接下來(lái)的2節(jié)，我們來(lái)聊聊高等數(shù)學(xué)——微積分,。

微積分的發(fā)展故事是很微妙,，只要有初中數(shù)學(xué)水平也能看得到，接下來(lái)我們帶你一起研究,。

無(wú)窮小是微積分的根基,。如果沒(méi)有無(wú)窮小就沒(méi)有微積分，沒(méi)有弄清什么是無(wú)窮小,，就等于沒(méi)有弄清什么是微積分,！在數(shù)學(xué)史上很長(zhǎng)一段時(shí)間，人們就把微積分學(xué)稱(chēng)為無(wú)窮小分析,。

這也是我們前面做了很多鋪墊來(lái)講“芝諾悖論”這個(gè)概念,，然而，無(wú)窮小從芝諾悖論被提起之后,，就像一把鋒利的尖刀插在數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的身上,，因?yàn)橛行┳匀豢茖W(xué)想統(tǒng)一卻統(tǒng)一不起來(lái)。

芝諾悖論引發(fā)的關(guān)于無(wú)窮小,、無(wú)窮大和連續(xù)的問(wèn)題始終拷問(wèn)著每個(gè)時(shí)代最杰出的大腦,。無(wú)窮小觀念的演變經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過(guò)程,，當(dāng)邏輯不能夠提供解決方法的時(shí)候，人們常常求助于直覺(jué),。直到19世紀(jì),，無(wú)窮小才最終被導(dǎo)數(shù)和積分的嚴(yán)格概念所取代。

17世紀(jì)的時(shí)候,，人類(lèi)科學(xué)面臨四類(lèi)問(wèn)題,。

第一類(lèi)：研究運(yùn)動(dòng)物體時(shí)候出現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，特別是求瞬時(shí)速度,。比如你開(kāi)著一輛車(chē),，每時(shí)每刻是否有一種方法能夠顯示出你當(dāng)前的速度

第二類(lèi)：曲線的切線問(wèn)題，因?yàn)楫?dāng)時(shí)正在處理透鏡設(shè)計(jì)的問(wèn)題,，需要用到曲線的法線

第三類(lèi)：最值問(wèn)題

第四類(lèi)：求解曲線弧長(zhǎng)、曲線圍成的面積

這四類(lèi)問(wèn)題都是促成微積分誕生的主要原因,。

而且這些問(wèn)題都與一個(gè)特殊的困難有關(guān)：變量的瞬時(shí)變化率,。

伽利略曾說(shuō)，如果兩個(gè)無(wú)窮小之比趨于零或無(wú)窮大,，那么它們就具有不同的階,；如果兩者之比是個(gè)非零的有限數(shù)，那么它們就同階,。這個(gè)思想就是,，高階無(wú)窮小是如此難以置信地小和快地趨于零，它們可以從一個(gè)方程里被忽略掉,，因?yàn)樗鼈儗?duì)結(jié)果沒(méi)有什么影響,。這個(gè)思想對(duì)經(jīng)典的微積分是至關(guān)重要的！

物理學(xué)定義,，速度就是距離與時(shí)間之比的變化率,，即速度是位置的變化率。

變量的變化率,，強(qiáng)調(diào)的是它們正在變化的這一事實(shí),。

芝諾悖論的飛矢不動(dòng)說(shuō)，在一個(gè)瞬間,，沒(méi)有這樣的速度,，因?yàn)樵谝凰查g沒(méi)有消耗時(shí)間，因此不可能有運(yùn)動(dòng),。真實(shí)情況是,，比如每個(gè)駕駛汽車(chē)的人，在每個(gè)瞬間都有一個(gè)真實(shí)的速度,，這是確定無(wú)疑的,。

一般情況下,，使用平均速度這一概念就可以了，但當(dāng)物體以變速運(yùn)動(dòng)時(shí),，首先就產(chǎn)生了處理瞬間速度的問(wèn)題,。平均速度人們很容易理解，即距離除以時(shí)間,。

但是,，求平均速度的方法，是得不到瞬時(shí)速度的,，因?yàn)樵谝凰查g,，物體運(yùn)動(dòng)的距離是零，所花的時(shí)間也是零,，而零除以零是沒(méi)有意義的,。

所以，必須找到一種非同尋常的方法,，才能成功定義和計(jì)算出瞬間速度,。當(dāng)時(shí)的科學(xué)家們?nèi)狈?duì)瞬時(shí)速度的精確清楚的認(rèn)識(shí)，除此之外,，也缺乏計(jì)算瞬時(shí)速度的方法,。

后來(lái)，人們發(fā)現(xiàn),，瞬間速度是,，當(dāng)時(shí)間間隔趨于零時(shí)，平均速度所趨近的那個(gè)數(shù)值,。

人們通過(guò)把定義和計(jì)算瞬時(shí)速度的方法推而廣之,，可以利用計(jì)算在某一時(shí)刻的距離與時(shí)間變化率相同的數(shù)學(xué)過(guò)程，去計(jì)算一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的變化率,。

例如,，距離對(duì)時(shí)間的瞬時(shí)變化率是速度，速度對(duì)時(shí)間的瞬時(shí)變化率是加速度,。

好吧,，越來(lái)越清晰了！

（導(dǎo)數(shù)的幾何意義：割線PQ的斜率為平均變化率,，當(dāng)自變量的Δx趨于零時(shí)的平均變化率即為P點(diǎn)的瞬時(shí)速度,，即過(guò)該點(diǎn)切線PT的斜率。）

為了處理瞬時(shí)速度概念,，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)將空間和時(shí)間理想化,，正是通過(guò)這種理想化，數(shù)學(xué)不僅僅產(chǎn)生了一個(gè)瞬時(shí)速度的概念，而且給出了公式,，一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的瞬時(shí)變化率稱(chēng)為導(dǎo)數(shù),。

導(dǎo)數(shù)的概念可以由這樣一個(gè)物理概念提出：某段無(wú)窮小時(shí)間內(nèi)的速度。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)即瞬時(shí)變化率,，而瞬時(shí)變化率是增量的極限,。

導(dǎo)數(shù)的幾何意義體現(xiàn)在曲線上的割線運(yùn)動(dòng)，而割線運(yùn)動(dòng)時(shí)也有一個(gè)平均變化率,，當(dāng)對(duì)這個(gè)平均變化率取極限時(shí),，割線就變成了切線，這時(shí)割線的平均變化率就是割線與切線重合時(shí)的瞬時(shí)“速度”,，也就是切線的斜率,。所以，導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在某一點(diǎn)的切線的斜率,。

這個(gè)時(shí)候雖然牛頓用導(dǎo)數(shù)解釋了速度與加速度之間的物理含義,，但遺憾的是，他的理論還是有個(gè)缺陷,，那就是還是沒(méi)有解釋無(wú)窮小這個(gè)概念,。和牛頓一起發(fā)明微積分的萊布尼茨也是含糊不清。

然而這個(gè)時(shí)候一位大名鼎鼎的唯心主義哲學(xué)家,，貝克萊對(duì)牛頓的理論產(chǎn)生質(zhì)疑，你說(shuō)的無(wú)窮小時(shí)間到底是不是零,？如果是零,，他不能做分母哦，如果不是零,，那豈不是你求解的還是一個(gè)平均速度,，并非瞬時(shí)速度。牛頓.... 無(wú)語(yǔ),。

牛頓只能說(shuō),，就是很小很小，忽略不計(jì),，可惜這也辯論不過(guò)貝加萊,。但豈不知，對(duì)于無(wú)窮小這個(gè)概念最后是由一百年后的奧古斯丁.路易斯.柯西和卡爾.魏爾斯.特斯拉給出的,。

如果物理學(xué)使用含義不明確的無(wú)窮小還能說(shuō)得過(guò)去,，但是數(shù)學(xué)是絕不允許含糊的。

貝克萊提出的無(wú)窮小悖論是一次實(shí)實(shí)在在的數(shù)學(xué)危機(jī),，史稱(chēng)“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”,。這個(gè)危機(jī)的來(lái)源就是牛頓解釋不清楚無(wú)窮小是什么。

吳軍說(shuō)：某個(gè)時(shí)代的危機(jī)，并不是這個(gè)時(shí)代本身的人能解決的,，因?yàn)樗^的時(shí)代危機(jī)是因?yàn)樗某梢虺隽四莻€(gè)時(shí)代所有人的認(rèn)知,，才會(huì)形成危機(jī)，因?yàn)榻鉀Q危機(jī),，總是需要后面的人發(fā)展新理論來(lái)解決,。

話說(shuō)，當(dāng)年量子力學(xué)出現(xiàn)的時(shí)候,，那個(gè)時(shí)代的人無(wú)法理解量子力學(xué)中粒子鬼魅般的活動(dòng),。這部分我們后面聊。

下一節(jié),，我們聊聊這個(gè)危機(jī)是怎么解決的吧,。

總結(jié)：

從今天的文章來(lái)看，給我以下啟發(fā)：

1,、相信時(shí)間的力量,，相信優(yōu)化的力量。

很多人喜歡一次性把事情做到位,，其實(shí)這是不可能的,。就連偉大的自然哲學(xué)——數(shù)學(xué)都要經(jīng)歷幾千年的歷程，經(jīng)歷過(guò)世世代代的洗禮才能完成,，何況是你手頭一個(gè)小小的任務(wù)呢,。

我自認(rèn)為做事情要保持優(yōu)化，也就是就像開(kāi)發(fā)軟件一樣,，第一次先做一個(gè)初版,，然后再迭代。迭代來(lái)自于你自身“品味”的提高,，以及旁人的反饋,。所以最好，我們對(duì)待事情的本質(zhì)就應(yīng)該用批判性思維,。

2,、思想很重要

你說(shuō)思想很重要，其實(shí)也就是理論很重要,。

我們現(xiàn)代人總是局限于執(zhí)行力去努力做一件事情,，但是往往忽略了理論的重要性，雖然說(shuō)理論務(wù)虛,，操作務(wù)實(shí),。

但是沒(méi)有理論的支持，你的根基就是空洞,，隨時(shí)都可能倒塌,。

我認(rèn)為學(xué)習(xí)任何技術(shù),，我們不能光學(xué)技術(shù)本身，比如某個(gè)操作,，很簡(jiǎn)單,。但是你不了解原理就很容易忘記，也很難從事情本身去萃取經(jīng)驗(yàn)和方法論,。

Masir 2021/5/24 于東莞

祝幸福~