2023湖南懷化24

解法分析(1)

將點(diǎn)A,、B的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式中，
解方程組得：=1,，=2,，
∴拋物線的解析式為：
=+2-8=(+1)-9，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,，-9).

解法分析(2)

函數(shù)模型求最值

★等積變換
連接OC.
易求得：點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,，-8).
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，+2-8).
∵S=S+S-S,，
∴S=AO×(-)+CO×(-)-AO×CO
=-2-8
=-2(+2)+8,，
∴當(dāng)=-2時(shí)，△PAC的面積取得最大值8,，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2，-8).

★鉛垂線法
過點(diǎn)P作軸的垂線，交AC于點(diǎn)Q.
根據(jù)待定系數(shù)法求得：
直線AC的解析式為：=-2-8.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,，+2-8),，
則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，-2-8),，
∴S=(-)(-)
=-2-8
=-2(+2)+8,，
∴當(dāng)=-2時(shí)，△PAC的面積取得最大值8,，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,，-8).

代數(shù)法

過點(diǎn)P作AC的平行線，
當(dāng)直線與拋物線相切時(shí),，△PAC的面積最大.
設(shè)直線的解析式為：=-2+.
聯(lián)立直線和拋物線的解析式得：
-2+=+2-8,，
化為一般式得：
+4-8-=0，
∵直線與拋物線相切于點(diǎn)P,，
∴△=4-4×(-8-)=0,，
解得：=-12，
∴+4-8+12=0,，
解得：=-2,，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2，-8),，
∴S=PC×(-)=8.

解法分析(3)

韋達(dá)定理

聯(lián)立直線和拋物線的解析式得：
+(2-)-+=0,，
∴+=-2，·=-+,，
∴+
=+-++-
=(+)+2-
=-.
(-)
=(+)-4·
=+1,，
∴(-)
=(+---+)
=(-)
=+.

切線的判定

以MN為直徑畫圓O.
根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式*求得：
MN=
=+1，
∴圓O的半徑=+.
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式*求得：
==-,，
∴點(diǎn)O到直線的距離=+=+=,，
∴直線與圓O相切，記切點(diǎn)為E,，
∴∠MEN=90°,，
∴無論為何值，平行于軸的直線上總存在一點(diǎn)E,，使得∠MEN為直角.

動(dòng)態(tài)演示