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群論確實(shí)由許多不同類型的群組成，其中有五個(gè)基本群在理論上非常重要,，并且為理解更復(fù)雜的群結(jié)構(gòu)提供了基礎(chǔ),。為了說明每個(gè)群是如何構(gòu)建的,，我們需要從對(duì)稱性（symmetry）開始。對(duì)稱性是指一個(gè)物體在經(jīng)過某些操作后仍保持不變的性質(zhì),。
以海星為例,，每轉(zhuǎn)72度，它看起來和之前相同,。為了推廣這種概念,，需要設(shè)立三個(gè)條件。 首先,，識(shí)別物體中所有相似的部分,，并賦予它們一個(gè)編號(hào)。
其次,，嘗試找出可以對(duì)該物體執(zhí)行的操作,，這些操作可以重新排列編號(hào)的部分，同時(shí)占據(jù)相同的空間,。這些操作可以是旋轉(zhuǎn),、翻轉(zhuǎn)、平移或反射等,。它們的共同特點(diǎn)是不會(huì)改變物體的整體形狀或尺寸,，只是重新排列了物體的編號(hào)部分，并確保物體仍然占據(jù)相同的空間,。
第三,，列出所有可能的組合。
這在數(shù)學(xué)上不是很實(shí)用,，所以移除矩形,，只顯示注釋,。
這個(gè)圖從討論“物體在空間中的特定排列或狀態(tài)”轉(zhuǎn)換為討論操作。虛線箭頭顯示的是垂直翻轉(zhuǎn),，而實(shí)線表示水平翻轉(zhuǎn),。 我們可以進(jìn)一步簡化它，不是用完整的短語,，而是選擇顏色和節(jié)點(diǎn),。這些終點(diǎn)被稱為節(jié)點(diǎn)。的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)是起點(diǎn)節(jié)點(diǎn),，標(biāo)記為N,。
箭頭變成了線，雖然缺少箭頭頭部,，我們?nèi)匀环Q之為箭頭,。藍(lán)色代表水平翻轉(zhuǎn)，結(jié)束于B節(jié)點(diǎn),，紅色代表垂直翻轉(zhuǎn),，結(jié)束于R節(jié)點(diǎn)。我們知道,，每次表示關(guān)系時(shí)都不會(huì)使用圖表,，實(shí)際上以代數(shù)方式表達(dá)它。再次看圖,，發(fā)現(xiàn)RB等于BR,，兩者都結(jié)束在RB節(jié)點(diǎn)。因此,，更簡潔地表示為RB=BR,。 顯然這是一個(gè)非常簡單的例子，但這里有一個(gè)非常重要的點(diǎn),，我們剛才畫的是一個(gè)群,，它的可視化，更具體地稱為克萊因4元群（Klein-4,，記為V4）,。順便提一下，所有的節(jié)點(diǎn)都是它的元素,，所以當(dāng)我們說N是V4的元素時(shí),，表達(dá)為
克萊因四元群屬于阿貝爾群家族（abelian groups），但在深入討論它們之前,，我們需要了解一個(gè)更基本的群家族,，稱為循環(huán)群（cyclic groups）。它們是最基本的,，因?yàn)樗鼈冎挥行D(zhuǎn)對(duì)稱性,，這意味著對(duì)循環(huán)群只能做一件事,，那就是旋轉(zhuǎn)它。
循環(huán)群通常被命名為C_n,，n是元素的數(shù)量或它們的階,。通常我們會(huì)給一個(gè)節(jié)點(diǎn)分配一個(gè)恒等元“零”,，因?yàn)樾D(zhuǎn)一個(gè)有n個(gè)葉片的螺旋槳n次會(huì)回到起點(diǎn),，這實(shí)質(zhì)上等同于從未旋轉(zhuǎn)過。
因此,，在代數(shù)上,，C_5表示為這樣：
每次旋轉(zhuǎn)都朝我們選擇的方向（不能是兩個(gè)方向），
在這個(gè)例子中,，每個(gè)群的元素都是通過反復(fù)加一生成的,，但數(shù)字不會(huì)無限增加，達(dá)到n后會(huì)回到零,，這就是所謂的模加法（modular addition）,。 如果用凱萊表（Cayley table）來表示這一點(diǎn)，
會(huì)清楚地看到類似2+3=0或4+3=2這樣的情況,。正如之前提到的,，其他群族可以從循環(huán)群構(gòu)建而成。因此,，為了理解這一點(diǎn),，我們需要理解如何在其他類型的群中找到循環(huán)群。 考慮這個(gè)圖S_3,，
藍(lán)色的箭頭表示旋轉(zhuǎn)或r,。如果從單位元素e開始，會(huì)看到在外部描繪出一個(gè)與C_3完全相同的軌跡,。這個(gè)術(shù)語稱為r的軌道,，它們通常像集合一樣寫在一起。
所有的循環(huán)群都是阿貝爾群,，這自然引出了阿貝爾群家族,。實(shí)際上，阿貝爾群可以從循環(huán)群構(gòu)建而成,。阿貝爾群是指那些操作順序無關(guān)緊要的群,。回想一下我們之前的V_4例子,，如果R和B是阿貝爾群中的兩個(gè)操作,，那么操作R后再操作B，結(jié)果與先操作B再操作R相同,，這表示為RB=BR,。這個(gè)讀作R與B可交換,，因此阿貝爾群是可交換的。 這在視覺上可能顯而易見,，但如果看看這兩個(gè)非常相似的圖,，
其中一個(gè)是D_4，另一個(gè)是C_2×C_4,。仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn),，對(duì)于D_4，先藍(lán)色再紅色,，和先紅色再藍(lán)色得到的節(jié)點(diǎn)不同,，
因此RB不等于BR，但另一個(gè)群則相等,。 在凱萊表中它們也很容易識(shí)別,，因?yàn)樗鼈儙缀跏潜舜说溺R像。
如果你將表沿對(duì)角線對(duì)折,，接觸到的元素是相同的,。 循環(huán)群只能展示旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的物體。那么如果想旋轉(zhuǎn)它并將其翻轉(zhuǎn)呢,？有適合這種情況的群嗎,？有的，這就是二面體群（Dihedral groups）,，它可以旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn),。二面體群描述的物體也具有雙邊對(duì)稱性，這意味著它們?cè)诜瓷鋾r(shí)看起來相同,。它們通常寫作D_n,。 我們?cè)贑_n中能做的所有操作也可以在D_n中進(jìn)行，因?yàn)樗婕靶D(zhuǎn),。但由于D允許翻轉(zhuǎn),，因此D_n中的操作數(shù)量是C_n的兩倍。在二面體群中,，每種可能的旋轉(zhuǎn)都有一種可能的翻轉(zhuǎn),。取一個(gè)等邊三角形并給所有的角編號(hào)，
我們可以旋轉(zhuǎn)它,，這相當(dāng)于C_3的旋轉(zhuǎn),，這個(gè)順時(shí)針的旋轉(zhuǎn)可以稱為r，C_3副本就是r的軌道,。但我們也可以通過翻轉(zhuǎn)三角形得到另外三個(gè)位置,，將總數(shù)提升到六個(gè)。
D_n圖的外環(huán)是r的軌道,，是循環(huán)群C_n的副本,，它們順時(shí)針旋轉(zhuǎn),。內(nèi)環(huán)也是旋轉(zhuǎn)，但為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),。f操作連接內(nèi)環(huán)和外環(huán),。
乘法表清楚地顯示了這一點(diǎn)，我們可以將其分為四個(gè)非常明確的象限,。
在這個(gè)D_5的例子中,，可以稱它們?yōu)椤胺D(zhuǎn)”和“未翻轉(zhuǎn)”。 到目前為止,，我們主要討論了形狀,，但如果想要重新排列群的元素會(huì)怎樣,？這些重新排列屬于我們將討論的最后兩個(gè)群族：對(duì)稱群和交替群,。它們是構(gòu)建群的完美工具，因?yàn)樗鼈儩M足群的四個(gè)條件：
還記得之前提到的S_3嗎,？S代表對(duì)稱，S_n代表n個(gè)事物的所有排列構(gòu)成的群,，或稱為對(duì)稱群,。S3是我們迄今遇到的唯一對(duì)稱群，它很小,，但隨著n的增大,，它們變得更加引人注目。它們的規(guī)模增長非?？?，S_n中的n是階乘。超過S_5后,，凱萊圖表變得非常難以繪制,。但S_4仍然可以很好地排列。S_4有四個(gè)元素,，所以有24種可能的排列,。紅色箭頭表示排列“2到4，4到3,，3到2”,，藍(lán)色箭頭表示排列“1到2，2到1”,。
盡管元素的集合可以形成一個(gè)群,，但創(chuàng)建排列群并不一定需要取所有給定大小的排列,。仍然可以使用S_n的一部分排列形成一個(gè)群。一種方法是通過交替群,，它只取S_n中一半的元素,，但不是隨機(jī)的一半。交替群A_n由S_n中的偶排列組成,。舉個(gè)例子,，
它展示了S_3中每個(gè)排列在平方時(shí)的行為。當(dāng)我們對(duì)一個(gè)排列平方時(shí),，實(shí)際上是將它連續(xù)應(yīng)用兩次,。“1”是恒等排列“1 2 3”，或簡單記作“id”,。將其平方意味著id ○ id = id,，因此結(jié)果是恒等元素。 接下來是兩個(gè)元素的交換,，例如交換元素1和2,，平方它意味著
這等于恒等元，因?yàn)榻粨Q兩次會(huì)抵消交換,，因此它仍然是恒等元,，所以它是一個(gè)奇排列。2和3交換也是同樣的道理,。 第五和第六行的排列產(chǎn)生了兩種不同的換位
先“1 2”,，再“2 3”，因此它是偶排列,。最后一個(gè)也是偶排列,。因此，在6個(gè)可能的排列中,，我們得到了三個(gè),，交替群A_3。 在凱萊圖中,，交替群的排列是對(duì)稱群排列的一半,。例如，交替群A_4排列在一個(gè)截頂四面體上,，而這是S_4的截頂八面體的一半,。
這一切引出了凱萊定理，它指出,，群論的所有內(nèi)容都可以在排列中找到,。
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