在教學(xué)中,，教師應(yīng)善于從結(jié)構(gòu)的視角,，引導(dǎo)學(xué)生用整體的、聯(lián)系的,、發(fā)展的眼光看問題,。本文以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)教材中《數(shù)的認(rèn)識(shí)總復(fù)習(xí)》一課為例，從結(jié)構(gòu)化的視角進(jìn)行設(shè)計(jì)和教學(xué),，在磨課過程中反思總結(jié)出促進(jìn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化生長(zhǎng)的有效措施,，即從“零散要素”走向“結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)”，從“靜態(tài)呈現(xiàn)”走向“動(dòng)態(tài)建構(gòu)”,，從“表層邏輯”走向“內(nèi)在關(guān)聯(lián)”,，從“結(jié)構(gòu)經(jīng)驗(yàn)”走向“自主建構(gòu)”。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）在教學(xué)建議部分指出：“在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析,，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì),、對(duì)未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系?！痹诮滩闹?，知識(shí)點(diǎn)之間是存在一定關(guān)聯(lián)的，在課堂教學(xué)中,，教師不僅應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生厘清數(shù)學(xué)知識(shí),，更重要的是提升學(xué)生的自主建構(gòu)能力，即學(xué)生不僅要學(xué)會(huì),，更要會(huì)學(xué),。為此，教師應(yīng)善于從“結(jié)構(gòu)”的視角,，引導(dǎo)學(xué)生用整體的,、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題,。

筆者以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)教材中《數(shù)的認(rèn)識(shí)總復(fù)習(xí)》這一課為例,，從結(jié)構(gòu)化的視角進(jìn)行設(shè)計(jì)和教學(xué)，意圖在磨課過程中反思總結(jié)出促進(jìn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化生長(zhǎng)的有效措施,。

一,、從“零散要素”走向“結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)”

數(shù)學(xué)知識(shí)具有很強(qiáng)的內(nèi)在邏輯，是整體的,、系統(tǒng)的,、結(jié)構(gòu)的。但在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中,，學(xué)生頭腦中的知識(shí)很多時(shí)候是零散的,，有時(shí)還存在層次不清、顛倒雜亂的情況,。例如,，在試上該課時(shí)，當(dāng)教師提問“我們學(xué)習(xí)過哪些數(shù),？”時(shí),，多位學(xué)生回答：“整數(shù)、分?jǐn)?shù),、小數(shù),、百分?jǐn)?shù)、自然數(shù),、負(fù)數(shù),、奇數(shù)、偶數(shù),、質(zhì)數(shù),、合數(shù)、倍數(shù),、因數(shù),、除數(shù)、被除數(shù)、未知數(shù)……”從課堂對(duì)話中,，我們不難發(fā)現(xiàn),，學(xué)生希望盡可能地回答全面，把含有“數(shù)”這個(gè)字的名稱一一羅列出來,，將因數(shù),、倍數(shù)、除數(shù),、被除數(shù)等一些從運(yùn)算角度對(duì)數(shù)進(jìn)行的命名也納入數(shù)的概念中,，甚至還有人提及“未知數(shù)”。很顯然,，此時(shí)一些學(xué)生對(duì)數(shù)的概念的理解還不夠清晰和深刻,。那么，在學(xué)習(xí)這一課前,，學(xué)生對(duì)小學(xué)階段學(xué)過的數(shù)究竟有多少認(rèn)識(shí)呢,？為了解答這一問題，筆者將上述教學(xué)環(huán)節(jié)前置,，以前測(cè)的方式開展,，請(qǐng)另一個(gè)班的學(xué)生將小學(xué)階段學(xué)過的數(shù)進(jìn)行整理，做好下次試教的準(zhǔn)備,。教師收集學(xué)生的課前整理,，結(jié)果主要分為兩大類（圖1、圖2）,，一類以純文本的方式呈現(xiàn),，另一類以圖形的方式呈現(xiàn)。無論用哪種呈現(xiàn)方式,，學(xué)生都只是羅列出有關(guān)“數(shù)”的名稱和概念,，對(duì)于概念之間的邏輯關(guān)系則很少提及。由此可見,，此時(shí)學(xué)生對(duì)于“數(shù)”的概念的認(rèn)識(shí)是零散的,、無序的、浮于表面的,，他們?cè)诨貞浐褪崂磉^程中暴露出的這一問題,，為課堂教學(xué)提供了重要依據(jù)。

那么,，怎樣讓學(xué)生對(duì)數(shù)有系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)呢,？為了實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化，筆者對(duì)照簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)圖（圖3）,，對(duì)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行了個(gè)性化的補(bǔ)充,，挖掘各個(gè)零散要素間的邏輯關(guān)系和內(nèi)在關(guān)聯(lián),，并用大括號(hào)和箭頭連接，形成了數(shù)的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖（圖4）,。如此,，筆者通過對(duì)零散要素進(jìn)行結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)，使碎片化的知識(shí)成為整體,，為學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)建構(gòu)奠定了基礎(chǔ),。

二,、從“靜態(tài)呈現(xiàn)”走向“動(dòng)態(tài)建構(gòu)”

在教學(xué)時(shí),，教師不應(yīng)僅以靜態(tài)的方式呈現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化的結(jié)果，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在共同整理的過程中經(jīng)歷知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的動(dòng)態(tài)建構(gòu),，讓學(xué)生在建構(gòu)過程中運(yùn)用自己獨(dú)特的思維,，領(lǐng)悟結(jié)構(gòu)圖中包含的深刻思維和豐富智慧。這樣的建構(gòu)不僅牢固有效,，還能將知識(shí)建構(gòu)過程內(nèi)化為學(xué)生自主學(xué)習(xí)的智慧,。

為實(shí)現(xiàn)知識(shí)的動(dòng)態(tài)建構(gòu)，筆者設(shè)計(jì)了以下兩個(gè)教學(xué)活動(dòng),。

【活動(dòng)一】在閱讀中分享,，明晰“數(shù)”的產(chǎn)生

教師請(qǐng)學(xué)生在課前閱讀數(shù)學(xué)史的有關(guān)材料，并在課上進(jìn)行分享,。學(xué)生在分享的過程中提及不同的數(shù)并進(jìn)行了舉例,，根據(jù)學(xué)生的分享，教師適時(shí)在黑板上貼上板貼（圖5）,。

【活動(dòng)二】在數(shù)軸中整理,，感悟“數(shù)”的本質(zhì)

這一活動(dòng)有三個(gè)層次。

層次一：建立數(shù)軸標(biāo)準(zhǔn),，感受確定標(biāo)準(zhǔn)的重要性

教師提問：“你能將這些數(shù)（0,，1，2,，,，0.7，,，-1）在數(shù)軸上依次表示出來嗎,？要順利地表示出這些數(shù)，你覺得應(yīng)該先確定哪些數(shù)的位置,？”在這一教學(xué)活動(dòng)中,，教師沒有給出任何數(shù)的位置，而是給學(xué)生充足的思考空間來感受數(shù)和數(shù)之間的關(guān)系,，讓學(xué)生在思辨的過程中達(dá)成共識(shí),，即“先確定一大格的標(biāo)準(zhǔn)為'1’會(huì)比較方便”,。

層次二：尋找不同的數(shù)，體會(huì)不同數(shù)之間的聯(lián)系

教師提出要求：“我們還可以快速確定哪些數(shù)的位置,？一起完成學(xué)習(xí)單第1題（圖6）,。”并請(qǐng)一位學(xué)生到黑板上操作,。

借助數(shù)軸可以將各個(gè)數(shù)的位置和大小清晰呈現(xiàn)出來,，通過觀察和操作，學(xué)生既明晰了整數(shù),、自然數(shù)和負(fù)數(shù)之間的邏輯關(guān)系（自然數(shù)是整數(shù)的一部分,，整數(shù)包含正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零等）,，也在分一分,、數(shù)一數(shù)、說一說的過程中,，將自己的所思所悟以結(jié)構(gòu)圖的方式充分展現(xiàn),。

層次三：探討等值的數(shù)，體驗(yàn)相等數(shù)之間的聯(lián)系

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào),，在教學(xué)過程中,，不僅要注重具體內(nèi)容與核心素養(yǎng)之間的關(guān)聯(lián)，還要注重內(nèi)容主線與核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián),。學(xué)生在找尋多個(gè)與等值的分?jǐn)?shù)和與0.7等值的小數(shù)時(shí),，喚醒了自身對(duì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和小數(shù)的性質(zhì)的回憶。在學(xué)生回憶時(shí),，教師可以通過聚焦數(shù)例,、組織對(duì)比的方式，引發(fā)學(xué)生深入探討和感受不同數(shù)的性質(zhì)間的相同點(diǎn)和共通之處,，即分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和小數(shù)的性質(zhì)可以互相推導(dǎo),，讓學(xué)生感受不同數(shù)的性質(zhì)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)聯(lián)意識(shí)和推理能力,，豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),。

動(dòng)態(tài)建構(gòu)是個(gè)體認(rèn)知的線索，指引著個(gè)體認(rèn)知的路向和順序,。以上兩個(gè)教學(xué)活動(dòng),，使學(xué)生在材料閱讀分享中看到了各類數(shù)的逐一呈現(xiàn)，體驗(yàn)了知識(shí)從碎片化走向整體的動(dòng)態(tài)建構(gòu)過程（圖7）,。由“靜”至“動(dòng)”的過程,，既揭示了有關(guān)“數(shù)”的知識(shí)結(jié)構(gòu)的邏輯和組成，又培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力,，使學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中能夠更積極,、主動(dòng)地完成知識(shí)的系統(tǒng)建構(gòu),。

三、從“表層邏輯”走向“內(nèi)在關(guān)聯(lián)” 

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,，學(xué)生經(jīng)常用總分,、主次、并列,、遞進(jìn)等關(guān)系來構(gòu)建不同概念之間的邏輯關(guān)系,，但這樣的關(guān)系往往駐留在表層，即“表層邏輯”,。表層邏輯只關(guān)注事物外在的現(xiàn)象,，一般不需要深入事物內(nèi)部進(jìn)行思考和分析。本課時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)都不是孤立的,，它們有著出發(fā)點(diǎn),、生長(zhǎng)點(diǎn)和延伸點(diǎn)，教師要引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì),，探尋知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從而了解事物的本質(zhì),，達(dá)成知識(shí)的融會(huì)貫通,。

試教片段一：

學(xué)生在數(shù)軸上依次標(biāo)出0，1,，2,，，0.7,，,，-1。

師：和大家解釋一下,，你是怎么想的,？

生：我是將單位“1”平均分成5份，取其中的3份,，所以在這兒,。（手指位置）

師：0.7和分別是怎么找的？誰來說一說,？

生：把“1”平均分成10份,，取其中的7份，這里是0.7,，取其中的13份,，這里就是。（邊說邊指）

師：看似不同的自然數(shù),、分?jǐn)?shù),、小數(shù),，它們有什么相同之處呢？

生：它們都是“數(shù)”,。

生：它們都可以互相轉(zhuǎn)化,。

知識(shí)與知識(shí)之間存在著內(nèi)在關(guān)聯(lián)，當(dāng)我們?cè)噲D通過對(duì)比的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察發(fā)現(xiàn)時(shí),，學(xué)生往往只關(guān)注到表層邏輯關(guān)系,，如：總分關(guān)系，即自然數(shù),、分?jǐn)?shù)和小數(shù)都是“數(shù)”的一部分,，它們都是“數(shù)”；并列關(guān)系,，即自然數(shù),、分?jǐn)?shù)和小數(shù)只是外在形式不同，它們之間都可以互相轉(zhuǎn)化,。要實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)性理解,，就不能只局限于這樣的“表層邏輯”，更多時(shí)候,，教師應(yīng)該在課堂中增加一些視角,，引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化對(duì)“數(shù)” 本質(zhì)的理解，在更深層面建構(gòu)知識(shí)系統(tǒng),。如：自然數(shù),、分?jǐn)?shù)和小數(shù)都有自身特有的計(jì)數(shù)單位，自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位是1,，它是由1累加而成,，分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位是幾分之一，它是由幾分之一累加而成,，小數(shù)的計(jì)數(shù)單位是0.1,，0.01，0.001……它們都是相同計(jì)數(shù)單位的累加,。用相同計(jì)數(shù)單位的累加來統(tǒng)攝“數(shù)”的計(jì)數(shù)方式,，使零散的知識(shí)凝聚一起，這是一種更具統(tǒng)攝性和擴(kuò)展性的數(shù)學(xué)思維,，有了這種思維,，課堂教學(xué)就有了長(zhǎng)遠(yuǎn)眼光和穿透力。

為引發(fā)學(xué)生深度思考,，筆者將試教片段一中的教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行調(diào)整,，并重新試教。

試教片段二：

師：同學(xué)們都找了這些數(shù)的位置,，誰來說說自己的想法,？

生：將單位“1”平均分成5份,，其中的3份就應(yīng)該在這里。（邊指邊說）

師：通過平均分,，這里產(chǎn)生了一個(gè)新的標(biāo)準(zhǔn),，是多少？

生齊聲：,。

師：他認(rèn)為在這里,，誰來用這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)一數(shù)，看他找得對(duì)不對(duì),？

生：,，，,，我發(fā)現(xiàn)是對(duì)的,。（邊指邊數(shù)）

師：他數(shù)了幾個(gè)？

生齊聲：3個(gè),。

師：他是,，地?cái)?shù)的，還有不同想法嗎,？

生：我認(rèn)為還可以0.1,，0.1地?cái)?shù)。

師：來數(shù)給大家看一下,，我們一起跟在你后面輕聲數(shù)。（生齊聲數(shù)數(shù)）

師：他看到的是,，心里想的是0.6,。還有需要補(bǔ)充的嗎？

生：再往后數(shù)一格就能找到0.7的位置,。

生：我們數(shù)的0.1就是,，如果繼續(xù)數(shù)下去，也能找到的位置,。

師：在分一分,、數(shù)一數(shù)的過程中，你們有沒有感覺到是由哪個(gè)數(shù)累加而成的,？

生：是累加而成,。

師：那么其他數(shù)呢,？

生：整數(shù)是由1累加而成，小數(shù)是由0.1累加而成,。

師：有沒有感覺到，整數(shù),、分?jǐn)?shù)和小數(shù)有什么相同之處,？

生：它們都是由相同的計(jì)數(shù)單位累加而成的,。

通過以上試教片段的改進(jìn)，我們可以發(fā)現(xiàn),，在實(shí)際教學(xué)時(shí),，學(xué)生往往缺乏關(guān)聯(lián)的眼光和關(guān)系思維，這就需要教師在適當(dāng)之時(shí)巧妙搭建“腳手架”,，讓學(xué)生的思維從“表層邏輯”走向“內(nèi)在關(guān)聯(lián)”,。例如，先借助肢體動(dòng)作結(jié)合言語表達(dá),，讓學(xué)生分一分,、數(shù)一數(shù)、說一說,，增強(qiáng)學(xué)生的計(jì)數(shù)體驗(yàn),，再通過分層提問：①在分一分、數(shù)一數(shù)的過程中,，有沒有感覺到是由哪個(gè)數(shù)累加而成的,？②整數(shù)呢？③小數(shù)呢,？④有沒有感覺到,，整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)有什么相同之處,？引發(fā)學(xué)生思維層層遞進(jìn),，突破表層，深入本質(zhì),，感受關(guān)聯(lián),。

四、從“結(jié)構(gòu)經(jīng)驗(yàn)”走向“自主建構(gòu)” 

經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力和源泉,，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是對(duì)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的不斷優(yōu)化與重組,。在教學(xué)中，教師既要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)結(jié)構(gòu)的生成過程,，讓他們?cè)诖诉^程中感受知識(shí)的整體化,、系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化，又要讓這些“經(jīng)歷”沉淀為“經(jīng)驗(yàn)”,，促進(jìn)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的遷移,，讓學(xué)生能夠積極地運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行自主建構(gòu)。

對(duì)于學(xué)生來說,，經(jīng)驗(yàn)心理模型猶如冰山,，處于意識(shí)層面的只是露出水面的一小部分，絕大部分都位于前意識(shí)或潛意識(shí)之中，沉積在學(xué)生的心靈深處,。在教學(xué)中,，教師要善于激活內(nèi)隱的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)去優(yōu)化和完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu),。本節(jié)課以數(shù)學(xué)史的相關(guān)材料為切入口,，以數(shù)軸為主線，師生一起經(jīng)歷了知識(shí)整體建構(gòu)的過程,。在此過程中,，學(xué)生不僅獲取了知識(shí)，更重要的是他們?cè)隗w驗(yàn)中獲得了自主建構(gòu)的經(jīng)驗(yàn),。為了能了解學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)激活程度和學(xué)生運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行自主建構(gòu)的能力變化,，筆者在原有教學(xué)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上，增設(shè)了以下教學(xué)環(huán)節(jié),。

試教片段三：

課件出示課前部分學(xué)生整理的零散,、不完整的作品。

師：在課前,，同學(xué)們將認(rèn)識(shí)的數(shù)進(jìn)行了梳理,。通過今天的學(xué)習(xí)，你對(duì)這樣的整理又能提出怎樣的建議呢,？

生：可以多舉一些例子,。

師：還有嗎？

生：可以寫出它的性質(zhì),。

師：是啊,，再寫得詳細(xì)一點(diǎn)，把相關(guān)的性質(zhì)也寫進(jìn)去,。

生：也可以把它們相通的地方也整理出來,。

師：真棒！你擁有關(guān)系思維和關(guān)聯(lián)眼光,。

生：還可以聯(lián)系生活實(shí)際來舉例。

師：嗯,，舉例也要有技巧,。

生：可以寫出它們的計(jì)數(shù)單位。

生：還可以把它們進(jìn)行比較,。

師：在比較時(shí)發(fā)現(xiàn)它們的相同之處,。

生：可以用不同的筆把關(guān)鍵之處畫出來。

師：圈畫出你心目中的重點(diǎn),，真好,！課后，同學(xué)們將課前的整理再一次進(jìn)行梳理,，看看你是否會(huì)有新的發(fā)現(xiàn),。

心理學(xué)家波斯納認(rèn)為,，沒有反思的經(jīng)驗(yàn)是狹隘的經(jīng)驗(yàn)，至多只能形成膚淺的認(rèn)識(shí),。有效引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我反思,，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)力的自主提升。在試教片段三中,，教師組織學(xué)生針對(duì)前期整理提出合理化建議,，在反思和分享的過程中，讓學(xué)生圍繞“舉例”“相通”“相同”“圈畫”等關(guān)鍵詞進(jìn)行描述,。在這一過程中,，學(xué)生原本零散的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)通過反思和交流，在其頭腦中得以成型,，并有效遷移到新的認(rèn)知活動(dòng)中去,，既顯化了學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生認(rèn)知深處的經(jīng)驗(yàn)從模糊變得清晰,，以便學(xué)生更好地調(diào)用,，也幫助學(xué)生完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展,。

課后,，學(xué)生對(duì)小學(xué)階段認(rèn)識(shí)的數(shù)再一次進(jìn)行了整理，圖8是部分學(xué)生課后整理的作品,。

對(duì)照學(xué)生在課前與課后對(duì)“數(shù)”的整理,，可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在整理的形式,、整理的內(nèi)容和思考的方式上都有了明顯的改變,。在呈現(xiàn)形式上，學(xué)生摒棄了原先碎片化的分布形式,，有意識(shí)地使用線條,、箭頭、圓圈,、方框等符號(hào)將零散的要素進(jìn)行結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn),；在整理內(nèi)容上，學(xué)生已不局限于對(duì)“數(shù)”概念的整理,，而是擴(kuò)充為數(shù)的由來,、數(shù)的舉例、數(shù)的意義,、數(shù)的性質(zhì)特征,、數(shù)的大小等更為豐富的內(nèi)容，使自己對(duì)各類“數(shù)”有更加全面的認(rèn)識(shí)和了解；在思考方式上,，他們努力地探尋各個(gè)元素間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),，如感受到小數(shù)是分?jǐn)?shù)的一種變形的表達(dá)形式、努力構(gòu)建正整數(shù)和負(fù)整數(shù)在計(jì)數(shù)方法上的異同點(diǎn)和共通之處等,。

數(shù)學(xué)知識(shí)的整體建構(gòu)不能僅停留在思維方式方法的簡(jiǎn)單使用上,，而是要凸顯出學(xué)生的自覺、自發(fā)和自為,，培養(yǎng)學(xué)生自主建構(gòu)的能力,。當(dāng)然，這樣的佳境并非一朝一夕可以達(dá)成,，學(xué)生在一節(jié)課中開辟的“結(jié)構(gòu)化”視角只是一個(gè)美好的開始,，教師還需要在未來的教學(xué)中幫助學(xué)生進(jìn)一步積淀和生長(zhǎng)。