6．如圖已知拋物線 y＝ax2+bx+2 經(jīng)過點 A（﹣4，0）和 B（1,，0）兩點，與 y 軸交于點 C．

（1）求拋物線的解析式,；

（2）如圖1,，將直線 AC 沿 y 軸向下平移，得直線 BD,，BD 與拋物線交于另一點 D,，連接 CD,，CD 與 x 軸交于點 E,，試判定 △ADE 和 △ABD 是否相似，并說明理由．

（3）如圖2,，在（2）的條件下,，設(shè)點 M 是 △ABD 的外心．點 Q 是線段 AE 上的動點（不與點 A,，E 重合）．

① 直接寫出 M 點的坐標(biāo)：　 　．

② 設(shè)直線 MQ 的函數(shù)表達式為 y＝kx+b．在射線 MQ 繞點 M 從 MA 旋轉(zhuǎn)到 ME 的過程中,，是否存在點 Q，使得 k 為整數(shù)．若存在,，求出 Q 點的坐標(biāo),；若不存在,，請說明理由．

【解析】

解：

（1）設(shè)拋物線的解析式為 y＝ a（x﹣1）（x+4）,，將（0,，2）代入解析式解得 a＝-1/2,，

∴ 拋物線解析式為 y＝-1/2 x2 - 3/2 x + 2 ；

（2）設(shè)直線 AC 的解析式為 y＝kx + b,，將 A、C 坐標(biāo)代入可得 k＝1/2,，b＝2,，

∴ 直線 AC 解析式為 y = 1/2 x + 2,，

將直線 AC 平移后得到直線 BD,，

∴ 直線 BD 的解析式為 y = 1/2 x - 1/2，

∴ 點 D 坐標(biāo)為（﹣5,，﹣3）,，

∴ 直線 CD 的解析式為 y＝ x + 2,，

∴ 點 E 坐標(biāo)為（﹣2,，0），

∴ AE＝2,，AD＝√10,，BD＝3√5,，DE＝3√2,，AB＝5,，

∵ AE/AD = AD/AB , ∠DAE = ∠BAD,，

∴ △ADE∽△ABD ;

（3）

① 點 M 是 △ABD 的外心，則點 M 在 AB 的垂直平分線上,，

設(shè)點 M（-3/2，a）,，

∴ MD＝MB，

∴ MD2＝MB2,，

∴ a = -5/2 ,

∴ M 點坐標(biāo)為（-3/2,-5/2）;

② ∵ A（﹣4,，0），M（-3/2 , -5/2）, E（-2 ,，0）,，

∴ 可得直線 AM 的解析式為 y＝﹣x﹣4，直線 EM 的解析式為 y＝﹣5x﹣10,，

∴ 可知當(dāng)直線 MQ 的 k 值為整數(shù)時,，k 值可以為﹣2，﹣3,，﹣4,，

當(dāng) k＝﹣2 時，直線 MQ 為 y＝﹣2x﹣11/2,，點 Q 坐標(biāo)為（﹣11/4，0）,；

當(dāng) k＝﹣3 時,，直線 MQ 為 y＝﹣3x﹣7，點 Q 坐標(biāo)為（-7/3,，0）；

當(dāng) k＝﹣4 時,，直線 MQ 為 y＝﹣4x﹣17/2,，點 Q 坐標(biāo)為（-17/8，0）,；

∴ Q 點坐標(biāo)為（﹣11/4,，0）或（-7/3，0）或（-17/8,，0）.

【分析】

（1）

觀察 A,、B 兩點的縱坐標(biāo)都是 0 及 C（0,2），通過設(shè)出拋物線的兩根式把 a 解出來,，從而確定出拋物線的解析式,，關(guān)鍵是要熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)；

（2）

證明兩個三角形相似,，本題用的是 “兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等” 這一判定條件,。

直線平移 K 值不變，關(guān)鍵是求出直線 BD 的解析式,，從而聯(lián)立拋物線求出點 D 的坐標(biāo)來,。

求直線 BD 的解析式 y = kx + b ，k = 1/2,， b 是通過線段 OB 兩邊的直角三角形相似求出來的,。

再把直線 CD 的解析式求出來，從而可求出點 E 的坐標(biāo),，線段 AD 的長度是通過兩點之間的距離公式求出來的,，至此判定兩邊對應(yīng)成比例的線段的長度都已經(jīng)求出來了，從而可判定相似,。

（3）

① 三角形的外心就是三角形外接圓的圓心,，這個圓的圓心到三角形的三個頂點的距離都相等,。

由圖可知 AB 是外接圓的一條弦，由 “垂徑定理” 可知點 M 在線段 AB 的垂直平分線上,，從而通過坐標(biāo)中點公式可求出點 M 的橫坐標(biāo),，在通過兩點之間的距離公式建立關(guān)于點 M 的縱坐標(biāo)的一個方程來，就可以求出點 M 的坐標(biāo),；

② 點 Q 是線段 AE 上的動點（不與點 A,，E 重合），先求出直線 AM 的解析式為 y＝﹣x﹣4,，直線 EM 的解析式為 y＝﹣5x﹣10,，可知 -5 < k < -1 , 結(jié)合題目條件可知 K 的取值有三種情況，把每種情況的函數(shù)解析式求出來,，從而可求出點 Q 的坐標(biāo),。