旋轉(zhuǎn)矩陣是世界上著名的彩票專家,、澳大利亞數(shù)學(xué)家底特羅夫研究的，它可以幫助您鎖定喜愛的號(hào)碼,，提高中獎(jiǎng)的機(jī)會(huì),。首先您要先選一些號(hào)碼，然后,，運(yùn)用某一種旋轉(zhuǎn)矩陣,，將你挑選的數(shù)字填入相應(yīng)位置。如果您選擇的數(shù)字中有一些與開獎(jiǎng)號(hào)碼一樣,，您將一定會(huì)中一定獎(jiǎng)級(jí)的獎(jiǎng),。當(dāng)然運(yùn)用這種旋轉(zhuǎn)矩陣,，可以最小的成本獲得最大的收益，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于復(fù)式投注的成本,。

旋轉(zhuǎn)矩陣的原理在數(shù)學(xué)上涉及到的是一種組合設(shè)計(jì)：覆蓋設(shè)計(jì),。而覆蓋設(shè)計(jì)，填裝設(shè)計(jì),，斯坦納系,，t-設(shè)計(jì)都是離散數(shù)學(xué)中的組合優(yōu)化問(wèn)題。它們解決的是如何組合集合中的元素以達(dá)到某種特定的要求,。其最古老的數(shù)學(xué)命題是寇克曼女生問(wèn)題：

某教員打算這樣安排她班上的十五名女生散步：散步時(shí)三女生為一組,，共五組。問(wèn)能否在一周內(nèi)每日安排一次散步,，使得每?jī)擅谝恢軆?nèi)一道散步恰好一次,？寇克曼于1847年提出了該問(wèn)題，過(guò)了100多年后,，對(duì)于一般形式的寇克曼問(wèn)題的存在性才徹底解決,。用1~15這15個(gè)數(shù)字分別代表15個(gè)女生，其中的一組符合要求的分組方法是：

星期日：（1,，2,，3），（4,，8,，12），（5,，10,，15），（6,，11,，13），（7,，9,，14）

星期一：（1，4,，5）,，（2，8,，10）,，（3，13，14）,，（6,，9，15）,，（7,，11，12）

星期二：（1,，6,，7），（2,，9,，11），（3,，12,，15），（4,，10,，14），（5,，8,，13）

星期三：（1，8,，9）,，（2，12,，14）,，（3，5,，6）,，（4，11,，15），（7,，10,，13）

星期四：（1，10,，11）,，（2，13，15）,，（3,，4，7）,，（5,，9，12）,，（6,，8，14）

星期五：（1,，12,，13），（2,，4,，6），（3,，9,，10），（5,，11,，14），（7,，8,，15）

星期六：（1，14,，15）,，（2，5,，7）,，（3，8,，11）,，（4，9,，13）,，（6，10,，12）

1,，Patric Ostergard

他的主要貢獻(xiàn)是用了全新的模擬冷卻算法解決了旋轉(zhuǎn)矩陣的構(gòu)造問(wèn)題，運(yùn)用他的模擬冷卻程序，可以很迅速的產(chǎn)生許許多多的旋轉(zhuǎn)矩陣,。

2,，Alex Sidorenko

他研究出了許多旋轉(zhuǎn)矩陣和幾種產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)矩陣的基于禿嶺瀏覽的一般方法。

3,，Greg Kuperberg

他注意到線性的[v,t]編碼的補(bǔ)集可以給出區(qū)組長(zhǎng)度不定的覆蓋設(shè)計(jì),，而這可以產(chǎn)生對(duì)現(xiàn)有的旋轉(zhuǎn)矩陣的一系列改進(jìn)。

4,，Dan Gordon

他收集的旋轉(zhuǎn)矩陣是迄今為止最全面,，最權(quán)威的。

設(shè) 是任何維的一般旋轉(zhuǎn)矩陣:

兩個(gè)向量的點(diǎn)積在它們都被一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣操作之后保持不變: 從而得出旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣是它的轉(zhuǎn)置矩陣: 這里的 是單位矩陣,。 一個(gè)矩陣是旋轉(zhuǎn)矩陣,，當(dāng)且僅當(dāng)它是正交矩陣并且它的行列式是單位一。正交矩陣的行列式是 ±1,；如果行列式是 ?1,，則它包含了一個(gè)反射而不是真旋轉(zhuǎn)矩陣。 旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣,，如果它的列向量形成 的一個(gè)正交基,，就是說(shuō)在任何兩個(gè)列向量之間的標(biāo)量積是零(正交性)而每個(gè)列向量的大小是單位一(單位向量)。 任何旋轉(zhuǎn)向量可以表示為斜對(duì)稱矩陣A的指數(shù): 這里的指數(shù)是以泰勒級(jí)數(shù)定義的而 是以矩陣乘法定義的,。A 矩陣叫做旋轉(zhuǎn)的“生成元”,。旋轉(zhuǎn)矩陣的李代數(shù)是它的生成元的代數(shù)，它就是斜對(duì)稱矩陣的代數(shù),。生成元可以通過(guò) M 的矩陣對(duì)數(shù)來(lái)找到,。

在二維空間中，旋轉(zhuǎn)可以用一個(gè)單一的角 θ 定義,。作為約定,，正角表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。把笛卡爾坐標(biāo)的列向量關(guān)于原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ 的矩陣是:

cosθ -sinθ

sinθ cosθ

該矩陣的逆矩陣為：

cosθ sinθ

-sinθ cosθ

表示較原來(lái)反方向旋轉(zhuǎn)θ ,，也即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) -θ

在三維空間中,，旋轉(zhuǎn)矩陣有一個(gè)等于單位一的實(shí)特征值。旋轉(zhuǎn)矩陣指定關(guān)于對(duì)應(yīng)的特征向量的旋轉(zhuǎn)(歐拉旋轉(zhuǎn)定理),。如果旋轉(zhuǎn)角是 θ,，則旋轉(zhuǎn)矩陣的另外兩個(gè)(復(fù)數(shù))特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。從而得出 3 維旋轉(zhuǎn)的跡數(shù)等于 1 + 2 cos(θ),，這可用來(lái)快速的計(jì)算任何 3 維旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角,。

3 維旋轉(zhuǎn)矩陣的生成元是三維斜對(duì)稱矩陣。因?yàn)橹恍枰齻€(gè)實(shí)數(shù)來(lái)指定 3 維斜對(duì)稱矩陣,，得出只用三個(gè)是實(shí)數(shù)就可以指定一個(gè)3 維旋轉(zhuǎn)矩陣。

生成旋轉(zhuǎn)矩陣的一種簡(jiǎn)單方式是把它作為三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)的序列復(fù)合。關(guān)于右手笛卡爾坐標(biāo)系的 x-, y- 和 z-軸的旋轉(zhuǎn)分別叫做 roll, pitch 和 yaw 旋轉(zhuǎn),。因?yàn)檫@些旋轉(zhuǎn)被表達(dá)為關(guān)于一個(gè)軸的旋轉(zhuǎn),，它們的生成元很容易表達(dá)。

繞 x-軸的旋轉(zhuǎn)定義為: 這里的 θx 是 roll 角,。 繞 y-軸的旋轉(zhuǎn)定義為: 這里的 θy 是 pitch 角,。 繞 z-軸的旋轉(zhuǎn)定義為: 這里的 θz 是 yaw 角。

在飛行動(dòng)力學(xué)中,，roll, pitch 和 yaw 角通常分別采用符號(hào) γ, α, 和 β,；但是為了避免混淆于歐拉角這里使用符號(hào) θx, θy 和 θz。

任何 3 維旋轉(zhuǎn)矩陣 都可以用這三個(gè)角 θx, θy, 和 θz 來(lái)刻畫,，并且可以表示為 roll, pitch 和 yaw 矩陣的乘積,。

是在 中的旋轉(zhuǎn)矩陣 在 中所有旋轉(zhuǎn)的集合，加上復(fù)合運(yùn)算形成了旋轉(zhuǎn)群 SO(3),。這里討論的矩陣接著提供了這個(gè)群的群表示,。更高維的情況可參見 Givens旋轉(zhuǎn)。

角-軸表示和四元數(shù)表示

在三維中,，旋轉(zhuǎn)可以通過(guò)單一的旋轉(zhuǎn)角 θ 和所圍繞的單位向量方向 來(lái)定義,。

這個(gè)旋轉(zhuǎn)可以簡(jiǎn)單的以生成元來(lái)表達(dá):

在運(yùn)算于向量 r 上的時(shí)候，這等價(jià)于Rodrigues旋轉(zhuǎn)公式：

角-軸表示密切關(guān)聯(lián)于四元數(shù)表示,。依據(jù)軸和角,，四元數(shù)可以給出為正規(guī)化四元數(shù) Q:

這里的 i, j 和 k 是 Q 的三個(gè)虛部。

歐拉角表示

在三維空間中,，旋轉(zhuǎn)可以通過(guò)三個(gè)歐拉角 (α,β,γ) 來(lái)定義,。有一些可能的歐拉角定義，每個(gè)都可以依據(jù) roll, pitch 和 yaw 的復(fù)合來(lái)表達(dá),。依據(jù) "z-x-z" 歐拉角,，在右手笛卡爾坐標(biāo)中的旋轉(zhuǎn)矩陣可表達(dá)為:

進(jìn)行乘法運(yùn)算生成:

因?yàn)檫@個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣不可以表達(dá)為關(guān)于一個(gè)單一軸的旋轉(zhuǎn)，它的生成元不能像上面例子那樣簡(jiǎn)單表達(dá)出來(lái),。

對(duì)稱保持 SVD 表示

對(duì)旋轉(zhuǎn)軸 q 和旋轉(zhuǎn)角 θ,，旋轉(zhuǎn)矩陣

這里的 的縱列張開正交于 q 的空間而 G 是 θ 度 Givens 旋轉(zhuǎn)，就是說(shuō)