前言（Preface）

前段時(shí)間有些朋友在論壇里問到一些關(guān)于3D數(shù)學(xué)的知識(shí),，就想為大家寫點(diǎn)這方面的文章。由于之前比較忙,，又遇到過春節(jié),，所以最近才著筆寫了這篇文章，希望大家喜歡,。這些內(nèi)容主要是一些理論知識(shí),，看上去難免有些枯燥，之后的文章我會(huì)加入一些實(shí)例進(jìn)行講解的,。如果內(nèi)容存在錯(cuò)誤和不全,，就請(qǐng)你來更正和添加了。

三維坐標(biāo)系（3D Coordinate System）

三維坐標(biāo)是把二維的平面坐標(biāo)推廣到三維空間中,，在三維坐標(biāo)中,，點(diǎn)（x,y,z）的齊次坐標(biāo)為（nx,ny,nz,n），其中n為任意不為0的數(shù),，規(guī)范化的齊次坐標(biāo)為（x,y,z,1）,，與之相對(duì)應(yīng)，三維變換的變換矩陣為4×4矩陣,。

在三維空間中,，我們通常使用右手坐標(biāo)系（Right-Handed Coordinate System），因?yàn)樗蠑?shù)學(xué)上的習(xí)慣,，而在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中,，我們會(huì)使用左手坐標(biāo)系（Left-Handed Coordinate System），因?yàn)樗容^符合日常習(xí)慣,。其實(shí),，我們可以任意的旋轉(zhuǎn)這些坐標(biāo)系，而圖形仍然保持不變,。常見的坐標(biāo)系如下：

屏幕坐標(biāo)系：相對(duì)于顯示器的原點(diǎn)的2D坐標(biāo)系

本地坐標(biāo)系：相對(duì)于對(duì)象的原點(diǎn)的3D坐標(biāo)系

世界坐標(biāo)系：相對(duì)于3D世界的原點(diǎn)三維坐標(biāo)系

對(duì)齊(視點(diǎn))坐標(biāo)系：世界坐標(biāo)系的變換,，觀察者的位置在世界坐標(biāo)系的原點(diǎn),。

點(diǎn)（Point）

點(diǎn)是在某一個(gè)坐標(biāo)系中使用坐標(biāo)值指定的位置。因此,，點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)之間的距離與坐標(biāo)系的選擇有關(guān),。點(diǎn)P在坐標(biāo)系A(chǔ)中的坐標(biāo)為（0,0,0），而在坐標(biāo)系B中的坐標(biāo)則為（x,y,z）,。

向量（Vector）

向量是指兩點(diǎn)的差值,，具有大小和方向，即給定兩點(diǎn),，就能唯一確定一個(gè)向量,，向量的大小和方向與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。向量V=（V_x,V_y,V_z）=P₁P₂=（x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁）其中,，V_x,，V_y和V_z分別為向量V在x，y和z軸上的投影,，稱為向量V的x分量（x component）,，y分量（y component）和z分量（z component）。該向量的大小為：

向量V與x,，y和z軸形成的方向角（Direction Angle）：α,，β和γ，其中cosα,，cosβ和cosγ稱為方向余弦（Direction Cosine）,。

向量加法：V₁+V₂=（V_1x+V_2x,V_1y+V_2y,V_1z+V_2z）

向量標(biāo)量乘：aA=（aV_x,aV_y,aV_z）

向量標(biāo)量積：V₁·V₂= V_1x+V_2x,V_1y+V_2y,V_1z+V_2z

向量積（*積）：V₁×V₂=（V_1yV_2z-V_1zV_1y,V_1zV_2x-V_1xV_2z,V_1xV_2y-V_1yV_2z）

=|U_x U_y U_z|

|V_1x V_1y V_1z|

|V_2x V_2y V_2z|

注：其中U_x,U_y,U_z分別表示沿x軸，y軸和z軸的單位向量,。在以后的編程中,，我們經(jīng)常會(huì)用到向量積。

矩陣（Matrix）

矩陣是由若干個(gè)數(shù)值構(gòu)成的矩形陣列,，這些數(shù)值通常為實(shí)數(shù),，稱為矩陣的元素。如果一個(gè)矩陣的行和列數(shù)相同,，我們則稱該矩陣為方陣（Square Matrix）,，而只有一行或者一列的矩陣用常用向量表示，例如：[x,y,z]稱為行向量（Row Vector）,，

|x|

|y| 則稱為列向量（Colume Vector）,。

|z|

矩陣加法：|A₁₁ A₁₂ A₁₃| |B₁₁ B₁₂ B₁₃| | A₁₁+ B₁₁ A₁₂+ B₁₂ A₁₃+ B₁₃|

|A₂₁ A₂₂ A₂₃| + |B₂₁ B₂₂ B₂₃| = | A₂₁+ B₂₁ A₂₂+ B₂₂ A₂₃+ B₂₃|

|A₃₁ A₃₂ A₃₃| |B₃₁ B₃₂ B₃₃| | A₃₁+ B₃₁ A₃₂+ B₃₂ A₃₃+ B₃₃|

矩陣標(biāo)量乘： |A₁₁ A₁₂ A₁₃| |nA₁₁ nA₁₂ nA₁₃|

n |A₂₁ A₂₂ A₂₃| = |nA₂₁ nA₂₂ nA₂₃|

|A₃₁ A₃₂ A₃₃| |nA₃₁ nA₃₂ nA₃₃|

矩陣變換（Matrix Transform）

三維平移的矩陣表示為：

[x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | 1 0 0 0 |

| 0 1 0 0 |

| 0 0 1 0 |

| tx ty tz 1 |

三維縮放的矩陣表示為：

[x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | sz 0 0 0 |

| 0 sy 0 0 |

| 0 0 sx 0 |

| 0 0 0 1 |

繞x軸旋轉(zhuǎn)的矩陣表示為：

[x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | 1 0 0 0 |

| 0 cosα sinα 0 |

| 0 -sinα cosα 0 |

| 0 0 0 1 |

繞y軸旋轉(zhuǎn)的矩陣表示為：

[x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | cosα 0 -sinα 0 |

| 0 1 0 0 |

| sinα 0 cosα 0 |

| 0 0 0 1 |

繞z軸旋轉(zhuǎn)的矩陣表示為：

[x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | cosα sinα 0 0 |

| -sinα cosα 0 0 |

| 0 0 1 0 |

| 0 0 0 1 |

反射（Reflection）

反射變換也稱為對(duì)稱（Symmetric）變換或鏡像（Mirror Image）變換，三維反射變換可以相對(duì)于反射軸（Reflection Axis）進(jìn)行,，也可以相對(duì)于反射平面進(jìn)行,。相對(duì)于反射軸的三維反射變換是通過將圖形繞反射軸旋轉(zhuǎn)180°來實(shí)現(xiàn)的。

相對(duì)于xy平面的反射變換矩陣為：

| 1 0 0 0 |

| 0 1 0 0 |

| 0 0 1 0 |

| 0 0 0 1 |

相對(duì)于yz平面的反射變換矩陣為：

|-1 0 0 0 |

| 0 1 0 0 |

| 0 0 1 0 |

| 0 0 0 1 |

相對(duì)于zx平面的反射變換矩陣為：

| 1 0 0 0 |

| 0 -1 0 0 |

| 0 0 1 0 |

| 0 0 0 1 |

錯(cuò)切（Shear）

錯(cuò)切變換會(huì)改變圖形的形狀。

相對(duì)于x軸的錯(cuò)切變換矩陣為：

| 1 0 0 0 |

| sh_Y 1 0 0 |

| sh_z 0 1 0 |

| 0 0 0 1 |

相對(duì)于y軸的錯(cuò)切變換矩陣為：

| 1 sh_X 0 0 |

| 0 1 0 0 |

| 0 sh_z 1 0 |

| 0 0 0 1 |

相對(duì)于z軸的錯(cuò)切變換矩陣為：

| 1 0 sh_X 0 |

| 0 1 sh_Y 0 |

| 0 0 1 0 |

| 0 0 0 1 |

從簡(jiǎn)單的平移,、縮放和旋轉(zhuǎn)等可以延伸到復(fù)合平移,、復(fù)合縮放,、復(fù)合旋轉(zhuǎn),、固定點(diǎn)縮放等概念，這些就要*讀者自己查閱資料了,，在這里我就不多講了,。

三維轉(zhuǎn)換（3D Transform）

最常見的轉(zhuǎn)換有以下三種類型：

1、世界坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換：通過這種轉(zhuǎn)換方式,，可以改變3D物體的位置,、大小、角度等等,。就是改變3D世界中的物體位置相關(guān)的特性,；

2、透視轉(zhuǎn)換：透視轉(zhuǎn)換決定了三維場(chǎng)景如何透視到二維平面上,。包括觀察三維世界攝象機(jī)鏡頭的觀察范圍等屬性,；

3、觀察坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換：這種轉(zhuǎn)換方式?jīng)Q定了三維世界中觀察者的位置,，觀察方向等屬性,。

投影變換（Projection Transformation）

投影變換就是將維數(shù)為n的點(diǎn)變換成維數(shù)小于n的點(diǎn)。我們會(huì)用到的就是將三維空間中的點(diǎn)變換成二維平面上的點(diǎn),。要對(duì)三維物體進(jìn)行投影變換,，首先要在三維空間中選擇一個(gè)點(diǎn)，稱為投影中心（Center of Projection）,；再定義一個(gè)不經(jīng)過投影中心的平面,，稱為投影平面（Projection Plane）；從投影中心向物體的沒一點(diǎn)引射線,，這些射線稱為投影線（Projection Ray）,，投影線與投影平面的交點(diǎn)集合就稱為三維物體在二維投影平面上的投影。

投影可以分為兩大類,，即透視投影（Perspective Projection）和平行投影（Parallel Projection）,；如果投影中心到投影平面的距離是有限的，那么投影線是從投影中心發(fā)出的無數(shù)條射線,，這種投影稱為透視投影,；如果投影中心到投影平面的距離越來越遠(yuǎn)，那么投影線就越來越趨于平行,，當(dāng)投影中心到投影平面的距離為無窮遠(yuǎn)的時(shí)候,，投影線為一組平行線，這種投影稱為平行投影。

透視投影（Perspective Projection）

設(shè)投影中心為P_C（X_C,，Y_C,，Z_C），投影平面為Z=Z_P平面（Z_P≠Z_C）,，即投影平面平行與xy平面（垂直于z軸）并且不經(jīng)過投影中心,，三維空間中的點(diǎn)P（x,y,z）在投影平面上的透視投影為點(diǎn)P_P（X_P，Y_P,，Z_P）,。

則透視投影矩陣為：

|Z_P-Z_C 0 X_C -X_CZ_P |

| 0 Z_P-Z_C Y_C -Y_CZ_P |

| 0 0 Z_P -Z_CZ_P |

| 0 0 1 -Z_C |

如果投影中心P_C在坐標(biāo)原點(diǎn)，投影平面仍然是Z=Z_P平面,，即X_C=Y_C=Z_C=0,，那么透視投影矩陣變成：

| 1 0 0 0 |

| 0 1 0 0 |

| 0 0 1 0 |

| 0 0 1/z_P 0 |

如果投影中心P_C在z軸上，投影平面是xy平面,，即X_C=Y_C=0,，那么透視投影矩陣變成：

| 1 0 0 0 |

| 0 1 0 0 |

| 0 0 0 0 |

| 0 0 -1/z_P 1 |

對(duì)于三維空間中任意一組平行線來說，如果它們平行于投影平面,，那么它們的透視投影仍然保持平行,；如果他們不平行于投影平面，那么它們的透視投影不再保持平行,，并且會(huì)匯聚到一個(gè)點(diǎn),，該點(diǎn)稱為滅點(diǎn)（Vanishing Point）；平行于坐標(biāo)軸的一組平行線形成的滅點(diǎn)稱為主滅點(diǎn)（Principal Vanishing Point）或軸滅點(diǎn)（Axis Vanishing Point）,。透視投影的主滅點(diǎn)的數(shù)目等于與投影平面相交的坐標(biāo)軸的數(shù)目,，而三維空間中的任意投影平面最少與一個(gè)坐標(biāo)軸相交，最多與x,y,z三個(gè)坐標(biāo)軸都相交,，所以主滅點(diǎn)的數(shù)目最少為1個(gè),，最多為3個(gè)。根據(jù)主滅點(diǎn)的數(shù)目,，我們可以將透視投影分為三類,，即一點(diǎn)透視、二點(diǎn)透視和三點(diǎn)透視,。

如果投影平面只與一個(gè)坐標(biāo)軸相交,，與另外兩個(gè)坐標(biāo)軸平行，那么透視投影只形成一個(gè)主滅點(diǎn),，稱為一點(diǎn)透視,。

如果投影平面與兩個(gè)坐標(biāo)軸相交，與剩下的一個(gè)坐標(biāo)軸平行,，那么透視投影形成兩個(gè)主滅點(diǎn),，稱為二點(diǎn)透視。二點(diǎn)透視比一點(diǎn)透視具有更強(qiáng)的真實(shí)感，被廣泛地應(yīng)用于建筑,、工程,、廣告等領(lǐng)域。

平行投影（Parallel Projection）

根據(jù)投影方向的不同,，我們可以把平行投影分為兩類：如果投影方向與投影平面垂直,，既投影方向與投影平面法向量的方向相同，那么這種投影稱為正平行投影（Orthographic Parallel Projection）,，簡(jiǎn)稱為正投影,；如果投影方向與投影平面斜交，那么這種投影稱為斜平行投影（Ohlique Parallel Projection）,，簡(jiǎn)稱為斜投影。

1,、 正投影

正投影經(jīng)常用于產(chǎn)生物體的三視圖,。因?yàn)槿晥D能準(zhǔn)確地反映物體的長(zhǎng)度和角度。三視圖是指投影方向分別取作x軸,、y軸和z軸方向,，投影平面分別垂直于x軸、y軸和z軸事的正投影,，產(chǎn)生的視圖分別成為前視圖（Front View）,、側(cè)視圖（Side View）和頂視圖（Top View）。產(chǎn)生三視圖的投影矩陣分別為：

M_front= | 0 0 0 0 |

| 0 1 0 0 |

| 0 0 1 0 |

| 0 0 0 1 |

M_side= | 1 0 0 0 |

| 0 0 0 0 |

| 0 0 1 0 |

| 0 0 0 1 |

M_top= | 1 0 0 0 |

| 0 1 0 0 |

| 0 0 0 0 |

| 0 0 0 1 |

當(dāng)投影方向不取坐標(biāo)軸方向,，投影平面不垂直于坐標(biāo)軸時(shí),，產(chǎn)生的正投影稱為軸測(cè)正投影（Axonometric Orthographic Projection）。軸測(cè)正投影又分為正等測(cè)（Isimetric Projection）,、正二測(cè)和正三測(cè)三種,。當(dāng)投影平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都相等時(shí)為正等測(cè)，也稱為等軸測(cè),；當(dāng)投影平面與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離相等時(shí)為正二測(cè),；當(dāng)投影平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不相等時(shí)為正三測(cè)。

在這三種軸測(cè)正投影中,，正等測(cè)應(yīng)用最為廣泛,。由于正等測(cè)的投影平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都相等，因此投影方向（即投影平面的法向量）與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角也相等,。

2,、 斜投影

投影方向與投影平面斜交的平行投影稱為斜投影。假設(shè)投影平面為Z=Z_P平面,，投影方向?yàn)椋╔_D,Y_D,Z_D）（Z_D≠0）,，三維空間中的點(diǎn)P（x,y,z）在投影平面上的斜投影為點(diǎn)PP（x_P，y_P，z_P）,。則斜投影矩陣為：

| Z_D 0 -X_D X_DZ_P |

| 0 Z_D -Y_D Y_DZ_P |

| 0 0 0 Z_DZ_P |

| 0 0 0 Z_D |

如果投影平面為z=0平面,，即Z_P=0，那么斜投影矩陣變成：

| 1 0 -X_D/Z_D 0 |

| 0 1 -Y_D/Z_D 0 |

| 0 0 0 0 |

| 0 0 0 1 |

總結(jié)（Conclusion）

上面所提到的知識(shí),，都是我們平時(shí)編程時(shí)經(jīng)常會(huì)用到的,，可能還有些知識(shí)沒提到，只好*自己翻翻線形代數(shù)書了,。如果對(duì)上面知識(shí)有什么不懂的和錯(cuò)誤的,，可以跟我討論。如果你有基礎(chǔ)知識(shí),，把這些理論用于實(shí)踐應(yīng)該是很輕松的事,，如果你沒有基礎(chǔ)知識(shí)，也沒什么大不了的,，可以先看看關(guān)于OpenGL的書入門,。這樣上手會(huì)快一些。另外,，上面的內(nèi)存可能存在一些格式問題,，請(qǐng)大家諒解。