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二維空間的向量或坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)可用復(fù)數(shù)、向量或二階方陣表示(復(fù)數(shù)的幾何意義)；類似的,，三維空間的向量或坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)也可以用四元數(shù)(四元數(shù)運(yùn)算表示三維空間點(diǎn)旋轉(zhuǎn))、向量(羅德里格斯公式)或三階方陣表示,。 設(shè)有單位四元數(shù)(模為1的四元數(shù)) 是三維空間中的單位向量(起點(diǎn)在原點(diǎn))。四元數(shù)?q的共軛四元數(shù)為 ??則對(duì)于給定(列)向量(起點(diǎn)在原點(diǎn))通過對(duì)其進(jìn)行共軛操作得到的向量(起點(diǎn)在原點(diǎn))
旋轉(zhuǎn)Ω角后得到的向量,。旋轉(zhuǎn)方向應(yīng)當(dāng)滿足右手定則,，即右手四指彎曲，大拇指與四指垂直并指向 的正方向,，當(dāng)Ω＞0時(shí),，右手四指所指的方向即為旋轉(zhuǎn)方向,。這樣通過共軛操作就可以將特定向量(或坐標(biāo))繞特定軸旋轉(zhuǎn)特定角度。旋轉(zhuǎn)是一種線性變換,，矩陣可以表示線性變換,，對(duì)向量或坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)自然也可以用矩陣表示。具體地,，上述由四元數(shù)共軛操作實(shí)現(xiàn)的空間旋轉(zhuǎn)可以用矩陣乘法表示為稱為旋轉(zhuǎn)矩陣,，R也可以用四元數(shù)的實(shí)部和虛部的四個(gè)分量表示為
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