從面積相等的三角形說起

關(guān)于幾何圖形面積的計算,，是從小學便開始學習了，今天我們聊的話題是三角形的面積,，當然,，計算公式都知道，底與高乘積的一半,。而在中考壓軸題中,，再次遇到它，便不僅僅直接用它計算這么簡單,，通常情況下,，我們會面臨兩個三角形面積相等的情況。從面積計算公式角度來看,，無非是這兩個三角形底與高的乘積相等,，而又細分為等高或等底兩種情況；從幾何圖形關(guān)系來看,，無非是全等或割補,。

第一個例子

如圖，平面直角坐標系中,，直線y=-3/4x+6與y軸交于點B,，點A(4,3)在直線上，點C(4,0)在x軸上,，求△ABC的面積,。

很簡單對吧,？相信不少學生會求出點B坐標，然后用割補法來求,，這當然沒錯,，同時，要明白除了割補法之外,，還有其它方法,，例如過點C作AB的平行線CD，它與y軸交點為D點,，而此時的△ABD與△ABC面積相等,，直線CD斜率與直線AB相同，而點C坐標已知,，因此解析式好求,，為y=-3/4x+9/4，于是點D坐標為(0,9/4),，面積更容易得到,，為7.5；

第二個例子

將上題增加一個小問,，在y軸上找一點D,，使△ABD與△ABC面積相等。

剛才在計算的過程中,，其實已經(jīng)找到了一個點D,，但是千萬不要忘記，直線AB另一側(cè),，即點B上方還有一個點也滿足要求,，如下圖：

問題在關(guān)鍵在于，怎么找到D'點呢,？回到我們尋找等面積三角形的過程上來,，從三角形名稱上，△ABC和△ABD的公共邊是AB,，于是這條邊便可作公共底,，在直線CD上，任意一點到AB的距離都相等,，因為平行線間距離相等,，即無論直線CD上哪一點作為三角形頂點，面積總是和△ABC相等,。

這個原理同樣適用于另外一根平行線,，關(guān)鍵在于距離！平行線間的距離,。

在上圖中,，我們將這個距離作出來,，如下圖：

圖中，△BGD和△BHD'全等是極容易證明的結(jié)論,，因此,，當BG=BH時,，BD=BD',，因此我們尋找另外一根直線時，并不需要將距離畫出來,，而是直接在y軸上截取BD'=BD,，因為我們知道，雖然截取的線段并不是距離,，但它們相等卻能保證距離相等,。

第三個例子

如圖，在平面直角坐標系中,，以直線y=5/2為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c與直線l:y=kx+m(k>0)交于A(1,1),，與y軸交于C(0,5)，直線與y軸交于點D,。

(1)求拋物線的函數(shù)表達式,；

(2)設直線l與拋物線的對稱軸的交點為F，G是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點,，若AF:FB=3:4,，且△BCG與△BCD面積相等，求點G的坐標,；

(3)若在x軸上有且僅有一點P,，使∠APB=90°，求k的值,。

解析：

(1)從閱讀題目條件中,，我們可首先確定解析式中的字母c=5，然后由對稱軸可得-b/2a=5/2,，于是b=-5a,，最后把點A坐標代入y=ax2-5ax+5，求得a=1,，于是y=x2-5x+5,；

(2)拋物線一旦確定，那么隨之點B坐標可確定,，畢竟它與點A的關(guān)聯(lián)緊密,，AF:FB=3:4，極易聯(lián)想到相似三角形,，而構(gòu)造相似三角形的最佳方式則是向x軸作垂線,，AM,，BN，如下圖：

注意觀察圖中三條平行線AM∥FH∥BN,，由平行線分線段成比例,，可知MH:HN=AF:FB=3:4，而其中線段MH=3/2,，于是HN=2,，順利求得點B(9/2,11/4)，于是直線AB解析式為y=1/2x+1/2,，則D(0,1/2),，現(xiàn)在可以用前面歸納的方法來尋找點G了，BC為公共底,，于是我們在y軸上找到點D關(guān)于點C的對稱點D',，然后分別過D和D'作BC的平行線，如下圖：

顯然我們找到了對稱軸右側(cè)的兩個點,，直線BC解析式為y=-1/2x+5,，而直線DG與直線D'G'的解析式分別為y=-1/2x+1/2和y=-1/2x+19/2，它們與拋物線的交點即為所求,，分別為G(3,-1)和G'((9+3√17)/4,(67-3√17)/4),。

(3)在x軸上找一點P使∠APB=90°，不妨將△ABP找出來觀察,，按條件描述,，它是一個直角三角形，直角頂點在x軸上,，非常自然地想到構(gòu)造“一線三直角”模型,，并且在前一問中，已經(jīng)過點A,，B面x軸作了垂線了,，只要不擦，連暗示都省了,，如下圖：

圖中△AMP∽△PNB,，只需要將對應邊用含字母的代數(shù)式表示即可，先消參,，將點A坐標代入直線y=kx+m中,，得到m=1-k，于是y=kx+1-k,，與拋物線解析式聯(lián)立得kx+1-k=x2-5x+5,，整理并解出兩根，其中之一為點B橫坐標,，于是B(k+4,k2+3k+1),，此時便有辦法列比例式得到關(guān)于k的方程了,，但為了進一步減輕計算量，不妨多思考一下,，以AB為直徑的圓,，點P在圓周上，題目條件中說有且僅有一點,，則意味著該圓與x軸相切,，如下圖：

顯然可證P為MN中點，得點P(1/2k+5/2,0),，再來列比例式,，則容易多了，整理后得3k2+6k-5=0,，同時注意k>0，解得k=-1+2√6/3,。

解題反思：

三角形面積相等的運用,，由淺入深，本質(zhì)其實一樣,，利用平行線來尋找無疑較便捷,，但這種思想是需要平時進行滲透的，一味只懂得割補法,，或者停留在割補法的成功,，不愿意再研究新的方法，遇到這道題,，思路通順的可能性就低,，或者被解析法中復雜的高次方程嚇退。

平時的課堂教學中,，老師需要根據(jù)學生實情,，選擇不同的解題方法進行重點講解，不同層次的學生會有不同收獲,。解題中同樣存在形式主義,，即只要能解出來，方法無所謂,。其實方法用哪一種確實無所謂,，但嘗試的解法種類多，相當于為學生打開了新視野,，一個視野開闊的學生,，思維同樣開闊，當遇到困難的時候,，不會一條路走到黑,，而是會及時調(diào)整思路,，從而更容易找到正確的那條。

一個班級40多名學生,，對某種解題方法的理解各不相同,，而一節(jié)課時間又有限，這些解法并不能保證在課堂上全部講透,，那么,，摸清學生思維習慣，從而在課堂上講多數(shù)學生習慣理解的方法,，然后課余再進行拓展,，鼓勵學生一題多解，這件事要堅持做,，雖然對批改作業(yè)和個別輔導要求更高,，但學生收獲最大。