【原】初三數(shù)學(xué)-每日精講一題(06)

妍小青 2024-11-06 發(fā)布于上海

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基本方法分析

每日精講一題旨在以課本或者配套練習(xí)冊中的經(jīng)典例題為引，通過分析解法,，找到其中隱含的基本圖形,，通過“讀題→析題→解題”,，從而達(dá)到舉一反三的作用。

01 翻折背景下線段與角之間的數(shù)量關(guān)系

如下圖所示,，體現(xiàn)了翻折背景下的作圖依據(jù),、邊與角的特點(diǎn)，以及常用的解題路徑,。

02 與角平分線相關(guān)的性質(zhì)定理和輔助線的添線方法

與角平分線相關(guān)的輔助線添加方法有如下幾種：

01利用角平分線的性質(zhì)定理或逆定理,，向角的兩邊作垂線；

02利用角平分線的“對稱性”進(jìn)行輔助線的添加,，如“截長”或“補(bǔ)短”以構(gòu)造全等三角形,；或借助“對稱性”構(gòu)造等腰三角形。

以上的兩組方法多以構(gòu)造全等三角形,，達(dá)到轉(zhuǎn)化相等線段的目的,。

03利用平行線+角平分線的模型，構(gòu)造等腰三角形,，實(shí)現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)化,。

*04 利用角平分線分線段成比例定理建立線段間的比例關(guān)系

如下圖，若AD平分∠BAC,，則有AB:AC=BD:CD,，具體的證明方法如下。

由于角平分線分線段成比例定理不是教材中的性質(zhì)定理,，因此在使用時,，先證明，再利用,。

03 矩形背景+翻折和角平分線背景下的綜合應(yīng)用問題

當(dāng)題目背景圖形是矩形+三角形翻折的問題情境時,，既要利用翻折后得到的若干性質(zhì)，又要發(fā)現(xiàn)翻折中增加了角平分線的隱含條件,，同時由于矩形兩組對邊平行的背景,，因此需要靈活運(yùn)用上述角平分線背景下的四種添線方法，助力問題解決,。

每日一題精講練習(xí)

01 讀題

讀題旨在挖掘已知條件和結(jié)論中的隱含信息,，從而建立問題解決的橋梁。

本題的整個設(shè)計和解決路徑依托直角三角形的性質(zhì)和翻折的意義,。

本題是2024年閔行期中25題,。本題的突破點(diǎn)在于靈活運(yùn)用翻折的意義。本題的第(1)問是MN為梯形中位線的特殊情況,，此時可以知道MN與BE的交點(diǎn)是直角△BEF的中點(diǎn),，進(jìn)而利用這個信息進(jìn)一步求解；本題的第(2)問根據(jù)翻折的意義(設(shè)BE和CF的交點(diǎn)為H),，可以將這兩個三角形的面積比轉(zhuǎn)化為△ECH和△BCH的面積比,；本題的第(3)問是等腰三角形的存在性問題,，需要分類討論，即根據(jù)等腰的情況確定點(diǎn)E的位置,。

02 析題

析題在讀題的基礎(chǔ)上,，通過添加輔助線或者分析圖形特點(diǎn)，找到問題解決的突破口,。

本題的第(1)問借助翻折的意義以及斜邊中點(diǎn)的性質(zhì),，可以得到BF和BE是∠ABC的三等分線，從而求解,；本題的第(2)問可以借助∠ECF=∠CBE,，利用解三角形表示出EH、CH和BH的大小,，從而得到這兩個三角形的面積比,。

本題的第(3)問的突破點(diǎn)如下：要求CE的長度，就是要借助圖中的CE-AB-X型基本圖形求解,，進(jìn)而求解CI或AI的值,。對于CI的求解，可以借助“角平分線分線段成比例定理求解”,，也可以通過求∠GBC的半角三角比求解,。但是前者在計算上更為簡便，但是在使用前需要進(jìn)行證明,。