlini

https:///abs/2002.02679

卡利尼（Francesco Carlini , 1783－1862）是一位出生于意大利米蘭的天文學(xué)家,，同時(shí)他也精通數(shù)學(xué)并做出了重要的貢獻(xiàn)。本文介紹了他通過漸進(jìn)展開解決常微分方程的奇異攝動(dòng)和復(fù)方程x^x = y 的研究,。

在有限域及其應(yīng)用的跨學(xué)科課程中學(xué)習(xí)

Discovery learning in an interdisciplinary course on finite fields and applications

https:///abs/1810.10568

作者描述了他們通過講課和主動(dòng)學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法來教授有限域和組合應(yīng)用程序（包括模塊設(shè)計(jì)和糾錯(cuò)代碼）課程的方法,。講授這門課程提出了一些獨(dú)特的挑戰(zhàn)，因?yàn)楹芏鄡?nèi)容通常出現(xiàn)在抽象代數(shù)的第二門課程中,，但是學(xué)生展示了各種各樣的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備,。

對(duì)稱矩陣：理論與應(yīng)用

Symmetric Matrices: Theory and Applications

https:///abs/1408.5923

本文是對(duì)對(duì)稱矩陣的調(diào)查。它可以當(dāng)作大學(xué)教材的一個(gè)補(bǔ)充,。

對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的探究

An inquiry into the Foundations of Mathematics

https:///articles/fom

數(shù)學(xué)可以被視為一種游戲,，從某些對(duì)象（例如，集合）開始,，在對(duì)象上有一些公理（通常是 ZFC）,，然后使用邏輯推論（例如經(jīng)典邏輯）演算來證明事物,。為了將證明機(jī)械化，我們或者使用搜索證明,，或者一個(gè)戰(zhàn)術(shù)系統(tǒng),，并持續(xù)接近對(duì)象。但是,，機(jī)械化數(shù)學(xué)與經(jīng)典數(shù)學(xué)的執(zhí)行方式不同,，因此我們首先研究建立新基礎(chǔ)是否合理。哥德爾的第二不完備定理指出,，可以表達(dá)基本算術(shù)的任何形式系統(tǒng)都不能證明其自身的一致性,，前提是先于系統(tǒng)是一致的。于是,，我們不能說只有一個(gè)正確的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),。有人會(huì)說，正是這一結(jié)果使數(shù)學(xué)激動(dòng)人心：我們可以不斷重寫基礎(chǔ)以更好地適應(yīng)我們的抽象直覺,，并建立更高的抽象,，而不必?fù)?dān)心是否存在“一個(gè)真正的基礎(chǔ)”。

數(shù)學(xué)地圖

The Map of Mathematics

https://www./the-map-of-mathematics-20200213/

Quanta 團(tuán)隊(duì)的杰作,。從數(shù),、形和變?nèi)齻€(gè)主題出發(fā)，你能看到整個(gè)數(shù)學(xué)體系,。

你會(huì)做這個(gè)來自日本中學(xué)生的瘋狂的數(shù)學(xué)難題嗎,？

Can you solve this crazy difficult, super satisfying math puzzle from a Japanese middle schooler?

https:///2020/02/13/can-you-solve-this-crazy-difficult-super-satisfying-math-puzzle-from-a-japanese-middle-schooler/amp/

這類題目是北美的常見題，但這次是日本出了風(fēng)頭,。你們?cè)囈辉嚢伞?/p>

拉姆齊：天才的一切考驗(yàn)

Frank Ramsey: A Genius By All Tests for Genius

https:///article/174250

這是一篇書評(píng),。弗蘭克·拉姆齊（Frank Ramsey）是英國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家兼經(jīng)濟(jì)學(xué)家,。遺憾的是,，他死的時(shí)候僅僅 26 歲又 11 個(gè)月。一個(gè)這樣的年輕人,，他做出了什么成就值得人們寫一本書,？

一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)

A divergent sequence

https://quomodocumque./2020/02/15/a-divergent-sequence/

這個(gè)級(jí)數(shù)看上去應(yīng)該是發(fā)散的，因?yàn)? 在區(qū)間 [-1,1] 上大體均勻分布,。所以大概有四分之一的項(xiàng)有cosn < -1/2,。

方程的 解

Solutions of the equation

https:///questions/353347/solutions-of-the-equation-4pq2-r

這是 mathoverflow 上的一條討論。作者猜測(cè)對(duì)前 個(gè)素?cái)?shù) ,，素?cái)?shù) 漸進(jìn)于 ,。

數(shù)學(xué)中的精英主義和不平等

Elitism in Mathematics and Inequality

https:///abs/2002.07789

菲爾茲獎(jiǎng)?wù)旅克哪觐C發(fā)給不超過 4 位 40 歲以下的數(shù)學(xué)家。近年來，數(shù)學(xué)史學(xué)家對(duì)它獎(jiǎng)勵(lì)現(xiàn)有的精英而不是從代表性不足的社區(qū)中提升數(shù)學(xué)家的初衷進(jìn)行了審查,。作者使用網(wǎng)絡(luò)分析和自然語言處理方法對(duì) 24 萬名數(shù)學(xué)家及他們的導(dǎo)師與學(xué)生之間的關(guān)系進(jìn)行了分析,，顯示了國家之間的精英數(shù)學(xué)家與語言族裔身份的交流。作者發(fā)現(xiàn)菲爾茲獎(jiǎng)?wù)掠兄诘诙问澜绱髴?zhàn)以后的日本一體化,。阿拉伯,，非洲和東亞身份在精英級(jí)別上的代表性仍然不足。

科尚斯基的和差幻方

Magic squares of subtraction of Adam Adamandy Kochański

https:///abs/2002.08915

亞當(dāng)·亞當(dāng)曼迪·科尚斯基（1631–1700）是 17 世紀(jì)波蘭數(shù)學(xué)家,、物理學(xué)家,、教育家、圖書館學(xué)家和鐘表匠人,。他提出的一種幻方是我第一次看到,。我把它翻譯成“和差幻方”（Magic squares of subtraction）。這種幻方的每行,、每列和對(duì)角線都具有如下的性質(zhì)：當(dāng)把它們的數(shù)組按遞減排列時(shí),，奇數(shù)位的數(shù)的和減去偶數(shù)位的數(shù)的和都相同。

時(shí)尚數(shù)學(xué)在哪里,？

Where is the fashionable mathematics?

https://xenaproject./2020/02/09/where-is-the-fashionable-mathematics/

什么是時(shí)尚數(shù)學(xué),？看看菲爾茲獎(jiǎng)獲得者們研究的課題就知道了。時(shí)尚數(shù)學(xué)不是由大財(cái)團(tuán)所控制,。時(shí)尚數(shù)學(xué)是通過回答先前被認(rèn)為有趣或重要的問題的能力來證明自己是正確的數(shù)學(xué),。彼得·舒爾茨（Peter Scholze）對(duì) Perfectoid 空間（有人翻譯為“對(duì)擬狀完備空間”，也不知道準(zhǔn)不準(zhǔn)確）的定義打開了一扇門,。在過去的 10 年里,，人們用它證明了許多定理。這些結(jié)果的陳述中沒有提及 Perfectoid 空間,，有些已經(jīng)提出了數(shù)十年而沒有答案,。這使得這種數(shù)學(xué)成為了時(shí)尚數(shù)學(xué)。每個(gè)正式的證明驗(yàn)證系統(tǒng)（Lean, Coq, Isabelle/HOL, UniMath, 以及所有其他形式）都聲稱自己也可以做數(shù)學(xué)以及其他事情（程序驗(yàn)證,，對(duì)高級(jí)理論和高級(jí)類型理論的研究等）,。但仍然有許多數(shù)學(xué)家沒有加入這些社區(qū)。他們或者不愿意花費(fèi)時(shí)間去學(xué)習(xí)或者找不到自己熟悉的數(shù)學(xué),。如果你是一位數(shù)學(xué)家，你做了什么呢,？

MathWorks 數(shù)學(xué)建模（M3）挑戰(zhàn)

MathWorks Math Modeling (M3) Challenge

https://m3challenge./

邁斯沃克數(shù)學(xué)建模（M3）挑戰(zhàn)賽是針對(duì)高中生和高年級(jí)的競(jìng)賽,。通過參與，學(xué)生體驗(yàn)了在時(shí)間和資源限制下,，像一個(gè)團(tuán)隊(duì)一樣解決現(xiàn)實(shí)世界問題的感覺,，類似于從事工業(yè)工作的專業(yè)數(shù)學(xué)家所面臨的問題。

雙曲幾何

Hyperbolic Geometry

https://www.math./~rkenyon/papers/cannon.pdf

這是一篇關(guān)于雙曲幾何的介紹文章。它實(shí)際上是一本入門書,。

像 covid-19 這樣的流行病如何結(jié)束（以及如何更快地結(jié)束流行?。?/span>

How epidemics like covid-19 end (and how to end them faster)

https://www./graphics/2020/health/coronavirus-how-epidemics-spread-and-end/

自從 2019 年底首次報(bào)道以來，新冠肺炎已經(jīng)感染了 80,000 多人,。為了預(yù)測(cè)這種流行病的傳播范圍,，研究人員正在努力確定這種病毒的傳染性。這個(gè)模型假定基本傳染數(shù)是 2.3,，然后在其他不同的假定下計(jì)算它的傳播,。另一個(gè)指數(shù)叫“有效傳播數(shù)”（effective reproductive number）。一旦這個(gè)數(shù)小于 1,，它的傳播就會(huì)停下來,。

數(shù)學(xué)嘉年華第 176-177 期

Carnivals of Mathematics 176 and 177

https://www./view-article-Carnivals-of-Mathematics-176-and-177.html

“月球著陸器的光學(xué)控制”( Optical Control Of A Lunar Lander) 將登月的最佳控制問題轉(zhuǎn)換為邊值問題。對(duì)此有興趣的讀者可以讀“最優(yōu)控制中直接方法的簡(jiǎn)介”,。家有小姑娘的可以從“芭比螺旋形”( Barbie Spirals) 中為女兒找到樂趣,。有的時(shí)候我們可能對(duì)平均有所疑惑：是算術(shù)平均還是幾何平均？請(qǐng)讀“優(yōu)柔寡斷者的平均”( The Ditherer's Mean),?！翱ú剂锌藬?shù)”( Kaprekar Numbers) 是一類有趣的數(shù)?！案叩葦?shù)學(xué)術(shù)語的權(quán)威詞匯”（The Definitive Glossary of Higher Mathematical ”Jargon）每一個(gè)都有具體的例子,。“基本頻率”( fundamental frequency) 就是基頻,?！靶睊佄锞€”( tilted parabolas) 是一個(gè)有意思的話題。一篇 2007 年的文章說：“印度人比牛頓‘發(fā)現(xiàn)’早了 250 年”（Indians predated Newton 'discovery' by 250 years）,。這是其中一部分內(nèi)容,。

如何進(jìn)行數(shù)學(xué)魔術(shù)技巧，打動(dòng)您認(rèn)識(shí)的每個(gè)人

How to Do the Math Magic Trick That Will Impress Everyone You Know

https://www./science/amp31136091/math-magic-trick/

有些魔術(shù)其實(shí)是數(shù)學(xué),，已經(jīng)有很多文章說到了,。這里還又好多，還有視頻,。希望你能上油管,。

評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)期刊中研究文章的質(zhì)量：它們是如何做到的？

Evaluation of the quality of research articles in mathematical journals: how do they do that?

https:///questions/353508/evaluation-of-the-quality-of-research-articles-in-mathematical-journals-how-do

這是 mathoverflow 上的一個(gè)討論,。大家聊到了編輯的審稿過程,，審稿人的作用。你選擇的研究課題很重要,。你可以選一個(gè)某編輯的研究方向,，做一個(gè)小小的成果,，也可以選一個(gè)懸而未決的百年老題。做出來后應(yīng)該能發(fā)表,。

從無窮小到無窮大

This is AMAZING!

https://www./r/space/comments/f96a9t/thisisamazing/

這是一個(gè)動(dòng)態(tài)的 GIF 圖：從原子到宇宙,。由此可以感受無窮的力量。

數(shù)學(xué)嘉年華第 178 期

Carnivals of Mathematics 178

http:///carnival-of-math-february-2020/

Hypot 是一個(gè)簡(jiǎn)單的 Python 函數(shù),，它計(jì)算直角三角形的斜邊,。這也需要工具？看看為什么吧,?？紤]隨機(jī)移動(dòng)的整數(shù)模計(jì)算的收斂速度，最后到達(dá)每一個(gè)點(diǎn)的概率是一樣的,。吸引子(attractor)是微積分和系統(tǒng)科學(xué)論中的一個(gè)概念,。這里有三個(gè)不同的混沌吸引子的成像。對(duì)“做不了”數(shù)學(xué)的讀者,，推薦針織幾何,。喜歡詩詞的人可以發(fā)現(xiàn)一首英文詩“多重的我”。最后介紹了澳大利亞的數(shù)學(xué)家,。

比特幣的數(shù)學(xué)

The mathematics of Bitcoin

https:///abs/2003.00001

比特幣是一種基于去中心化,，采用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)與共識(shí)主動(dòng)性，開放源代碼,，以區(qū)塊鏈作為底層技術(shù)的加密貨幣,。本文調(diào)查有關(guān)比特幣協(xié)議數(shù)學(xué)穩(wěn)定性的最新結(jié)果。分析了比特幣挖掘規(guī)則的穩(wěn)定性,，并使用鞅和組合技術(shù)證明了幾個(gè)定理,。

邏輯的藝術(shù)

The Art of Logic

http:///blog/the-art-of-logic/

這是一篇為張世嘉（Eugenia Cheng）老師的“The Art of Logic”所寫的書評(píng)。張是一位同時(shí)具備數(shù)學(xué)訓(xùn)練又精通藝術(shù)的老師,。但把藝術(shù)與邏輯聯(lián)系起來還是挺有意思,。

路易·尼倫伯格（1925–2020）

Louis Nirenberg (1925–2020)

https://www./articles/d41586-020-00449-y

《自然》雜志為尼倫伯格寫的訃告，稱他是改變了偏微分方程研究的維托索數(shù)學(xué)家（Virtuoso mathematician）,，意思是說他在某一個(gè)特殊領(lǐng)域里具有超凡能力,。

涉及特定數(shù)學(xué)領(lǐng)域的類似地圖集的網(wǎng)站

Atlas-like websites on specific areas of mathematics

https:///questions/354327/atlas-like-websites-on-specific-areas-of-mathematics

在這篇文章中，我們尋找現(xiàn)有的類似地圖集的網(wǎng)站,，這些網(wǎng)站提供了有關(guān)某些特定數(shù)學(xué)領(lǐng)域的分類清晰的數(shù)據(jù)庫,。

AM-GM-HM 不等式的新證明

A new proof of the AM-GM-HM inequality

https:///abs/2003.02664

作者僅使用歸納法和基本微積分給著名的 AM-GM-HM 不等式的新的簡(jiǎn)短證明。

以 e 為底的數(shù)字表示及冪律

The base-e representation of numbers and the power law

https:///abs/2003.02345

本文討論數(shù)的最佳表示的一些性質(zhì),，特別是以 e 為底的表示,。作者引入了無分?jǐn)?shù)的近似表示并與以 2 和 3 為底相比較。因?yàn)闃淇梢灶惐扔跀?shù)的表示,，我們探索了以 e 為底的系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)最優(yōu)性對(duì)于理解復(fù)雜系統(tǒng)行為和社交網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)性,。