說到導(dǎo)數(shù),，

當(dāng)然不能不說平均變化率,。

什么叫平均變化率呢？

其實(shí),，

我們可以從兩條線,，

去進(jìn)行對它的理解和分析。

首先,，

就是我們熟悉的平均速度了

路程對時(shí)間的變化率,。

當(dāng)然，

如果從數(shù)學(xué)上來看,，

平均速度,，

其實(shí)就是“函數(shù)值對自變量的改變率”。

其實(shí)這個(gè),，

就是數(shù)學(xué)里的平均變化率了,。

如果從圖形上看，

平均變化率,，

也是有著它的幾何意義的,。

嗯，

平均變化率的幾何意義,，

其實(shí)也就是曲線上一條割線的斜率：

瞬時(shí)這個(gè)字眼,，

一定會讓你想起瞬時(shí)速度的吧。

就是物體在某一時(shí)刻的速度,。

確實(shí)數(shù)學(xué)里是相似的,，

瞬時(shí)變化率，

就是函數(shù)在某一點(diǎn)處的斜率了,。

某一點(diǎn)處的斜率,，

那自然就應(yīng)該是切線的斜率了。

左邊逼近

右邊逼近

象是這種動點(diǎn)從右邊逼近的，

稱為右逼近,，

用符號語言可以寫成這個(gè)樣子：

這個(gè)A 又稱為函數(shù)在該點(diǎn)處割線的右極限,。

如果這個(gè)動點(diǎn)，

無論從左邊還是右邊逼近定點(diǎn)時(shí),，

平均變化率都逼近于同一個(gè)定值,，

也就是說左極限等于右極限，

才說瞬時(shí)變化率是存在的,，

 而且瞬時(shí)變化率就等于這個(gè)定值,。

而且這個(gè)定值，

從下面這個(gè)圖中可以看出,，

應(yīng)該就是曲線在點(diǎn)A 處的切線斜率了,。

那么問題就來了，

就象是下面這個(gè)函數(shù),，

當(dāng)動點(diǎn)分別從左邊和右邊向點(diǎn)A逼近,，

割線的最終位置并不相同，

也就是在點(diǎn)A處割線的左右極限并不相等時(shí),，

又該怎么辦呢,？

嗯，

左右為難時(shí),，

一般就認(rèn)為該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率不存在了,。

其實(shí)，

也就是曲線在該點(diǎn)處沒有切線存在了,。

我想,，

這也是容易理解并接受的。

終于說到正題了,。

究競什么是導(dǎo)數(shù)呢,？

其實(shí)書上的定義也非常簡單了，

導(dǎo)數(shù)就是瞬時(shí)變化率嘛,！

所以現(xiàn)在我們知道了,，

導(dǎo)數(shù)就是瞬時(shí)速度，

瞬時(shí)速度就是導(dǎo)數(shù),，

兩者是完全等價(jià)的了,。

因此物理中，

物體運(yùn)動時(shí)某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，

就是數(shù)學(xué)中函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)了。

更一般地,，

如果將一般化了，

得到的函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù),，

原來的函數(shù)叫原函數(shù),。

因?yàn)閷?dǎo)數(shù)是定點(diǎn)處，

割線的左右極限存在且相等,，

因此,，

對于閉區(qū)間來說，

區(qū)間端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是一定不存在的,。

如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)，

就稱這個(gè)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)為可導(dǎo)函數(shù),。

在定義域內(nèi),，

只要有一個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，

就稱該函數(shù)為不可導(dǎo)函數(shù),。

因此對于可導(dǎo)函數(shù),，

在每一點(diǎn)處割線的左右極限都存在，

而且一定相等,。

其實(shí)就是每一點(diǎn)處都有切線了,。

從切線的角度理解，

只要在開區(qū)間內(nèi),，

曲線上每一點(diǎn)處切線都存在,，

函數(shù)就一定是可導(dǎo)的。

導(dǎo)數(shù)的定義,，

已經(jīng)明確了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,，

那就是切線的斜率了。

但一定要記住,，

是切點(diǎn)處切線的斜率,！

切線，

在幾何中是一個(gè)熱點(diǎn)話題,。

其實(shí),，

在導(dǎo)數(shù)里也是一樣的。

當(dāng)然,，

要想很順利的求得導(dǎo)數(shù)值,，

僅用定義顯然是不夠的，

必須要有一些常用公式或法則,，

以簡化求導(dǎo)的過程,。

所以就必須要記住一些常見的，

求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則了,。

有了這些求導(dǎo)公式和法則之后,，

在求導(dǎo)時(shí)，

我們就可以放棄導(dǎo)數(shù)定義,，

肆無忌憚地求導(dǎo)數(shù)了,。

當(dāng)然,，

離導(dǎo)數(shù)的核心，

還有很長一段距離……