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難度系數(shù)  ★★★★★ 如圖,，拋物線y=[(3+√3)/6]x2+bx+c與x軸交于A，B兩點,，點A,，B分別位于原點的左、右兩側(cè),，BO=3AO=3,，過點B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為C，D,，BC=(√3)CD． (1)求b,，c的值,； (2)求直線BD的函數(shù)解析式； (3)點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方,，點Q在射線BA上．當(dāng)△ABD與△BPQ相似時,，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)．
∵BO=3AO=3， ∴點B的坐標(biāo)為(3,，0),， 點A的坐標(biāo)為(-1，0),， ∴拋物線解析式為： y=[(3+√3)/6](x+1)(x-3) =[(3+√3)/6]x2-[(3+√3)/3]x-[(3+√3)/2],， ∴b=-(3+√3)/3，c=-(3+√3)/2,；
過點D作DE⊥AB于點E,， ∴CO∥DE,， ∴BC/CD=BO/OE,， ∴(√3)/1=3/OE， ∴OE=√3,， 將x=-√3代入拋物線解析式中,， 得：點D的坐標(biāo)為(-√3，(√3)+1),， 設(shè)直線BD的函數(shù)解析式為：y=kx+b,， 由題意可得： (√3)+1=-(√3)k+b， 0=3k+b,， 解得：k=-(√3)/3,，b=√3， ∴直線BD的函數(shù)解析式為y=-[(√3)/3]x+(√3),；
∵點B的坐標(biāo)為(3,，0)，點A的坐標(biāo)為(-1,，0),，點D的坐標(biāo)為(-√3，(√3)+1),， ∴AB=4,，AD=2√2，BD=(2√3)+2,， 拋物線的對稱軸為直線x=1,， ∵直線BD與y軸交于點C， ∴點C的坐標(biāo)為(0,，√3),， ∴OC=√3,，AC=2，CD=2,， ∵tan∠CBO=OC/OB=(√3)/3,， ∴∠CBO＝30°， 【分類討論】   ①如左圖： 當(dāng)△ABD～△QBP時,， ∠QBP=30°,， AB/QB=BD/BP， ∵BM=2,， ∴BP=(BM/cos30°)=(4√3)/3,， ∴4/QB=[(2√3)+2]/[(4√3)/3]， ∴QB=4-[(4√3)/3],， ∴點Q的坐標(biāo)為(-1+[(4√3)/3],，0)； ②如右圖： 當(dāng)△ABD～△PBQ時,， ∠QBP=30°,， AB/BP=BD/QB， 由①得：BP=(4√3)/3,， ∴4/[(4√3)/3]=[(2√3)+2]/QB,， ∴QB=2+[(2√3)/3]， ∴點Q的坐標(biāo)為(1-[(2√3)/3],，0),；   ③如左圖： 當(dāng)△ABD～△PQB時， ∠BQP=30°,， ∵AC=2,，CD=2，AD=2√2,， ∴∠ACD=90°,，∠ADC=45°， ∴∠PBQ=45°,， 由①得：BM=2,， ∴PM=BM=2， ∴QM=(√3)PM=2√3,， ∴點Q的坐標(biāo)為(1-(2√3),，0)； ④如右圖： 當(dāng)△ABD～△BQP時,， BP∥AD,， 不存在滿足題意的點P；   ⑤如左圖： 當(dāng)△ABD～△QPB時， ∠PBQ=45°,， AD/QB=BD/BP,， ∵BM=2， ∴BP=(√2)BM=2√2,， ∴(2√2)/QB=[(2√3)+2]/(2√2),， ∴QB=(2√3)-2， ∴點Q的坐標(biāo)為(5-(2√3),，0),； ⑥如右圖： 當(dāng)△ABD～△BPQ時， BP∥AD,， 不存在滿足題意的點P. 綜上所述,，點Q的坐標(biāo)為(-1+[(4√3)/3]，0)或(1-[(2√3)/3],，0)或(1-(2√3),，0)或(5-(2√3)，0). 1.題中出現(xiàn)線段之比時,，往往與相似三角形有關(guān),， 2.動點與相似三角形問題難度較大，首先需要尋找定三角形ABD在邊,、角方面的特征,， 3.分好類后，要畫出相應(yīng)的圖形,，通過邊、角關(guān)系,，列等式求解.   ———— e n d ———— |
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