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1926年初,，埃爾溫·薛定諤發(fā)表了一系列論文，這些論文在當(dāng)時(shí)徹底改變了物理學(xué),。在過去的三十年里,，人們越來越清楚地認(rèn)識到，現(xiàn)有的物理學(xué)方法在微觀尺度上根本不起作用,。薛定諤論文的核心方程實(shí)際上取代了牛頓第二定律在原子尺度上的作用,，能夠極其精確地描述電子等粒子的行為。
薛定諤方程與經(jīng)典物理學(xué)中的熱方程和波動方程非常相似,，但有一個例外,，那就是虛數(shù) i。這個 i 是在做什么,？薛定諤的方程至關(guān)重要且頗具爭議地用波的概念取代了粒子的概念,，并提出在空間中的某一點(diǎn)上，這種物質(zhì)波的值隨著時(shí)間變化,，與波在空間中的曲率成正比,。這種比例關(guān)系在熱方程中很有意義，例如,，在從冷到熱再到冷快速變化的區(qū)域,，熱區(qū)會隨著熱量的擴(kuò)散而逐漸冷卻。但在薛定諤方程中,，時(shí)間導(dǎo)數(shù)乘以虛數(shù)i,。為什么乘以i會將熱方程變成對物質(zhì)本身極其準(zhǔn)確的描述？虛數(shù)后來成為量子物理學(xué)的核心,，并在這一最基本且成功的自然理論中發(fā)揮了重要作用,。1925年，愛因斯坦發(fā)表了一篇論文，引用了一位鮮為人知的法國人路易·德布羅意的博士論文,。在這篇論文中,，德布羅意將愛因斯坦和普朗克在1905年所揭示的光量子（光子）理論擴(kuò)展到物質(zhì)波。他證明,，如果將物質(zhì)視為波而不是離散粒子,，并將普朗克-愛因斯坦關(guān)系擴(kuò)展到這些物質(zhì)波上，就可以精確預(yù)測氫原子的行為,。
當(dāng)愛因斯坦的論文傳到物理學(xué)家埃爾溫·薛定諤手中時(shí),，他很快意識到，德布羅意的工作是對他自己在規(guī)范理論研究中所涉領(lǐng)域的更優(yōu)雅和普遍的版本,。薛定諤對物質(zhì)實(shí)際上可能是波這一想法產(chǎn)生了極大的興趣,。1925年11月，薛定諤在其蘇黎世的母校發(fā)表了關(guān)于德布羅意物質(zhì)波的講座后,，他的同事彼得·德拜評論說：“如果物質(zhì)波是真實(shí)的,，那么必然會有一個描述物質(zhì)波的方程?！边@一評論深深印在薛定諤的腦海里,。幾周后，薛定諤帶著論文和書籍前往瑞士阿爾卑斯山度假,，并在山間的房間里開始研究這一問題,。他從經(jīng)典波動方程入手，試圖對其進(jìn)行修改,，使其與德布羅意的物質(zhì)波結(jié)果相兼容,。經(jīng)典波動方程中，
函數(shù)y是位置和時(shí)間的函數(shù),，表示波的位移,，例如振動弦上的某點(diǎn)相對于靜止位置的上下偏移，v是波的傳播速度,。薛定諤的方法是將空間和時(shí)間部分分離,，分別得到兩個新的微分方程：一個僅依賴于位置,，另一個僅依賴于時(shí)間,。
位置方程表明波的曲率應(yīng)與波的負(fù)位移成正比，這在振動弦的例子中非常合理——正位移大的點(diǎn)通常對應(yīng)負(fù)曲率大的點(diǎn),，反之亦然,。從數(shù)學(xué)上看，位置方程表明應(yīng)該存在一個關(guān)于x的函數(shù),，當(dāng)對其進(jìn)行兩次微分時(shí),，結(jié)果等于它自身乘以某個負(fù)常數(shù)。正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都具有這種性質(zhì)，正好滿足我們的微分方程,。
對薛定諤來說,，重要的是當(dāng)我們將弦的兩端固定在x=0和 x=L（弦的長度）時(shí)，只有非常特定的k 值可以滿足條件,。
直觀地看,，這意味著我們可以在弦的固定兩端之間擬合半個正弦波、一個完整的正弦波,、一個半正弦波加一個正弦波……以此類推,，但不能有介于這些之間的波形。
這種行為導(dǎo)致振動弦產(chǎn)生非常純凈的音調(diào),，振動頻率是基頻的簡單整數(shù)倍,。這種行為對于薛定諤的研究至關(guān)重要。與振動弦類似,，氫原子只在非常特定的頻率下產(chǎn)生能量,。然而，對于氫原子,，這些頻率并不像振動弦那樣均勻間隔,。薛定諤的希望是，如果他使用德布羅意的物質(zhì)波方法修改經(jīng)典波動方程,，那么他的新波動方程的解將與氫原子的觀測發(fā)射光譜相匹配,。首先，薛定諤將代表物質(zhì)波的函數(shù)換成希臘字母 ψ,，并將波數(shù)k重新寫成波長的形式,。
他隨后代入德布羅意的公式，該公式將物質(zhì)波的波長與其動量（質(zhì)量乘以速度）聯(lián)系起來,。
經(jīng)典波動方程中的常數(shù)項(xiàng)現(xiàn)在依賴于物質(zhì)波的質(zhì)量平方乘以速度平方,。在經(jīng)典物理學(xué)中，動能等于
最后,，薛定諤將總能量E表示為動能加勢能 V,，并解出動能，將其代入方程
氫原子包含一個質(zhì)子和一個電子,。薛定諤假設(shè)質(zhì)子是固定的,，為電子創(chuàng)造了一個電勢，電勢的表達(dá)式為電子電荷e 除以電子與質(zhì)子之間的距離 r
由于原子是三維的,，因此需要將空間導(dǎo)數(shù)擴(kuò)展到 x,、y、z 三個維度
從這里開始,，薛定諤需要找到他的物質(zhì)波方程的解,。正如我們之前在振動弦問題中發(fā)現(xiàn)的那樣,，只有特定的k值可以成為解。薛定諤通過參考數(shù)學(xué)書籍,，并在數(shù)學(xué)家赫爾曼·外爾的幫助下,，解決了氫原子的波動方程。他證明,，方程中的能量項(xiàng)E也是量子化的,，而且這些能量值的間隔與氫原子的觀測發(fā)射光譜大致一致。這一發(fā)現(xiàn)使得薛定諤得以在1926年1月27日提交他的論文,，隨后在科學(xué)界引起了迅速而積極的反響,。薛定諤的成果被物理學(xué)家奧本海默評價(jià)為“或許是人類發(fā)現(xiàn)的最完美、最準(zhǔn)確,、最優(yōu)美的理論之一”,。物理學(xué)家保羅·狄拉克也指出：“薛定諤的成果包含了大部分物理學(xué)，并原則上涵蓋了所有化學(xué),?！被瘜W(xué)課中常提到的軌道電子分布圖正是薛定諤方程的解。直到這個時(shí)候,，薛定諤的數(shù)學(xué)方法還沒有涉及虛數(shù),。這一切在1926年夏天發(fā)生了變化，當(dāng)時(shí)他擴(kuò)展了自己的方法以包括隨時(shí)間變化的系統(tǒng),。他的這一擴(kuò)展需要解決更復(fù)雜的動態(tài)系統(tǒng)問題,，從而引入了虛數(shù)?！?/span>在薛定諤最初的研究中,，他從經(jīng)典波動方程的空間部分開始。為了完全解決振動弦問題,，我們需要將空間解 f 與時(shí)間解 g 相乘,，從而計(jì)算弦上每個點(diǎn)的最終位置 y，作為位置和時(shí)間的函數(shù),
在經(jīng)典波動方程中,，空間和時(shí)間部分滿足相同的微分方程,，只是常數(shù)不同，
物理學(xué)家,，包括薛定諤在內(nèi)，常用的一種數(shù)學(xué)技巧是使用復(fù)指數(shù)表示這些解,。例如,，我們可以用
對復(fù)指數(shù)進(jìn)行微分非常簡單，只需將指數(shù)項(xiàng)前移即可
重要的是,，在此之前，盡管復(fù)數(shù)在計(jì)算中經(jīng)常被使用,，最終答案通常只取其實(shí)部,。物理問題中的所有實(shí)物量（如弦的位移）都對應(yīng)復(fù)指數(shù)的實(shí)部。然而,，為了將他的方程擴(kuò)展到時(shí)間領(lǐng)域,，薛定諤從復(fù)指數(shù)表示的波函數(shù)出發(fā)，假設(shè)在計(jì)算完成后可以取其實(shí)部,。由于物質(zhì)波的能量與其頻率成正比（由普朗克-愛因斯坦關(guān)系給出）,，我們可以將復(fù)指數(shù)重新寫成與波總能量 E 相關(guān)的形式，
通過微分可以得出波的能量乘以波函數(shù)與波函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)成比例,，且比例常數(shù)為 i
將這一結(jié)果代入薛定諤的時(shí)間無關(guān)方程中,，得到了現(xiàn)代版本的薛定諤方程，
薛定諤很早就發(fā)現(xiàn)了這條路徑,，但他對虛數(shù)的使用感到猶豫,。他曾寫信給物理學(xué)家亨德里克·洛倫茲說：“這里令人不悅、甚至直接令人反對的是使用復(fù)數(shù),。波函數(shù) ψ 應(yīng)該是一個實(shí)函數(shù),。”然而,，薛定諤方程中時(shí)間導(dǎo)數(shù)旁邊明確出現(xiàn)的 i 表明純實(shí)數(shù)波函數(shù)無法成立,。波函數(shù)本身必須由復(fù)數(shù)組成。事實(shí)證明,，波函數(shù)的復(fù)數(shù)形式和時(shí)間導(dǎo)數(shù)乘以 i 并不是缺陷,，而是特性。它使薛定諤方程能夠優(yōu)雅地描述物質(zhì)的行為,。讓我們考慮薛定諤方程如何應(yīng)用于一維自由粒子,，例如遠(yuǎn)離任何其他粒子的電子，
在這種情況下,，勢能V 為零,。我們暫時(shí)將所有常數(shù)合并為一個單一的常數(shù)，稱為c,，并設(shè)其值為0.1,，
假設(shè)一個非常簡單的波函數(shù)初始狀態(tài)，中心值為1,，其周圍值為0,。
我們可以通過數(shù)值方法估算波函數(shù)在中心位置的二階空間導(dǎo)數(shù)，方法是將相鄰波函數(shù)值相加,，然后減去中心位置波函數(shù)值的兩倍,，
可以通過表格記錄薛定諤方程的每一部分隨時(shí)間的變化,。
經(jīng)過幾步后,，一個清晰的趨勢開始顯現(xiàn)：波函數(shù)的空間導(dǎo)數(shù)推動其在復(fù)平面上沿彎曲或圓形路徑移動。在經(jīng)典波動方程中,，空間曲率推動波隨時(shí)間上下振蕩,，而在薛定諤方程中，波的空間曲率推動復(fù)波函數(shù)在復(fù)平面上繞圓形軌跡運(yùn)動,，
可以通過考慮薛定諤方程的一個簡單解,，即平面波，來更廣泛地理解這種行為在空間和時(shí)間上的表現(xiàn),，這種波函數(shù)是一個關(guān)于位置和時(shí)間的復(fù)指數(shù)函數(shù),。直觀上，這種平面波看起來像一個實(shí)部為余弦,、虛部為正弦的波,，隨著時(shí)間的推移向右傳播，可以將一維空間中的每一點(diǎn)視為一個小的復(fù)平面,。波的實(shí)部余弦部分在復(fù)平面上左右移動,，而虛部正弦部分上下移動。這兩個分量結(jié)合在一起,，形成一個繞單位圓運(yùn)動的復(fù)數(shù),，隨著時(shí)間推移不斷旋轉(zhuǎn)，
通過數(shù)值方法看到,，平面波相對于位置的二階導(dǎo)數(shù)為-k^2 乘以原始平面波,。這與數(shù)值分析結(jié)果一致：空間導(dǎo)數(shù)的結(jié)果與波函數(shù)值在復(fù)平面上的位置相對原點(diǎn)的方向相反，其大小取決于平面波的空間頻率 k,。薛定諤方程告訴我們將這個值乘以 i,，得到波函數(shù)的時(shí)間變化率，這會將空間導(dǎo)數(shù)在復(fù)平面上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度,。這種旋轉(zhuǎn)推動波函數(shù)在復(fù)平面上沿圓形路徑運(yùn)動,。更高的空間頻率k意味著平面波在空間中振蕩得更快，從而增加了波函數(shù)的曲率和二階導(dǎo)數(shù)的大小,。根據(jù)薛定諤方程,，較大的空間曲率會導(dǎo)致波函數(shù)在復(fù)平面上更快地旋轉(zhuǎn)。將完整的平面波代入薛定諤方程,，我們可以證明平面波是薛定諤方程的一個解,，并恢復(fù)空間頻率 k與時(shí)間頻率 ω之間的精確關(guān)系，
這正是薛定諤從德布羅意物質(zhì)波關(guān)系中得出的關(guān)系,。因此,，平面波在復(fù)平面上表現(xiàn)為一系列螺旋軌跡,，而薛定諤方程將這些螺旋在空間和時(shí)間中的行為聯(lián)系了起來。現(xiàn)在,，我們需要思考這些具有復(fù)數(shù)值的物質(zhì)波是否合理地描述了像電子這樣的物理粒子,。除了包含虛數(shù) i 外,，薛定諤方程的另一個重要特性是波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)沒有被提升到任何冪次,。這使得薛定諤方程是線性的。這意味著,，如果有兩個波函數(shù),，記為 ψ_1 和 ψ_2，它們的線性組合ψ_1+ψ_2也是薛定諤方程的一個有效解,。這種線性特性意味著薛定諤方程適用于任何平面波的組合,。例如，如果有一個相同的螺旋波函數(shù),，但在空間上相對于原始波函數(shù)平移了半個波長,，那么這兩個波函數(shù)的疊加將完全相互抵消，導(dǎo)致整體波函數(shù)在任何位置的值都為零,。波函數(shù)能夠像這樣相互干涉的能力對于物質(zhì)的波動特性至關(guān)重要,。這種特性在諸如雙縫實(shí)驗(yàn)中得到了驗(yàn)證。在雙縫實(shí)驗(yàn)中,，如果向一個狹縫發(fā)射一束電子,，然后通過探測器觀察其分布，結(jié)果顯示電子的分布是平滑的,，最可能落點(diǎn)在狹縫正后方,，隨著距離狹縫的增大，概率逐漸降低,。
然而,，當(dāng)打開第二個狹縫時(shí)，如果電子僅僅是粒子,，我們會期望兩個狹縫的分布疊加,，從而得到一個整體的探測模式，看起來與單個狹縫的模式類似,。然而,，實(shí)驗(yàn)中觀察到的結(jié)果卻并非如此。
1927年,，戴維森首次通過電子驗(yàn)證了這種現(xiàn)象,。實(shí)驗(yàn)顯示，我們看到了一種波動的圖案,，某些位置幾乎沒有電子到達(dá),。這種行為可以通過薛定諤的物質(zhì)波理論來理解,。
這種波包也是薛定諤方程的一個有效解,。接下來,，從一維空間轉(zhuǎn)到二維空間。在二維中,，每個空間點(diǎn)對應(yīng)一個復(fù)平面可能會變得更加困難,，因此我們切換到另一種方式，將復(fù)波函數(shù)的幅度表示為表面的高度,，用顏色表示復(fù)數(shù)的角度,。當(dāng)關(guān)閉其中一個狹縫時(shí)，物質(zhì)波通過單個狹縫傳播,，擴(kuò)散均勻,。再次運(yùn)行實(shí)驗(yàn)，關(guān)閉另一個狹縫,，觀察到的結(jié)果類似,。然而，當(dāng)我們將兩個狹縫都打開時(shí),，物質(zhì)波在空間中形成干涉,。注意，波函數(shù)的幅度是平滑的曲線,，這符合粒子行為的預(yù)期,。然而，構(gòu)成波函數(shù)的復(fù)數(shù)的角度在探測器表面上變化,，而兩個實(shí)驗(yàn)中這些角度并不總是一致,。這意味著物質(zhì)波在某些位置上會失去相位。當(dāng)兩個狹縫打開時(shí),，這些位置上會發(fā)生破壞性干涉,。在實(shí)驗(yàn)中，這正是我們所看到的：電子的物質(zhì)波在這些位置上相互抵消,，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全一致,。因此，波函數(shù)中復(fù)數(shù)的角度（也被稱為相位）儲存了關(guān)于電子物質(zhì)波的重要信息,。這種相位導(dǎo)致波在某些空間位置上與自身或其他波發(fā)生破壞性干涉,，從而符合實(shí)驗(yàn)觀測。
幾天后,，在薛定諤提交他那一系列突破性論文中的最后一篇之后,，物理學(xué)家馬克斯·玻恩提交了一篇論文，其中包含了我們今天稱為“玻恩規(guī)則”的內(nèi)容。根據(jù)玻恩規(guī)則（盡管有一些限定條件）,，波函數(shù)幅度的平方等于粒子在空間某位置被找到的概率,。根據(jù)玻恩規(guī)則，波函數(shù)的幅度告訴我們粒子最有可能出現(xiàn)在空間中的哪個位置,，而波函數(shù)的復(fù)數(shù)角度（相位）則描述了物質(zhì)波如何與自身及其他物質(zhì)波發(fā)生干涉,。雖然可以通過其他數(shù)學(xué)方法實(shí)現(xiàn)這種行為，但復(fù)數(shù)在這里非常方便,。令人感興趣的是,，當(dāng)薛定諤將經(jīng)典波動方程與德布羅意的物質(zhì)波關(guān)系結(jié)合時(shí)，虛數(shù)自然而然地融入其中,，成為理論的一部分,。如果將二維波包放入一個盒子中,，薛定諤方程中的勢能項(xiàng)會導(dǎo)致波包在盒子邊界處反射,，并與自身發(fā)生干涉，形成一組離散的固定波動模式,。這種行為與薛定諤方程在三維空間中應(yīng)用于氫原子時(shí)發(fā)現(xiàn)的量子化能級非常相似,。令人驚嘆的是，同一個復(fù)值波函數(shù)不僅可以描述自由電子在雙縫實(shí)驗(yàn)中的行為,，還可以解釋被束縛的電子在原子中的量子化能級,。這種統(tǒng)一性表明，薛定諤方程不僅具有理論上的優(yōu)雅,，還在實(shí)驗(yàn)中得到了驗(yàn)證,。多年后，在1970年的一次講座中,，偉大的量子物理學(xué)家保羅·狄拉克這樣描述波函數(shù)：“如果有人問我量子力學(xué)的主要特征是什么,，我現(xiàn)在傾向于說是概率振幅的存在，它支撐了所有的原子過程,。概率振幅與實(shí)驗(yàn)有關(guān),，但只是一部分。振幅的平方是我們可以觀測到的東西,，即實(shí)驗(yàn)人員所得到的概率,。但除此之外，還存在一個相位,，這個相位的模為1,，可以在不影響振幅平方的情況下進(jìn)行修改。這個相位非常重要,，因?yàn)樗撬懈缮娆F(xiàn)象的來源,，但它的物理意義仍不清楚。”所以,，你可以說,，海森堡和薛定諤的真正天才之處在于發(fā)現(xiàn)了包含這種相位量的概率振幅的存在，而這種相位量在自然界中被深深地隱藏了起來,。正因?yàn)樗[藏得如此之深,，人們才沒有更早地想到量子力學(xué)。狄拉克在這里提到的“相位”是構(gòu)成波函數(shù)的復(fù)數(shù)的角度,。虛數(shù)和復(fù)數(shù)為我們提供了一種優(yōu)雅的工具,，用來表示和處理這種相位，而這種相位是我們理解微觀尺度上物質(zhì)如何運(yùn)作的重要組成部分,。量子力學(xué)的興起成為虛數(shù)發(fā)展史上令人驚嘆的一章,。物理學(xué)家弗里曼·戴森寫道：“虛數(shù)在波動力學(xué)中的出現(xiàn)是自然界最深奧的笑話之一?！毖Χㄖ@方程中的虛數(shù)表明自然界使用的是復(fù)數(shù)而不是實(shí)數(shù),。關(guān)于復(fù)數(shù)在這里的必要性，仍然存在一些爭論,。薛定諤本人似乎從未完全接受一個真正復(fù)值的波函數(shù),，盡管他后來在自己的工作和交流中繼續(xù)使用它。然而,，讓人敬畏的是,，這些曾經(jīng)被我們長時(shí)間視為“不可能”或“虛構(gòu)”的數(shù)字，最終卻在我們對自然界最深刻和最準(zhǔn)確的理論中扮演了如此重要的角色,。
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